镇江市实验高中2013级高二数学数学周周清四答案.doc

镇江崇实女子中学高二年级数学周周清四答案
班级 姓名
1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．
相交　解析：本题考查圆与圆的位置关系，属于容易题．

2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a取值范围是________．

[－3，1]　解析：设圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a，0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，则d≤r＝|a＋1|≤2－3≤a≤1.
3．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
解：∵圆C的方程为x²+y²-8x+15=0， 整理得：（x-4）²+y²=1
即圆C是以（4，0）为圆心， 1为半径的圆
又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点 ∴只需圆C′：（x-4）²+y²=4与直线y=kx-2有公共点即可．
设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d
则d=|4k-2|/√(1+k²)≤2 3k²≤4k
0≤k≤4/3 ∴k的最大值是kmax=4/3
4．若过点A(－2,0)的圆C与直线3x －4y＋7＝0相切于点B(－1,1)，则圆C的半径长等于________．
　解析：本题考查圆与圆的位置关系，点到直线距离，属于中档题. 由题C(4，0)，数形结合可知，当圆心C到直线y＝kx－2的距离为2时，可得k的最大值，即＝2，解得k＝或k＝0(舍)．

5. 过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为________　　.
5. (2010·苏州市期末)若过点A(－2,0)的圆C与直线3x－4y＋7＝0相切于点B(－1,1)，则圆C的半径长等于________．
答案：5
解析：由题可得圆C的圆心在直线4x＋3y＋1＝0(过点B(－1,1)且与直线3x－4y＋7＝0垂直的直线)上，又在AB的垂直平分线y＝－x－1上，所以圆C的圆心C(2，－3)，AC＝BC＝＝5.
6. 已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1，直线l：y＝2x＋2被圆M所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方．则圆M的方程为____________________ .
答案：x2＋(y－1)2＝1
解析：设M(0，b)．由题设知，M到直线l的距离是＝，所以＝，解得b＝1或3. 因为圆心M在直线l的下方，所以b＝1，即所求圆M的方程为x2＋(y－1)2＝1.
7. 若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是1,2)，则直线PQ的方程是________________ .
答案：x＋2y－5＝0
解析：圆x2＋y2＝9中以M(1,2)为中点的弦PQ与OM的连线垂直，则kPQ·kOM＝－1，即kPQ·2＝－1，所以kPQ＝－，故直线PQ的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
8. 已知圆C方程为x2＋y2＝4.直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程是____________________ .
答案：3x－4y＋5＝0或x＝1
解析：①当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，－)，其距离为2满足题意；②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d，则2＝2，得d＝1，∴1＝，k＝，故所求直线方程为3x－4y＋5＝0，综上所述，所求直线为3x－4y＋5＝0或x＝1.
9.过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为　　.
答案：(x－3)2＋y2＝2
10. 已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖．
(1) 试求圆C的方程；
(2) 若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A、B.满足CA⊥CB，求直线l的方程．

解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则根据已知条件得.所以所求圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.
解：(1) 由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形， 所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是， 所以圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5. 　(2) 设直线l的方程是y＝x＋b.因为CA⊥CB，所以圆心C到直线l的距离是， 即＝，解得b＝－1±.所以直线l的方程是y＝x－1±.
11.已知x，y满足约束条件，试求解下列问题．
(1) z＝的最大值和最小值；
(2) z＝的最大值和最小值；
(3) z＝|3x＋4y＋3|的最大值和最小值．

解：(1) z＝表示的几何意义是区域中的点(x，y)到原点(0,0)的距离，则zmax＝，zmin＝.
(2) z＝表示区域中的点(x，y)与点(－2,0)连线的斜率，则zmax＝1，zmin＝.
(3) z＝|3x＋4y＋3|＝5·，而表示区域中的点(x，y)到直线3x＋4y＋3＝0的距离，则zmax＝14，zmin＝5.

12. 已知圆M的方程为x2＋(y－2)2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B.
(1) 若∠APB＝60°，试求点P的坐标；
(2) 若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C、D两点，当CD＝时，求直线CD的方程；
(3) 求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
(1) 解：设P(2m，m)，由题可知MP＝2，所以(2m)2＋(m－2)2＝4，解得m＝0或，故所求点P的坐标为P(0,0)或P.
(2) 解：设直线CD的方程为y－1＝k(x－2)，易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以＝，解得k＝－1或－，故所求直线CD的方程为x＋y－3＝0或x＋7y－9＝0.
(3) 证明：设P(2m，m)，MP的中点Qm，＋1，因为PA是圆M的切线，所以经过A、P、M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为(x－m)2＋2＝m2＋2，化简得x2＋y2－2y－m(2x＋y－2)＝0，此式是关于m的恒等式，故，解得或，所以经过A、P、M三点的圆必过定点(0,2)或.