幂函数教案.doc

幂函数
（一）教材分析
本节课选自新课程苏教版必修1第二章第4节，幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待等以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。
（二）学情分析
学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。
（三）设计思想
由于幂函数的性质随幂指数的轻微改变会出现较大的变化，因此要学生在一节课中象指数函数和对数函数那样完全掌握这类函数的性质是比较困难的，因此本人采用了从特殊到一般、再从一般到特殊的方法安排教学：先重点研究了几个常见的幂函数的图象和性质，然后通过几何画板软件动态演示幂函数的图象（在第一象限）随幂指数连续变化情况，让学生归纳幂函数性质随幂指数改变的变化情况（其他象限内的情况，可结合奇偶性得到），最后再通过改变画板中的幂函数的幂指数（用参数的方法），让学生预测将要出现什么样的图象，让学生检测自己探索成果的有效性，体验成功，享受学习的乐趣。
（四）教学目标
1.知识目标
（1）了解幂函数的概念；
（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；
（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。
2.能力目标
在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。
3. 情感目标
通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。
（五）教学重点
常见的幂函数的图象和性质
（六）教学难点
幂函数的图象和性质的总结
（七）教学用具
多媒体平台，几何画板课件
（八）教学过程
【创设情境】（多媒体投影）
问题1.某人买每千克1元的蔬菜，则其需付的钱数p（元）和购买的蔬菜的量（千克）w之间的有何关系？
2.正方形的面积S和它的边长a之间有何关系？
3.正方体的边长V和它的边长a之间有何关系？
4.问题2中，边长a是S的函数吗？
5.问题3中，边长a是V的函数吗？
6.某人在t秒内行进了1千米，那么他的行进的平均速度v为多少？
学生很容易回答出这六个关系式（都是函数关系式）分别是：

【提出问题 启发建构】
问：这六个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？
这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用表示自变量，用表示函数值，上述函数式变成：，便于看出特征
它们都是形如的函数。（投影幂函数的定义。）
揭示课题：今天这节课，我们就来研究：幂函数
深化认知 （1）下列函数是幂函数的是：
A. B. C. D.
（2）幂函数与指数函数有什么联系和区别？
引导：有了幂函数的概念后，我们接下来做什么？――――研究幂函数的性质
通过什么方式来研究？――――――画函数的图象
为使作图高效，我们可先做点什么―――分析函数的定义域、奇偶性
（投影）例1.写出下列函数的定义域，并指出奇偶性：

探究：①怎样便于看出幂函数的定义域？（写成根式的形式）
②观察幂函数的定义域对其奇偶性有什么影响？
结论1：只要幂函数的定义域是关于原点对称的（或者说定义域中有负数）则其一定具有奇偶性。
【动手实践】请同学们画出下列常见的幂函数的图象，并根据图象将发现的性质填入表格
（投影显示表格）

定义域

值域

奇偶性

单调性

特殊点

教师在这期间予以巡视指导，稍后，对学生感觉可能比较难画而不能肯定的四个函数、、和的图象，利用几何画板现场画出。为了不让学生感觉太突然，应该使用画板里的追踪动点轨迹的方式作图，近似于描点作图，这样可以让学生从中感受幂函数的值随变化而变化的情况。然后再作出完整的图象。（图1是在作图象的过程中的情况）　　　　　　　　　　　　　　　
师生共同完成上表。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图1　　　　　
观察上表，组织学生讨论总结出这几个函数共同的性质：
， ， ， ，
（1）图象都过点（0,0）和（1,1）；
（2）在［0,＋∞）上是增函数。
　，
（1）图象都过点（1,1）；
（2）在（0,＋∞）上是减函数。　　　　　　　　　　　　　　　　
【类比联想 拓展探究】
我们研究的几个常见的幂函数的性质，是否也适合其他的幂函数，一般的幂函数怎样去研究它的性质呢？让同学们讨论、猜想一般的幂函数的图象和性质。
诱思：哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象，这时可以通过什么途径来判断？
结论2：第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、第三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断（结合结论1）。
老师用几何画板画出函数在第一象限内的图象，改变α的值，组织学生观察、分析所得的函数图象，在动态的变化过程中，让学生了解幂函数的性质里本质的、共性的东西。（如图2）。师生共同得出：
结论3：幂函数的基本特征可以概括为：
（1）α>0时，图象过（0,0），（1,1），在第一象限内图象是上升的；
此处提醒同学们注意α>1和0<α<1时图象的区别（可以概括为“快增”和“慢增”）
（2）α<0时，图象过（1,1），在第一象限内图象是下降的，与坐标轴无交点；
（3）其他象限内的图象可以通过函数的定义域和奇偶性得出。
【个例检验】
老师通过几何画板利用参数法作出完整的幂函数
的图象，检验刚才总结得到幂函数的性质的正确性。
然后，在画出图象之前，让学生预测将出现的
图象的形状、区域，来检测同学对幂函数性质的
了解程度，体验学习带来的成就感，成功带来的愉悦。
【目标检测】
请同学上黑板作出函数　，的草图，并指出单调区间；组织同学评议。
例2.比较下列各组数的大小：
（1）　（2）　　　
【变式训练　提高能力】
比较
小结：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；
底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性。
【课后巩固作业】　课本P73　1.2.3.4

幂函数的教学设计

阿城二中
王继伟