第5章学案24.doc

学案24　平面向量及其线性运算
导学目标： 1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.
3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．

自主梳理
1.向量的有关概念
(1)向量的定义：既有________又有________的量叫做向量．
(2)表示方法：用____________来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．用字母a，b，…或用，，…表示．
(3)模：向量的________叫向量的长度或模，记作______或________．
(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．
(5)单位向量：长度为________单位长度的向量叫做单位向量．与a平行的单位向量e＝____________.
(6)平行向量：方向________或________的________向量；平行向量又叫________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量________．
(7)相等向量：长度________且方向________的向量．
2．向量的加法运算及其几何意义
(1)已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的____，记作________，即________＝＋＝________，这种求向量和的方法叫做向量加法的____________．
(2)以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的____________．
(3)加法运算律
a＋b＝________ (交换律)；
(a＋b)＋c＝________(结合律)．
3．向量的减法及其几何意义
(1)相反向量
与a________、________的向量，叫做a的相反向量，记作____．
(2)向量的减法
①定义a－b＝a＋___即减去一个向量相当于加上这个向量的________．
②如图，＝a，＝b，则＝______，＝______.

4．向量数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝________；
②当λ>0时，λa与a的方向________；当λ<0时，λa与a的方向________；当a＝0时，λa＝____；当λ＝0时，λa＝____.
(2)运算律
设λ，μ是两个实数，则
①λ(μa)＝________.(结合律)
②(λ＋μ)a＝________.(第一分配律)
③λ(a＋b)＝________.第二分配律)
(3)两个向量共线定理：向量b与a (a≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
5．重要结论
(1)＝(＋＋)⇔G为△ABC的________；
(2)＋＋＝0⇔P为△ABC的________．
自我检测
1．(2010·四川改编)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________.
2．下列四个命题：
①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②对于实数m和向量a，b (m∈R)，若ma＝mb，则a＝b；
③若ma＝na (m，n∈R，a≠0)，则m＝n；
④若a＝b，b＝c，则a＝c，
其中正确命题的个数为________．
3．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则用a，b表示为________．
4．(2010·湖北改编)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
5．(2009·安徽)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝______.
探究点一　平面向量的有关概念辨析
例1　①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；
④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.
以上命题中正确的个数为________．
变式迁移1　下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)．
①|a|＝|b|⇒a＝b；
②若a＝b，b＝c，则a＝c；
③|a|＝0⇒a＝0；
④若A、B、C、D是不共线的四点，则＝⇔四边形ABCD是平行四边形．
探究点二　向量的线性运算
例2　已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：＝(＋)．

变式迁移2　如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示，，＋.

探究点三　共线向量问题
例3　如图所示，平行四边形ABCD中，＝b，＝a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线．

变式迁移3　设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；
(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值．

1．若点P为线段AB的中点，O为平面内的任意一点，则＝(＋)．如图所示．

2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时才能得出三点共线．
3．三点共线的性质定理：
(1)若平面上三点A、B、C共线，则＝λ.
(2)若平面上三点A、B、C共线，O为不同于A、B、C的任意一点，则＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是________(填上正确的序号)．
①＝＋； ②＝－；
③＝－＋； ④＝－－.
2．设a，b为不共线向量，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则使＝λ成立的λ值为________．
3．设a，b是任意的两个向量，λ∈R，给出下面四个结论：
①若a与b共线，则b＝λa；

②若b＝－λa，则a与b共线；
③若a＝λb，则a与b共线；
④当b≠0时，a与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a＝λ1b.
其中正确的结论有________(填上正确的序号)．
4．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则用b，c表示为________．
5．(2010·广东中山高三六校联考)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.
6．(2009·湖南)如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，则x＝______，y＝_______.

7．已知＝a，＝b，＝λ(λ≠0)，则＝_________.
8．O是平面上一点，A，B，C是平面上不共线三点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ＝时，则·(＋)的值为________．
二、解答题(共42分)
9．(14分)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？

10．(14分)在△ABC中，＝，＝，BE与CD交于点P，且＝a，＝b，用a，b表示.

11．(14分)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．
(1)求＋＋；
(2)若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.

答案 自主梳理
1．(1)大小　方向　(2)有向线段　(3)大小　|a|　||　(4)任意的　(5)1个　±　(6)相同　相反　非零　共线向量　平行　(7)相等　相同　2.(1)和　a＋b　a＋b　　三角形法则　(2)平行四边形法则　(3)b＋a　a＋(b＋c)　3.(1)长度相等　方向相反　－a　(2)①(－b)　相反向量　②a＋b　a－b　4.(1)λa　①|λ||a|　②相同　相反　0　0　(2)①(λμ)a　②λa＋μa　③λa＋λb　5.(1)重心 (2)重心
自我检测
1．2
解析　由2＝16，得||＝4，
|＋|＝|－|＝||＝4.
而|＋|＝2||，故||＝2.
2．3
解析　①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．
3．－a＋b
解析　由＝3得4＝3＝3(a＋b)，
又＝a＋b，所以＝(a＋b)－
＝－a＋b.
4．3
解析　由题目条件可知，M为△ABC的重心，连结AM并延长交BC于D，则＝，①
因为AD为中线，则＋＝2＝m，
即2＝m，②
联立①②可得m＝3.
5.
解析　设＝a，＝b，
那么＝a＋b，＝a＋b，又∵＝a＋b，
∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
课堂活动区
例1　0
解析　①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；
②不正确，若a与b中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；
③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；
④不正确，如果b＝0时，则a与c不一定平行．
变式迁移1　②③④
解析　①模相同，方向不一定相同，
故①不正确；
②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确；
③只有零向量的模才为0，故③正确；
④＝，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故④正确．
例2 证明　方法一　如图所示，

