实验与探究：丰富多彩的正方形教学设计.doc

“一师一优课，一课一名师”活动

实验与探究：丰富多彩的正方形

教学设计

学校：西青区杨柳青第二中学
姓名：程津梅

实验与探究：丰富多彩的正方形
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是《义务教育课程标准实验教科书》新人教版八年级下册第十八章《平行四边形》中的一节实验与探究课《丰富多彩的正方形》．
2.内容解析
《丰富多彩的正方形》是学生在学习了特殊的四边形——平行四边形的概念、性质定理和判定定理的基础上，又学习矩形、菱形、正方形之后的一节实践与探究课.正方形具有平行四边形的所有性质，还具有菱形和矩形的性质，是有一个角是直角的特殊菱形，或者是有一组邻边相等的特殊矩形. 同时正方形还具有一些特殊的性质，这些性质对于研究其他图形或在生活学习中都有着广泛的应用. 这个“实验与探究”有利于巩固学生的课堂知识和扩大知识面，培养学生理论联系实际，激发学习兴趣等.
基于以上分析，本节课的教学重点是：利用正方形的性质探究解决一些实际问题.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）进一步理解正方形的性质，了解正方形的一些特殊性质.
（2）结合实际问题的探索与证明的过程，进一步体会化归、数形结合的思想方法.
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：能运用正方形的性质解决如下问题：周长固定的矩形中何时面积最大；用两条交叉的小路将正方形的草地如何分割成四块面积相等的草地以及两个边长相等的正方形（一个正方形的顶点与另一个正方形对角线交点重合）重叠部分的面积是否变化；对两个大小不相等的正方形进行怎样切割后再把它们拼接成一个大正方形.
达成目标（2）的标志是：能通过观察、动手、探究、分析、归纳、总结等方式找出解决问题的方案，通过学生动手操作、分析问题、归纳答案，从中得到了探究数学问题的方法，并体会合情推理与演绎推理相辅相成的关系. 通过实验2的解决，引导学生总结此类探究问题的数学方法，从而体现其中数形结合的数学思想.
三、教学问题诊断分析
鉴于八年级下学期的学生已经具有一定的抽象思维能力，在日常学习中仍然是比较好奇、好动、好表现的，且他们在生活中会经常遇到正方形，所以学生从小就有对正方形的整体感知，对本节课内容会比较感兴趣.但学生们同时又在合作交流、探索新知等方面发展的极不均衡，在学习的主动性、积极性等方面也有较大的差异.
根据新课程标准，结合学生的实际情况以及认知水平，确定教学难点为：探究正方形的特殊性质.
四、教学过程设计
1.问题引领，导入新知
问题1
（1）我们都学习过哪些特殊的四边形？它们的概念分别是什么？
（2）它们都具有哪些性质？
图形
性质

平行四边形
矩形
菱形
正方形
边

角

对角线

轴对称

（3） 本章我们学习特殊的四边形中哪个图形的性质最多？你能举出生活中有哪些应用吗？
美化生活环境：铺设正方形地砖进行平面镶嵌等；
边长为单位长度的正方形面积，作为度量其他图形面积的基本单位.
A
B
C
A
B
C

师生活动：教师提出问题，学生独立解答，教师重点关注学生对本课学习对象是否清楚，能否联系实际，然后操作电子白板将答案展示出来.
设计意图：使学生进一步熟悉正方形，从实际生活中发现正方形．提出用勾股定理的知识表示正方形的面积，为后面探究实验2做好铺垫.
2.运用性质，解决问题
问题2 请你动手设计一个周长为16的矩形，怎样使其面积最大？
学生通过思考得出结论，小组进行汇报：
宽1，长7，面积7
宽2，长6，面积12
宽3，长5，面积15
宽4，长4，面积16
师生活动：学生先思考问题有几种设计方案，然后通过交互式电子白板操作，将几种方案设计展示出来，然后通过计算得出哪种方案的面积最大.最后归纳总结出当矩形周长一定时，何时面积最大的结论. 教师指导学生回答问题，然后操作电子白板将矩形的几种方案设计展示出来，进而总结出结论.
设计意图：让学生在观察、思考中动手操作，用边长为1的小正方形设计成一个周长为16的矩形，从几种设计方案中选出面积最大的一个，从而发现结论周长固定的矩形两邻边长度越接近时，它的面积越大，当邻边相等时，面积最大．
问题3 有一块正方形的草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四个部分面积相等，你有多少种方法？

