中考复习—矩形的折叠问题.doc

课题：初三中考复习
——矩形的折叠问题
苏州市相城区望亭中学 张春丽
学习目标：
知识与技能：灵活运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形中的折叠问题.
过程与方法：在分析基本折叠问题的过程中，体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法.
情感态度价值观：通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会知识间的联系，感受数学学习的乐趣.
教学重点：解决矩形中的折叠问题.
教学难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系.
学习过程：
一、操作引入：
出示一张矩形的纸片。
问题1：你能说说矩形有什么性质吗？
［教师板书性质］
问题2：你能通过对矩形进行折叠操作，得到一个等于45°的角吗？说说你这样操作的理由。
问题3：你能通过对矩形进行折叠操作，得到一个等于30°的角吗？
（设计意图：折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后，所形成的问题。折叠的规律是:折叠部分的图形在折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等。）
二、自主尝试与合作探究：
A
B
C
D
E
F
例1．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，使点A落在点E处，BE交CD于点F，已知30°.
（1）求的度数.
（2）求证：EF=FC.
（3）若,求S△BDF.

（设计意图：将矩形沿对角线进行折叠，我们从翻折产生的性质和背景图形的性质两方面入手，分析出了图中相等的线段和角，找到了全等三角形，等腰三角形，从而解决问题.）
例2．如图，将矩形纸片ABCD沿折痕EF折叠，点D的对应点为D’，点C 恰好落在点A处，
（1） 证明：△ABF≌△AD’E
（2） 若D’EA=50°，求DEF的度数
（3） 若AB=3，BC=5，求AE的长
（设计意图：本题中这个图形是使矩形的一个顶点与另一个顶点重合，找出折叠后出现的等角、等边并结合图形本身的特点，借助于勾股定理构造方程求解。）
例3．如图，将矩形纸片ABCD沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上的点F处.
（1） 若AB=3，BC=5，求EC的长
（2） 若，求tan∠DAE.

（设计意图：本题中这个图形是使矩形的一个顶点落在矩形的一边上，图中除出现全等三角形外，还出现了相似三角形，相似的出现并不意外，这是因为出现了我们在几何中曾经总结过的一个基本图形-“K”字形的相似.由此可见，在复杂图形中挖掘出基本几何图形是非常重要的.）
三、拓展延伸
已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．
（1）点E的坐标为（ ），点F的坐标为（ ）.（结果用的代数式表示）
（2）用的代数式表示出线段EC与CF的长度.
（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（设计意图：本题是把矩形放置在平面直角坐标系中结合反比例函数，分析点的坐标和线段的长，让学生能在数形结合的题目中拓展解题思路，提升解题能力。）

四、感悟与反思
对照下面几个问题谈谈你的想法：
（1）这节课我学到了什么？
（2）我对这节课的学习经历有何感受？
（3）本节课的问题解决主要采用了什么方法？
（4）我还有哪些疑问？
五、教师提炼总结：
基本知识：矩形中的折叠
基本方法：构造方程
数学思想：转化思想，方程思想
【课后拓展训练】
1、矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图18-1方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_______cm．
B
A
C
E
P
Q
D

2、在中，为边上的点，连接．如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是 ．
3、如图所示：在一块砖宽AN＝5cm，长ND＝10cm，CD上的点B距地面BD＝8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是 。
4、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E在BC边上可移动的最大距离为 .
5、如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB2=3CM2；④△PMN是等边三角形．正确的有（　　）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

6、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B'位置，AB'与CD交于点E．
(1)求证：△AED≌△CEB'；
(2) AB＝8，DE＝3，点P为线段AC上任一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H．
求PG＋PH的值，并说明理由．

8、如图①，在矩形中，将矩形折叠，使点落在（含端点）上，落点记为，这时折痕与边或边（含端点）交于点.然后再展开铺平，则以为顶点的称为矩形的“折痕三角形”．
（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个“折痕”一定是一个________三角形；
（2）如图②，在矩形中，.当它的“折痕”的顶点位于边的中点时，画出这个“折痕”，并求出点的坐标；
（3）如图③，在矩形中，.该矩形是否存在面积最大的“折痕”？若存在，说明理由，并求出此时点的坐标；若不存在，为什么？

课后反思：
矩形折叠问题贴近学生的认知规律，解决这类问题的关键是要弄清楚折叠前后的图形及数量上的关系。折叠问题，本质上属于图形的轴对称变换。折叠后的图形与原图形全等，解决这类问题时要抓住因折叠而形成的等线段和等角，这些相等关系是解决问题的关键。这类题目既有趣味性，又有可操作性。学生通过动手实践自主去探索、认识和掌握图形的性质，不仅积累了数学活动的经验，而且还发展了他们的空间观念；另外，还可以培养学生的数学思维能力、运用能力、空间想象能力、解题能力和探究精神。

事实上，七年级时，学生已经有一定的折叠经验，如将纸带折叠求相应的角的度数。八年级的图形的轴对称变换知识，勾股定理及其矩形的性质都是本节课的知识基础。另外，因为折叠而形成的图形较抽象，需要一定的空间想象能力，而这方面能力是学生较欠缺的。折叠问题的解决，大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化，是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了“形”----轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”----线段之间、角与角之间的数量关系。“折”就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。通过以上三个基本图形的分析，不难看出解答此类问题的关键在于：因折叠产生的相等的线段和角。