平面向量(新).doc

第3讲 平面向量
【目标引领】
1、掌握平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量数量积等基本概念、运算及其简单应用．复习时应强化向量的数量积运算，向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题要引起足够重视．
2、在复习中要注意数学思想方法的渗透，如数形结合思想、转化与化归思想等．会用向量解决某些简单的几何问题．
【考情分析】
平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求，应特别重视．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题.
【主干知识梳理】
1、 向量的概念及其有关概念：
（1）向量

（2）零向量：

（3）单位向量：

（4）平行向量(共线向量)：

（5）相等向量：

（6）相反向量：

(7)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．

(8)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影．
2、 平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
3、平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：
(1)a∥b⇔ ⇔

(2)a⊥b⇔ ⇔
4、 平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝ =
【自学探究】
1、设x，y∈R，向量＝(x,1)，＝(1，y)，＝2，－4)，且⊥，∥，则|＋|＝ ________.

2、(2013·安徽)若非零向量，满足||＝3||＝|＋2|，则与夹角余弦值为______．

3、（2013江苏卷10）10．设分别是的边上的点，，，若 （为实数），则的值为 。

4、已知非零向量，，满足＋＋＝0，向量与的夹角为60°，且||＝||＝1，则向量与的夹角为________．

5、在中，若，则=

6、在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，函数y＝ex的图象与y轴的交点为B，P为函数y＝ex图象上的任意一点，则·的最小值为____________．

【典型问题研究】
题组一：图形中的向量问题
1、（2012江苏卷）如图，在矩形中，，点是的中点，点在边上，若，则的值是 ．

2、在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 ．（2012上海卷）

3、(2013·山东卷)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若A＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．

4、(2013·天津卷)在平行四边形ABCD中AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．

5、在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上且，则的坐标是 ．

题组二：向量的数量积、夹角、模的问题
1、（必修4习题20）设，，都是单位向量，且，求的最小值．

2、设向量，，满足，，，则||的最大值等于 ．

【变式2】：已知，，对总有，则与的夹角是 ．

3、(2013·湖南卷)已知，是单位向量，·＝0.若向量满足|－－|＝1，则||的取值范围是________．

题组三：三角函数与向量交汇的问题
1、已知向量＝，＝(2，cos2x)．
(1) 若x∈，试判断与能否平行？
(2) 若x∈，求函数f(x)＝·的最小值．

2、已知向量＝(sin x，－1)，＝(cos x,3)．
(1)当∥时，求的值；
(2)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c＝2asin(A＋B)，函数f(x)＝(＋)·，求的取值范围．

第3讲、平面向量练习
1、已知向量与的夹角为，||＝1，，则

2、已知向量＝(3，4)，b满足·＝0且||＝1，则＝________．

3、若平面向量、满足|＋|＝1，＋平行于x轴，＝(2，－1)，则＝________．

4、在△ABC中，若·＝·＝2，则边AB的长为________．

5、已知平面向量、，||＝1，||＝2，⊥(－2)，则|2＋|＝________．

6、已知向量、满足(＋2)·(－)＝－6，且||＝1，||＝2，则与的夹角为________.

7、在△ABC中，已知·＝4，·＝－12，则||＝________.

8、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.

9、如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值是________

10、在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则 |＋3|的最小值为______．
11、在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边分别为a、b、c，且1＋＝.
(1) 求∠A；
(2) 若＝(0，－1)，＝，试求|＋|的最小值．

12、如图，在四边形ABCD中，AD＝8，CD＝6，AB＝13，∠ADC＝90°，且·＝50.
(1) 求sin∠BAD的值；
(2) 设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求的值．

13、如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.

(1)求＋S的最大值；
(2)若CB∥OP，求sin的值．

考点一、平面向量的概念及线性运算
1、(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
2、△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋＋＝0且||＝||，则向量在上的投影为________．
3、已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为________．
4、如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，
与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ
(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
考点二、平面向量的数量积
1、若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b
－c|的最大值为_______
2、(2013·山东)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若A＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
3、(2013·重庆改编)在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||<，则||的取值范围是________
4、在平面四边形中，已知，，点分别在边上，且，．若向量与的夹角为，则的值为 ▲ ．

考向三、平面向量与三角函数的综合应用
1、已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<αan 2α的值．
2、已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．
(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；
(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＝，求f(x)＋4cos(2A＋)(x∈[0，])的取值范围．

第3讲、平面向量
1、（江苏2004年4分）平面向量中，已知=(4，－3)，=1，且=5，则向量= ▲ .

1、已知i与j为互相垂直的单位向量a＝i－2j，b＝i＋λj且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
2、(2013·湖北改编)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为________．
3、(2013·福建改编)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为________．
4、已知两点A(1,0)，B(1，)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°，设＝－2＋λ(λ∈R)，则λ＝________.

5、函数y＝tan(x－)(0量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是________
7、若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为________．
8、(2013·安徽)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．
9、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°.如图所示，
点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x、y∈R，
则x＋y的最大值是________．
10、(2012·湖南改编)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝________.

11、在△ABC中，向量m＝(2cos B,1)，向量n＝(1－sin B，－1＋sin 2B)，且满足|m＋n|＝|m－n|.
(1)求角B的大小；
(2)求sin A＋sin C的取值范围．
12、(2012·湖北)已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx，2cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围
13、（江苏2010年14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）设实数t满足()·=0，求t的值。