图1 图2 图3
师生活动：教师提出问题，学生思考、用提前准备好的正方形纸片动手操作，通过对折能找出两种方法，如图1、图2，教师巡视，发现问题，及时指导更正，学生完成后由学生代表进行讲解，启发学生这两种方法运用的正方形对称轴的相关知识.
追问1：请同学们用你准备的两根互相垂直的小木棍，代表两条对角线，在正方形纸片上固定住交点，进行旋转，当到达任意位置时，小木棍所分割的四个面积相等吗？
师生活动：学生利用手中的学具，把两根交叉的小木棍放在正方形对角线的位置，按住交点旋转，引导学生旋转到特殊位置，如图2时，四个部分的面积是否相等.当两根交叉的小木棍旋转到图3时，四个部分的面积是否相等.学生进行思考、讨论、相互交流，得出猜想.然后，教师利用电子白板再次演示动画过程，引导学生思考并用剪刀剪下，进行验证．
设计意图：借助动态演示，巧妙的引导学生去思考、探究，使学生易于发现分割技巧，从而得到了探究数学问题的方法：从“特殊”到“一般”发现问题,用“特殊”证“一般”解决问题，培养了学生的逻辑思维能力，更好的对实验1、2的探究做好铺垫.
3.实验探究，拓展提高
图4
实验1 如图4，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O 又是正方形A1B1C1D1的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A1B1C1D1绕点O怎样运动，两个正方形重叠部分的面积变化吗？和正方形的面积有什么关系？如何证明？
图5
（1） 当OA1与OA重合，OC1与OB重合（如图5）时，重叠部分的面积与一个正方形的面积有何关系？请直接写出结论，不要求说明理由.
（2） 当OA1⊥ AB于点E，OC1⊥BC于点F（如图6）时，问题（1）中的结论会改变吗？请直接写出结论，不要求说明理由.
图6

（3） 当OA1与AB交于点E，OC1与BC交于点F（如图7）时，问题（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
图7

（4） 通过以上探究你能得到什么结论？

师生活动：学生深入思考实验1，可以利用问题3的知识，通过证明三角形的面积相等，从而得到重叠部分的面积与正方形面积之间的关系，并写出具体证明过程.教师指导学生进行观察、思考，适当进行点拨，并在学生发现正方形重叠部分的面积与正方形面积之间的关系后，指导学生书写证明过程.
设计意图：关注学生是否能从问题3中得到的结论灵活运用到实验1中，进一步理解从“特殊”到“一般”研究问题的过程，培养学生多角度，综合性解决问题的能力.
实验2 给你两个大小不相等的正方形，你能通过切割把它们拼接成一个大正方形吗？

（方法1） 切割 拼接

（方法2） 切割 拼接

（方法3） 切割 拼接

师生活动：学生通过利用大小两个正方形的切割，实际动手操作进行拼接成大的正方形.教师引导学生探讨切割、拼接的过程，可以适当提醒学生寻找等量关系：两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，并提示学生运用勾股定理的知识进行思考是否还有其他切割方法.
设计意图：在学生的剪拼实验中培养学生理论联系实际的能力，激发学生学习兴趣，引导学生运用数形结合的数学思想找到切割点.
4. 成果回顾，体验收获
说一说本节课你有哪些收获？
（1）周长固定的矩形两邻边长度越接近时，它的面积越大，当邻边相等时，面积最大.
（2）将正方形分割成四个面积相等的部分，条件是：只要两条互相垂直的直线，且其垂足与正方形对角线的交点重合，就能做到.
（3）两个边长相等的正方形（一个正方形的顶点与另一个正方形对角线交点重合）重叠部分的面积与一个正方形面积之间的关系,进一步认识到“特殊”与“一般”的关系.
（4）用两个小正方形的面积和等于切割后拼接成的大正方形的面积，从而找到切割点进行切割.
师生活动：教师提出问题，学生思考回答.
设计意图：通过及时总结所学知识，使学生掌握本节课的核心——如何运用正方形的性质解决问题.
5. 分层作业，课后延伸
（1）必选题：书第67页习题第6，8题．
（2）选作题：
小燕在商场看到一条很漂亮的方丝巾，非常想买，但当她拿起来看时感到方巾不太方正，商店老板看她犹豫的样子，马上过来拉起一组对角，让她看另一组对角是否对齐，小燕感觉还是不对劲，老板又拉起另一组对角，再次让小燕检验，是否又对齐了，最后小燕终于买了这条丝巾，你认为小燕买的这块丝巾真的是正方形的吗，你能采用什么方法可以检验出来？

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