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还原数学教学的本来面目
——高一第一学期《集合的运算》教学设计

一、名师简介
李英老师是普陀区师德标兵、上海市园丁奖获得者，被学生评为“心目中的好老师”、“十佳教工”。作为数学教师，他关爱学生，教学实绩优秀；作为区学科带头人，他引领、带教青年教师；作为首批上海市“双名工程”重点学员、第二批学员导师，他开设公益电视讲座、外出讲学，培训、指导一线教师；作为华师大数学系兼职导师，积极为培育未来教师做贡献。
他致力于高中数学教学的探索与实践，为市内外专家、同行开设教学实践课几十节，积累了丰富的教学经验，形成了“整体把握、回归本原”的教学风格；领衔多项市、区课题研究，有几十项研究报告、论文及课例在《上海教育科研》、《数学教学》等核心期刊发表或获奖，《上海教育》报道了他的心路历程。

二、教学设计
1.前端分析
1.1教材分析
集合的运算是学生进入高中学习的第一种运算，较初中学习的数式的运算更抽象，也不同于之后将学习的复数的运算、三角的运算及向量的运算等。同时集合作为一种数学语言，尤其是集合的关系与运算贯穿于高中数学学习的全过程。基于学生已有的认知基础，通过创设问题情境，让学生在探究中经历知识的“再创造”过程，帮助学生实现思维的跨越，知其然，更知其所以然，为后续的高中数学学习奠定扎实的基础。
1.2学情分析
在高中阶段，学生正处在形成连贯逻辑思维的时期，集合这部分内容为培养学生清晰而有条理地表达自己的数学思想、倾听别人的意见，学会正确使用数学符号、数学语言提供了平台[1]。上海市宜川中学是市实验性示范性高中，学生的数学基础与能力相对较好。基于以往的教学实践，除个别学生在表达集合运算的结果时，没有写成集合的形式之外，对绝大多数学生来说，能够借助文氏图，理解“交、并、补”运算的意义，完成课本练习中集合的基本运算。
1.3课标分析
课程标准对“集合的运算”学习要求是掌握集合的“交、并、补”运算，即在明了知识来龙去脉的基础上，能把握知识的本质及其内容。同时在课程实施方面，倡导对内容的“问题化”组织，将内容转化为符合学生心理特点的问题或问题情境，激发兴趣，促进探究；对内容的“操作化”组织，将“做、想、讲”有机结合，内化所学内容；以及对内容的“结构化”组织，加强模块或主题的整合，沟通章节或单元内容间的联系，形成良好认知结构（第18页）[2]。

2.问题提出
著名数学教育家弗赖登塔尔曾说过：“没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来”，现行教材因编排需要，常常隐去了知识的来龙去脉。学生学习数学知识，如果只注重结果，忽视知识的发生过程，学生的学习方式注定以记忆为主，失去了感悟的机会和经历，学生很难真正品味到数学的原汁原味，离数学学科之本越来越远，背离了数学教学的宗旨。
“集合的运算”这一知识单元，教材分三小节讲述交、并、补集三种运算的，若按教材的编排分别学习这三种运算，学生就会有“集合的交、并、补运算是怎样想到的？它们之间的内在逻辑关系如何？两个集合的基本运算会有几种？”等疑问，不利于学生自然的、系统的掌握知识，失去了一次感悟连贯逻辑思维的机会。
在一些学习资料中，经常将子集、交集、交集和补集放在一起，有的都称为集合的关系，有的不加界定，混在一道进行罗列。事实上，子集属于集合的关系范畴，同时两个集合之间不仅有包含关系，包含关系只是两个集合关系中的一种，抛开对集合关系的逻辑划分，只讲包含关系，不利于学生的认知；并集、交集和补集是集合的运算，但三者从逻辑划分角度出发，并不是一个层面的，事实上两个集合之间还存在着其它的基本运算，比如差运算：，而补运算是差运算的一个特例，既当被减集合为全集时的情形，同时课本中为什么不讲差运算，等等问题，如果不一一理清楚，学生对集合的关系和运算知识的理解逻辑是混乱的，不仅不利于知识的建构，更不利于认知力的提升，“在数学知识学习的过程中，学会数学地思考”的育人目标无法落实。
基于上述分析，在高中数学学习的起始阶段，从“教好数学的内涵：以数学知识发生发展的过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，构建前后一致，逻辑连贯的学习过程”[3]出发，笔者试图厘清其间的逻辑顺序和结构，构建逻辑连贯的探究学习过程，让集合运算的知识能基于学生已有的认知和经验，自然、顺畅地生成，在这样的过程中，发展学生的认知性思维，学会数学地思考，从而实现数学育人的目标，还原数学教学的本来面目。
按课标要求，集合的运算单元安排3课时，我尝试对本单元内容进行重组，利用第1课时，引导学生探究集合的并、交、补运算的内涵，第2和第3 课时，安排集合运算的应用，相应的进行集合运算的基本训练和综合训练。这样的安排，一方面有利于学生对集合运算知识的逻辑建构，感悟数学研究的一般方法，同时为学生在集合运算的应用过程中体验高层次思维，感悟数学思想方法提供了时空条件。