在四边形CDEF中，
＋＋＋＝0.①
在四边形ABFE中，
＋＋＋＝0.②
①＋②得
(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＝0.
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴＋＝0，＋＝0.
∴2＝－－＝＋，
即＝(＋)．
方法二　取以A为起点的向量，应用三角形法则求证．
∵E为AD的中点，∴＝.
∵F是BC的中点，∴＝(＋)．
又＝＋，∴＝(＋＋)
＝(＋)＋
＝(＋)＋
∴＝－＝(＋)．
即＝(＋)．
变式迁移2　解　＝＋＋
＝－a＋b＋c，
∵＝＋＋，
＝－＝－c，＝－＝－b，
＝＝a，∴＝a－b－c，
＋＝＋＋＋＝2＝a－2b－c.
例3　解题导引　(1)在平面几何中，向量之间的关系一般通过两个指定的向量来表示，向量共线应存在实数λ使两向量能互相表示．
(2)向量共线的判断(或证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
证明　在△ABD中，＝－，
因为＝a，＝b，所以＝b－a.
∵N点是BD的三等分点，
∴＝＝(b－a)．
∵＝b，∴＝－
＝(b－a)－b＝－a－b.①
∵M为AB中点，∴＝a，
∴＝－＝－(＋)
＝－＝－a－b.②
由①②可得：＝.
由共线向量定理知：∥，
又∵与有公共点C，
∴M、N、C三点共线．
变式迁移3　(1)证明　∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，
∴＝＋＝e1－e2＋3e1＋2e2
＝4e1＋e2＝－(－8e1－2e2)＝－.
∴与共线．
又∵与有公共点C，∴A、C、D三点共线．
(2)解　＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)
＝3e1－2e2，
∵A、C、D三点共线，∴与共线，
从而存在实数λ使得＝λ，
即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)．
由平面向量的基本定理得
解之，得∴k的值为.
课后练习区
1．②
解析　由减法的三角形法则知＝－.
2．2
解析　＝＋＋＝a＋2b＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.
3．②③④
解析　题目考查两向量共线的充要条件，此定理应把握好两点：(1)与λ相乘的向量为非零向量，(2)λ存在且唯一．故②③④正确．
4.＝b＋c
解析　如图，

＝＋
＝c＋
＝c＋(b－c)
＝b＋c.
5.
解析　∵＝＋，＝＋，
∴2＝＋＋＋.
又＝2，
∴2＝＋＋
＝＋＋(－)
＝＋.
∴＝＋，即λ＝.
6．1＋　
解析　作DF⊥AB交AB的延长线于F，设AB＝AC＝1⇒BC＝DE＝，∵∠DEB＝60°，∴BD＝.
由∠DBF＝45°，

得DF＝BF＝×＝，所以＝，＝，
所以＝＋＋＝(1＋)＋.
7.a＋b
解析　＝＋＝＋
＝＋(－)
＝a＋(b－a)＝a＋b.
8．0
解析　由＝＋λ(＋)，λ＝，得＝(＋)，即点P为△ABC中BC边的中点，

∴＋＝0.
∴·(＋)＝·0＝0.
9．解　设＝a，＝tb，＝(a＋b)，
∴＝－＝－a＋b，…………………………………………………………(4分)
＝－＝tb－a.……………………………………………………………………(6分)
要使A、B、C三点共线，只需＝λ，
即－a＋b＝λtb－λa，……………………………………………………………………(8分)
∴　∴……………………………………………………(13分)
∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．……………………………………………(14分)
10．解　取AE的三等分点M，

使|AM|＝|AE|，连结DM.
设|AM|＝t，则ME|＝2t.
又|AE|＝|AC|，
∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，
＝＝，……………………………………………………………………………(5分)
∴DM∥BE，∴＝＝＝.
∴|DP|＝|DC|.
∴＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋
＝＋＝a＋b.……………………………………………………………(14分)
11．解　(1)∵点G是△ABO的重心，
∴＋＋＝0.……………………………………………………………………(2分)
(2)∵M是AB边的中点，
∴＝(a＋b)．
∵G是△ABO的重心，
∴＝＝(a＋b)．
∵P、G、Q三点共线，∴∥，
且有且只有一个实数λ，使＝λ.……………………………………………………(5分)
又＝－＝(a＋b)－ma＝(－m)a＋b，
＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋(n－)b，
∴(－m)a＋b＝λ[－a＋(n－)b]．……………………………………………………(8分)
又因为a、b不共线，所以，…………………………………………(10分)
消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.……………………………………………(14分)