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第一章 集合与函数概念
一、选择题
1．已知全集U＝{0，1，2}且UA＝{2}，则集合A的真子集共有( )．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{ x|x＜a}，若AB，则a的取值范围是( )．
A．{a|a≥1} B．{a|a≤1} C．{a|a≥2} D．{a|a＞2}
3．A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且，则的取值集合是( )．
A． B． C． D．
4．设I为全集，集合M，N，P都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为( )．
(第4题)
A．M ∩(N∪P)
B．M ∩(P ∩IN)
C．P ∩(IN ∩IM )
D．(M ∩N)∪(M ∩P)
5．设全集U＝{(x，y)| x∈R，y∈R}，集合M＝，
P＝{(x，y)|y≠x＋1}，那么U(M∪P)等于( )．
A． B．{(2，3)}
C．(2，3) D．{(x，y)| y＝x＋1}
6．下列四组中的f(x)，g(x)，表示同一个函数的是( )．
A．f(x)＝1，g(x)＝x0 B．f(x)＝x－1，g(x)＝－1
C．f(x)＝x2，g(x)＝()4 D．f(x)＝x3，g(x)＝
7．函数f(x)＝－x的图象关于( )．
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
8．函数f(x)＝(x∈R)的值域是( )．
A．(0，1) B．(0，1] C．[0，1) D．[0，1]
9．已知f(x)在R上是奇函数，f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )．
A．－2 B．2 C．－98 D．98
10．定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图象与f(x)的图象重合．设a＞b＞0，给出下列不等式：
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)；②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)；
③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)；④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a).
其中成立的是( )．
A．①与④ B．②与③ C．①与③ D．②与④
二、填空题
11．函数的定义域是 ．
12．若f(x)＝ax＋b(a＞0)，且f(f(x))＝4x＋1，则f(3)＝ ．
13．已知函数f(x)＝ax＋2a－1在区间[0，1]上的值恒正，则实数a的取值范围是 ．
14．已知I＝{不大于15的正奇数}，集合M∩N＝{5，15}，(IM)∩(IN)＝{3，13}，M ∩(IN)＝{1，7}，则M＝ ，N＝ ．
15．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}且B≠，若A∪B＝A，则m的取值范围是_________．
16．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x3)，那么当x∈(－∞，0]时，f(x)＝ ．
三、解答题
17．已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{ x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，且(A∩B)，A∩C＝，求的值．

∈
18．设A是实数集，满足若a∈A，则∈A，a≠1且1 A．
(1)若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素．
(2)A能否为单元素集合？请说明理由．
(3)若a∈A，证明：1－∈A．