3.教学设计
3.1 第1课时 集合运算的定义
[学习目标]
1．理解集合运算的内涵；
2．经历集合运算的生成过程，体会容斥、简约原理及类比思想；
3．通过集合运算知识体系的自主建构及实际应用，感悟数学的魅力与价值。
[学习重点]
集合运算的内涵
[学习难点]
集合运算的外延及关联
[过程设计]
（一）复习回顾
[问题1]两个集合的关系有哪几种？
两个集合A、B的关系按公共元素的不同情形分为三种：
（1）无公共元素；（2）集合B的部分元素为公共元素；（3）集合B的元素均为公共元素（包含关系）（见下图3）
【设计说明】两个集合的关系是分类问题，需明确分类的标准。借助两个圆的位置关系帮助思考，以集合B中元素为公共元素的不同情形分类，得到两个集合的三种关系。既是对上节内容的回顾又是构成本节课学习集合运算的逻辑线索。
（二）实例引入
思考：今天是2012年9月5日，能否用日期中的三个数字：2012，9，5来命题？
[问题2]在1,2,3,…,2012自然数中，既不能被9整除，也不能被5整除的数的个数？
（图1）
引入集合语言，记集合，其中分别能被5、9整除的数的集合，可分别记为集合和集合，原问题转化为求右图1中阴影部分元素的个数——归结为集合问题（数学化），解此题需集合运算知识（板书课题）
【设计说明】巧用开课时期引出问题，通过构造集合，将实际问题建立数学模型，归结为集合问题来解决，激发学生的学习兴趣，认识到集合运算的实际意义与价值。
（三）新课探究
[问题3]两个集合的运算有哪些？
1.集合的关系与运算有何不同？
比如，5与2比较大小，结果为，比较后仍然是原来两个数；但5与2运算后，，，结果产生了新数，分别称为和与积。
类比数的大小关系及运算，思考集合的关系与运算的区别——是否产生新的集合
2.集合的运算有哪些？
对于情形（2），由具有部分公共元素的集合A、B，可产生三种新的简单集合（如下图3），猜想集合可能有三种运算
【设计说明】面对“集合的运算有哪些？”这样的问题，一时难以入手，从哪里切入呢？面对新的问题，寻找与已有的知识和经验建立关联是人们常用的认知策略——集合的运算有两个关键词，即“集合”和“运算”，关于集合，前面刚学过的知识是集合的关系，而关于运算，我们熟知的是数的运算，由此自然想到数的关系和运算与今天所学习的主题相关；两个数的关系主要是比较大小，两个数的运算有加减乘除四则运算，如此仍不能回答“集合的运算有哪些？”这样的疑问。进一步思考：数的关系与运算有何异同呢？或许能为集合的关系与运算指明方向，事实上数的大小关系比较后仍然是这两个数，但这两个数经运算后，通常会产生新的数（并赋予新的名称，比如和、差、积、商等）。
（图2）
对于两个集合的关系，比较后仍然是这两个集合，那么由这两个集合可以产生哪些新的简单集合，相应地就可能存在着几种集合的运算，问题豁然开朗。先从具有一般意义的情形（2）出发，结合文氏图，很快发现由两个集合A、B，大致可以产生三种新的简单集合。会有个别同学认为右图2中的集合也是产生的一种新集合，通过与前面三种集合比较发现，它不是简单集合，而是由两个简单集合组成的，对应的应该是基本运算的综合。
[问题4]请对集合的三种运算命名与定义？
1.（尝试定义）对情形（2），借助具体的集合，思考新集合的元素有怎样的特征？并请你试着给这些运算命名：
运算/关系
无公共元素
部分公共元素
包含
并

交

（差）

(阴影)

