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实验三：离散LSI系统的频域分析

一、实验目的

1、加深对离散系统变换域分析——z变换的理解，掌握使用MATLAB进行z变换和逆z变换的常用函数的用法。
2、了解离散系统的零极点与系统因果性和稳定性的关系，熟悉使用MATLAB进行离散系统的零极点分析的常用函数的用法。
3、加深对离散系统的频率响应特性基本概念的理解，掌握使用MATLAB进行离散系统幅频响应和相频响应特性分析的常用方法。

二、实验内容及步骤
1、求以下各序列的z变换：

程序清单如下：
syms w0 n a z;
x1=n*a^n;X1=ztrans(x1)
x2=sin(w0*n);X2=ztrans(x2)
x3= exp(-a*n)*sin(w0*n);X3=ztrans(x3)
运行结果：
X1 = z*a/(-z+a)^2
X2 = z*sin(w0)/(z^2-2*z*cos(w0)+1)
X3 = z/exp(-a)*sin(w0)/(z^2/exp(-a)^2-2*z/exp(-a)*cos(w0)+1)
2、求下列函数的逆z变换

程序清单如下：
syms w0 n z a;
X1=z/(z-a);x1=iztrans(X1)
X2= z/(a-z)^2;x2=iztrans(X2)
X3=z/z-exp(j*w0);x3=iztrans(X3)
X4=(1-z^-3)/(1-z^-1);x4=iztrans(X4)
运行结果：
x1 = a^n
x2 = n*a^n/a
x3 = charfcn[0](n)-iztrans(exp(i*w0),w0,n)
x4 = charfcn[2](n)+charfcn[1](n)+charfcn[0](n)
3、求一下系统函数所描述的离散系统的零极点分布图，并判断系统的稳定性
（1）
程序清单如下：
z1=[0.3,0]';p1=[-1+j,-1-j]';k=1;
[b1,a1]=zp2tf(z1,p1,k);

subplot(3,2,5);zplane(z1,p1);
title('极点在单位圆外');
subplot(3,2,6);impz(b1,a1,20);

当极点位于单位圆外，系统的单位序列响应随着频率的增大而发散。由此可知系统为稳定系统。

（2）
程序清单如下：
b=[4,-1.6,-1.6,4];
a=[1,0.4,0.35,-0.4];
rz=roots(b)
rp=roots(a)
subplot(2,1,1);zplane(b,a);
title('系统的零极点分布图');
subplot(2,1,2);impz(b,a,20);
title('系统的单位序列响应');
xlabel('n');ylabel('h(n)');
可得：
rz =
-1.0000
0.7000 + 0.7141i
0.7000 - 0.7141i

rp =
-0.4500 + 0.7730i
-0.4500 - 0.7730i
0.5000

由零极点分布图可见，该系统的所有极点均在单位圆内，因此该系统是一个因果稳定系统。

4、已知某离散时间系统的系统函数为

求该系统在0～П频率范围内的绝对幅频响应与相频响应、相对幅频响应与相频响应及群时延。
程序清单如下：
b=[0.1321,0,0.3963,0,0.3963,0,0.1321];
a=[1,0,-0.34319,0,0.60439,0,-0.20407];
[H,w]=freqz(b,a,1000,'whole');
H=(H(1:501))';w=(w(1:501))';
mag=abs(H);
db=20*log10((mag+eps)/max(mag));
pha=angle(H);
grd=grpdelay(b,a,w);
subplot(2,2,1);plot(w/pi,mag);grid
axis([0,1,1.1*min(mag),1.1*max(mag)]);
title('幅频特性（V）');
xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度(V)');
subplot(2,2,2);plot(w/pi,pha);grid;
axis([0,1,1.1*min(pha),1.1*max(pha)]);
xlabel('\omega/\pi');ylabel('相位');
title('相频特性');
subplot(2,2,3);plot(w/pi,db);grid
axis([0,1,-100,5]);
title('幅频特性（dB）');
subplot(2,2,4);plot(w/pi,grd);grid
axis([0,1,0,10])
title('群时延');
运行结果如下图：

二、预习思考题：
① 系统函数零极点的位置与系统单位序列响应有何关系？
当极点位于单位圆内，系统的单位序列响应随着频率的增大而收敛；当极点位于单位圆上，系统的单位序列响应为等幅振荡；当极点位于单位圆外，系统的单位序列响应随着频率的增大而发散。
② 离散系统的零极点对系统幅频响应有何影响？
（1）离散系统的频率响应的基本概念
已知稳定系统传递函数的零极点增益模型为

则系统的频响函数为

其中，系统的幅频特性为

系统的相频特性为

由以上各式可见，系统函数与频率响应有着密切的联系。适当地控制系统函数的零极点分布，可以改变离散系统的频响特性：
① 在原点（z=0）处的零点或极点至单位圆的距离始终保持不变，其值|ejω|=1，所以，对幅度响应不起作用；
② 单位圆附近的零点对系统幅度响应的谷值位置及深度有明显影响；
③ 单位圆内且靠近单位圆附近的极点对系统幅度的峰值位置及大小有明显的影响。

三、实验小结
通过本次实验
（1） 加深了对离散系统变换域分析-Z变换的理解。并学会了如何使用MATLAB进行Z变换。
（2） 了解了离散系统的零极点与系统因果性和稳定性的关系。
（3） 加深了离散系统的频率响应特性基本概念的理解
（4） 并学会了如何使用MATLAB进行Z变、离散系统幅频响应和相频响应特性分析与离散系统的零极点分析