§23.1圆的认识.doc

第23章　圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
古希腊的数学家认为：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形.”它的完美来自于中心对称，无论处于哪个位置，都具有同一形状.它最谐调、最匀称.

与圆的对称性有关联的还有哪些性质呢？你想知道吗？请打开本章吧！
§23.1 圆的认识
1.圆和基本元素
在上学期，我们已经学会将收集到的数据用扇形统计图加以描述.图23.1.1就是反映某学校学生上学方式的扇形统计图.

我们是先用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形.
在图23.1.2中，线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径.这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”.

线段AB、BC、AC都是圆O中的弦（chord），曲线BC、BAC都是圆O中的弧，分别记为BC(︵)、BAC(︵)，其中像弧BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧（minor arc）,像弧BAC这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧（major arc）.
∠AOB、∠BOC等就是我们知道的圆心角（central angle）.
练　习
1. 如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法.
2. 比较下图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确.

2.圆的对称性
我们知道圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心.
试一试
将图23.1.3中的扇形AOB（阴影部分）绕点O逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？
如图23.1.4，扇形AOB旋转到扇形A′OB′的位置.我们可以发现，在旋转过程中，∠AOB＝∠A′OB′，AB(︵)＝A′B′(︵)，AB＝A′B′.
由于圆心角∠AOB（或孤AB，或弦AB）确定了扇形AOB的大小，所以，在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧________，所对的弦_________.
同样，也可以得到：
在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角_______，所对的弦________.
在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角_______，圆心角所对的弧______.
例1图23.1.5，在⊙O中，AC(︵)＝BD(︵)，∠1＝45°，求∠2的度数.
解　因为　　　　　　　　　AC(︵)＝BD(︵)，
AC(︵)－BC(︵)＝BD(︵)－BC(︵)，
所以　　　　　　　　　　　　　AB(︵)＝CD(︵).
根据在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，可得
∠2＝∠1＝45°.
我们还知道圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称
轴，由此我们可以如图23.1.6那样十分简捷地将一个圆2等分、4等分、8等分.

试一试
如图23.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB、AC(︵)与CB(︵)，你能发现什么结论？
你的结论是：_____________________________________________________
_______________________________________________________________.
练　习
1. 如图，在⊙O中，AB(︵)＝AC(︵)，∠B＝70°.求∠C度数.

2. 如图，AB是直径，BC(︵)＝CD(︵)＝DE(︵)，∠BOC＝40°，求∠AOE的度数.
3.圆周角
如图23.1.8所示（2）中的两条线段所成的角叫圆周角（circumference
angle）.

(1)、（3）、（4）中两条线段所成的角都不是圆周角.
思　考
如图23.1.9，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？
我们可以看到，OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，因而
∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.
又　　　　　　　　∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，
所以　　　　　　∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°.
因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°，即
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）．
实际上，还有
　　90°的圆周角所对的弦是圆的直径．
　　那么对于一般的圆周角，又有什么规律呢？
　　如图23.1.10， ∠ACB、 ∠ADB都是弧AB所对的圆周角．∠AOB是弧AB所对的圆心角．这几个角有什么关系？
试一试
　　（1） 分别量一量图23.1.10中弧AB所对的两个圆周角的度数，比较一下. 再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有什么规律吗？
　　（2） 分别量出图23.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？
　　我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.
　　由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半．
　　为了验证这个猜想，如图23.1.11所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：（1） 折痕是圆周角的一条边，（2） 折痕在圆周角的内部，（3） 折痕在圆周角的外部．

我们来分析一下第一种情况： 如图23.1.11（1），由于
OA＝OC，
因此 　　　　　　 ∠A＝∠C，
而∠AOB是△OAC的外角，所以
∠C＝∠AOB.
对（2）、（3），有同样的结论.
由此，可以得出：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半．
因此我们可以知道：
在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等．
　　例2　如图23.1.12，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．

　　解 　因为AB是⊙O的直径，而直径所对的圆周角是直角，所以
∠ABC＝180°－∠A－∠ACB
　　　　　　　＝180°－80°－90°＝10°．
练　习
1. 试找出图中所有相等的圆周角.
2. 在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.

习题23.1
1.如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠CAB＝∠CBA，∠COB与∠COA相等吗？为什么？

2.如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1＝∠2＝∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？
3. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，AB、CD相交于点E，∠COD＝100°，求∠COE、∠DOE的度数.
4. 如图，AB是⊙O的直径，AC、CD、DE、EF、FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，求∠AOC与∠COF的度数.
5. 如图，AB是⊙O的直径，如果∠COA＝∠DOB＝60°，那么与线段OA相等的线段有________________；与弧AC相等的弧有_____________________.

6. 如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝40°，求∠OBC的度数.
7. 使用曲尺检验工件的凹面，成半圆时为合格.如图所示的三种情况中，哪种是合格的？哪种是不合格的？为什么？

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