补

（图3）

2.（完善定义）对情形（1）无公共元素和情形（3）包含关系给出相应定义
【设计说明】集合的核心要素是元素，从思考新的集合元素的特征出发，尝试为三种集合的运算命名和下定义，通过小组合作探究与交流，给出了情形（2）下“并、交、差”三种运算的名称与定义；在尝试定义的基础上，进一步引导学生完善定义，对于情形（1）和（3）这两种特殊情况，给出相应的定义，培养思维的严谨性。
3.（引申定义）回顾百以内数的加减法，思考我们是如何进行简算的？ 事实上，这里数字2就是98相对于一百的补数，借助补数实现了简算。
全集的定义：如果集合包括所研究对象中的全部元素，称集合为全集。全集是相对的，也是人为约定的，会因为所研究的问题不同，可以进行不同的规定。
补运算的定义：此时表示全集中不属于集合B的元素，称为集合B的补集，记为
【设计说明】在回顾百以内数加法的简便运算的基础上，理解全集的意义（相当于集合，它包含所要进行的百以内数加减运算的所有数），进而通过类比“补数”的涵义，给出补集的概念，并指出当被减集合为全集时的差运算就是补运算。
[问题5]补运算与差运算有怎样的关系？教材中为什么没有定义“差”运算？
（凝练定义）①人们常常要问：，那么属于什么，结合文氏图思考；
②差运算可否用“并、交、补”运算来表示：
【设计说明】通过上述分析，知道两个集合之间存在“并、交、差”三种运算，而补运算是差运算的特例。在弄清了集合运算的外延及内在逻辑关系后，学生的疑问聚焦在课本为什么没有定义差运算，而定义了补运算。在现实生活中常常关注不是集合A的元素在哪里，可见补运算更具现实意义；另一方面由于差运算可用另外三种运算表示，按简约原理，差运算不必列出。
（四）当堂检测
[问题6]已知集合．
（1）计算： ；= ；= ．
（2）求集合中既不是2的倍数，又不是3的倍数的元素个数．
【析】（1）略；（2）列式简算：
【推广】一般地，记表示集合A的元素个数，且已知全集、集合B，则既不属于集合A，又不属于集合B的元素个数为：
（被称为容斥原理）
【应用】解决引入问题：
【析】已知全集，且集合和集合，原问题即求全集中，既不属于集合A，又不属于集合B的元素个数，由容斥原理，得：
．
【设计说明】问题6的（1）小题是利用学习的集合运算知识直接解决问题，起到当堂检测的功能；通过（2）小题的解决，对结论加以推广，便得到了容斥原理，在此基础上，通过小组合作探究，解决了课前引入问题，既是对所学知识的应用，又达到了首尾呼应的效果，让学生感受数学的魅力与价值。
（五）总结提升
（1）运算的内涵：（学习路径）引入—尝试—完善—引申—凝练；
（2）相关原理：容斥、简约、模型原理
（六）课后思考
[问题7]①集合，若，则= ；
②若集合，问是否正确，说明理由．

32 第2、第3课时 集合运算的应用
设计要点：首先自主学习课本例题，完成课后练习1.3(1)~(3)，并进行交流、点评，关注集合的运算结果为集合（表达规范）；
其次可设计完成下列集合的运算：
已知集合，和集合， 完成下表中的运算，并填表：
交
补
并

A

B

C

D

E
——
——
——
——

【设计说明】第1课时定位为概念理解课，第2和第3课时定位为技能习得课，主要内容是集合运算的应用。通过完成表中所列的集合运算，一方面要注意识别描述法表示的不同集合的意义，起到辨析的作用，另一方面通过这组问题的解答，在总结的基础上，形成集合运算的步骤：①识别（数集、点集等）；②化简（数集用区间或列举法表示等）；③运算（可结合数轴）并得出结论，从而达到技能算法化的目标。（注：区间的表示安排在集合的表示法中学习）

4.自我反思
4.1 数学课改的探索——提高自身的教学知能
笔者针对“集合的运算”这一课题，先后于2009年9月、2012年9月和2014年12月，分别为华东师范大学数学系2009级本科生、上海市宜川中学数学组及骨干教师，以及上海市金汇中学数学组全体教师开设了研讨课。以下是来自金汇中学的反馈：
作为学校“做有思想的学科领导者”教师专业培训活动系列之一，我校邀请了上海市宜川中学副校长、数学特级教师李英老师在我校高一（5）班开设了一节《集合的运算》教学示范课。由于是高一入学的开篇内容，许多老师带着好奇认真琢磨李英老师如何开展它的教学内容。整堂课用七个问题串联，充满了浓浓的数学味，听后让你还在细细品味其中。浅入深出，简约凝练，始终渗透“类比思想”，让学生好记易懂。通过集合的运算知识体系的自主建构及实际应用，让学生和我们老师切身体会到了数学的魅力和价值。示范课后，李英老师的微报告《让课堂更有数学“味”》，通过几个具体案例，站在学科核心思想的高度，对如何进行教材处理、教学设计、问题探究等阐述他的教学心得，更让我校所有数学老师收获颇丰他的“让新知识自然生成，让学生幸福地接受”的教学理念正是我们都在摸索和追求的数学价值之所在。（文章来源：徐汇区金汇中学校园新闻2014年12月18日）
作为数学教师应根据课程标准的要求、学生的实际，对教材进行增减、重组，在不同层次思维递进的关键点为学生搭设好“脚手架”，帮助学生拾级而上；通过重组，为学生提供结构化的学习内容，从联系的角度理解知识成为教改的关键[4]。教师还应多思考“知识是如何发现的”、“方法是如何想到的”等具有本原性的问题，把数学知识的内在逻辑理清楚，再以符合学生认知规律的方式组织教学，就可以把数学教得简单、清楚、明白[3]。教师对教材重组的能力，以及对教材挖掘、理解的功底是教学知能的重要体现。