19．求函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1，1]上的最小值．

20．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．A
解析：条件UA＝{2}决定了集合A＝{0，1}，所以A的真子集有，{0}，{1}，故正确选项为A．
2．D
∈
解析：在数轴上画出集合A，B的示意图，极易否定A，B．当a＝2时，2 B，故不满足条件AB，所以，正确选项为D．
3．C
解析：据条件A∪B＝A，得BA，而A＝{－3，2}，所以B只可能是集合，{－3}，{2}，所以，的取值集合是C．
4．B
解析：阴影部分在集合N外，可否A，D，阴影部分在集合M内，可否C，所以，正确选项为B．
5．B
解析：集合M是由直线y＝x＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P是坐标平面上不在直线y＝x＋1上的点组成的集合，那么M P就是坐标平面上除去点(2，3)外的所有点组成的集合．由此U(M P)就是点(2，3)的集合，即U(M P)＝{(2，3)}．故正确选项为B．
6．D
解析：判断同一函数的标准是两函数的定义域与对应关系相同，选项A，B，C中，两函数的定义域不同，正确选项为D．
7．C
解析：函数f(x)显然是奇函数，所以不难确定正确选项为C．取特殊值不难否定其它选项．如取x＝1，－1，函数值不等，故否A；点(1，0)在函数图象上，而点(0，1)不在图象上，否选项D，点(0，－1)也不在图象上，否选项B．
8．B
解析：当x＝0时，分母最小，函数值最大为1，所以否定选项A，C；当x的绝对值取值越大时，函数值越小，但永远大于0，所以否定选项D．故正确选项为B．
9．A
解析：利用条件f(x＋4)＝f(x)可得，f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)，再根据f(x)在R上是奇函数得，f(7)＝－f(1)＝－2×12＝－2，故正确选项为A．
10．C
解析：由为奇函数图像关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称，函数fx)，g(x)在区间[0，＋∞)上图象重合且均为增函数，据此我们可以勾画两函数的草图，进而显见①与③正确．故正确选项为C．
二、填空题
11．参考答案：{x| x≥1}．
解析：由x－1≥0且x≥0，得函数定义域是{x|x≥1}．
12．参考答案：．
解析：由f(f(x))＝af(x)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋1，所以a2＝4，ab＋b＝1(a＞0)，解得a＝2，b＝，所以f(x)＝2x＋，于是f(3)＝．
＋∞
13．参考答案：．
解析：a＝0时不满足条件，所以a≠0．
(1)当a＞0时，只需f(0)＝2a－1＞0；
(2)当a＜0时，只需f(1)＝3a－1＞0．

＋∞
综上得实数a的取值范围是．
14．参考答案：{1，5，7，15}，{5，9，11，15}．
解析：根据条件I＝{1，3，5，7，9，11，13，15}，M∩N＝{5，15}，M∩(IN)＝{1，7}，得集合M＝{1，5，7，15}，再根据条件(IM)∩(IN)＝{3，13}，得N＝{5，9，11，15}．
15．参考答案：(2，4]．
解析：据题意得－2≤m＋1＜2m－1≤7，转化为不等式组，解得m的取值范围是(2，4]．
16．参考答案：x(1－x3)．
解析：∵任取x∈(－∞，0]，有－x∈[0，＋∞)，
∴ f(－x)＝－x［1＋(－x)3］＝－x(1－x3)
∵ f(x)是奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)．
∴ f(x)＝－f(－x)＝x(1－x3)，
即当x∈(－∞，0]时，f(x)的表达式为f(x)＝x(1－x3)．
三、解答题
17．参考答案：∵B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，
C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4，2}，
∈A
∈
∴由A∩C＝知，－4 ，2 A；
由(A∩B)知，3∈A．
∴32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a＝－2．
当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝B，与A∩C＝矛盾．
当a＝－2时，经检验，符合题意．
18．参考答案：(1)∵ 2∈A，
∴＝＝－1∈A；
∴＝＝∈A；
∴＝＝2∈A．
因此，A中至少还有两个元素：－1和．
(2)如果A为单元素集合，则a＝，整理得a2－a＋1＝0，该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集．
(3)证明： a∈AÞ∈AÞ ∈AÞ∈A，即1－∈A．
19．参考答案： f(x)＝2＋3－．
(1)当＜－1，即a＜－2时，f(x)的最小值为f(－1)＝5＋2a；
(2)当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，f(x)的最小值为＝3－；
(3)当＞1，即a＞2时，f(x)的最小值为f(1)＝5－2a．
综上可知，f(x)的最小值为
20．参考答案1)∵函数f(x)为R上的奇函数，
∴ f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，a≠－2，
从而有f(x)＝．
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2．
(2)先讨论函数f(x)＝＝－＋的增减性．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝－＝，
∵指数函数2x为增函数，∴＜0，∴ f(x2)＜f(x1)，
∴函数f(x)＝是定义域R上的减函数．
由f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0得f(t2－2t)＜－f(2t2－k)，
∴ f(t2－2t)＜f(－2t2＋k)，∴ t2－2t＞－2t2＋k ()．
由()式得k＜3t2－2t．
又3t2－2t＝3(t－)2－≥－，∴只需k＜－，即得k的取值范围是．