4.2 数学育人的使命——发展学生的学科素养
日本数学家米山国藏说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使人终身受益。”所有数学知识的发生发展都依赖数学思想，通过深刻挖掘，理解数学知识背后的数学思想，并将其传递给学生，具备数学思想的人，会用数学的眼睛看世界。数学教育史家史宁中指出：“三种基本的数学思想是抽象、推理和模型”[5]。
本节课将实际问题数学化，归结为集合的运算问题，体现了模型思想；从具体集合出发，通过分析集合元素的特征，尝试为集合的运算命名与定义，进而生成集合运算的概念，以及由特殊到一般推导出容斥原理，并进而解决引入问题等，都体现了抽象思想；通过环环相扣的七个问题，串联成逻辑连贯的学习过程，体现了逻辑推理；而通过类比数的关系与运算，理解集合的关系与运算，以及类比补数的意义，理解全集、补集的内涵等，则体现了合情推理。
本节课集合的运算概念的生成从如下几个维度展开：（必要性）为什么引入这个概念¾¾现实社会（外部）发展需要、数学自身（内部）发展需要；（合理性）为什么这样定义概念¾¾规定的合理性；（科学性）概念的定义是什么¾¾如何规定；（完整性）各种情形下的定义，包括反面理解定义；（辨析性）该概念与其他概念的关联——区别与联系，及在概念体系中的地位等。让学生完整经历集合运算的生成过程，建立起研究数学对象的结构，从而形成完整的认识。通过学习，学生会感悟到一般概念学习、研究的路径与方法。

三、专家点评
点评一：上海市数学特级教师、特级校长康士凯
“单元统整教学设计”是李英老师多年来的一项教学实验，这项实验在帮助学生把握数学知识的脉络、领悟数学思想方法方面有较明显的效果。《集合的运算》这份教案可以看出李英的“单元统整教学设计”的教学思路。作为一线教师能着眼于教材的处理调整，让学生在学习经历中体悟知识的探究过程，其教学能力与教学思想是不容易的。
《集合的运算》向学生提出学习了集合这个概念之后，应该如何继续探究，这个想法对以后复数、向量等概念的学习都有可类比之处。此外，交、并、补三种运算放在一起讲讲，并立的知识该如何学习，李英也竭力按照布鲁纳结构主义思想在完善学生认知结构，体现方法比知识更重要的教学理念，也体现了李英的数学素养。
该教案虽然三个运算放在一起讲，但控制了难度，对宜川中学学生是比较适宜的。

2012年9月5日

点评二：华东师范大学数学系教授、博士生导师鲍建生
集合的运算是数与符号运算的拓展，这种拓展在逻辑思维的水平要求上是比较高的，因为集合运算本质上已经不是普通的数值运算，而是一种逻辑运算，或者说是一种逻辑推理的形式。由于集合理论是数学的基础，这部分内容对于学生理解如何运用现代数学的思想来处理传统数学内容有一定的作用，因此，本节课的教学有比较大的弹性，教师一般不容易把握。从上述教学设计来看，李老师并没有过分拔高集合运用的学习要求，而把重点放在运算关系和规则的理解和使用上,引导学生经历集合的运算概念的建构过程，我认为这样的处理对于普通高中生来说是比较合理的。

2012年9月5日

参考文献：
1 袁震东主编．高级中学数学教学参考资料高一年级第一学期[M]．上海：上海教育出版社，2006
2 上海市教育委员会．上海市中小学数学课程标准[M]．上海：上海教育出版社，2004
3 章建跃，陈向兰．数学教育之取势明道优术[J]．数学通报，2014，10
4 常生龙．教师要有重组教材的能力[J]．上海教育，2014，30
5 赵希斌．魅力课堂——高效与有趣的教学[M]．上海：华东师范大学出版社，2013