《23等差数列的前n项和》教学设计.docx

《2.3等差数列的前n项和》教学设计

西藏军区拉萨八一校：伍帅
一、整体设计思路
本节课采用“探究——发现”教学模式。等差数列求和公式的推导是由高斯算法引入的，采用了倒序相加，思路得获得得益于等差数列任意的第K项与倒数第K项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现，通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”这一重要数学方法。
教师的教法：遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位。
学生的学法：引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆猜想，学会探究。
二、教学背景分析
1、教学内容：
本节课为高中数学（人教A版）必修5第二章第3节“等差数列的前n项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导及简单应用。
2、学生情况分析：
·知识基础：本节课是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它解决数列求和的有关问题。
·认知水平与能力：西藏对高中数学必修5的教学安排在高二阶段，该阶段的学生已初步具有抽象逻辑思维，大部分学生对化归思想和数形结合思想有一定的认知基础，具备一定的推算能力。
·任教班级学生特点：虽西藏学生数学基础整体偏薄弱，但我任教班级为理科班，思维相对活跃，理解能力相对较强，对数学问题具有一定的探究思想，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。
三、教学目标分析
·知识与技能：
（1） 掌握等差数列前n项和公式；
（2） 掌握等差数列前n项和公式的推导过程；
（3）会简单运用等差数列的前n项和公式。
·过程与方法：
本节教学中，应让学生融入问题情境中，经历知识的形成与发展，通过观察、活动、探索、交流、反思，来认识和理解等差数列的求和内容。通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析问题的能力和积极思维、追求新颖的创新意识。
·情感态度与价值观：
通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受到数学来源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学知识解决问题，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。
四、教学重点、难点分析
·教学重点：
等差数列前n项和公式的推导和应用。
·教学难点：
等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。
·重、难点的解决的方法：
本节课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。先从探究“高斯算法—首尾配对相加法”，层层深入到探究“倒序相加法”，借助多媒体直观演示：从两个全等三角形其中的一个倒置，它与另一个三角形能补成平行四边形。通过教师点拨、师生互动、学生分析和整理，引导学生探究出等差数列前n项和公式。
同时，利用数形结合、类比归纳的思想，借助梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式，并分析公式中有中有五个重要的量：a1，an，d，n，Sn，采用讲练结合，帮助学生理解五个量中可“知三求二”。
五、 教学过程设计
结合教材知识内容和教学目标，本节课的教学过程设计如下：
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新
课
引
入
创设情境：“加薪学问”的报道——在美国有一道广为流传的数学题目：老板给你两个加工资的方案，一是每年末加1000元；二是每半年结束时加300元。请选一种，一般不擅长数学的很容易选择前者。因为一年加1000元总比两个半年公加600元要多其实，由于加工资是累计的，时间稍长，往往第二种方案给有利。
教师：以上材料的正确解答恰是我们要研究的数列求和问题，由此导入新课。
学生：观察报道，思考为什么？
用实际生活案例引入新课，使学生感受到数学来源于生活，激发学生探索新知的兴趣。

合作探究

合作探究

合作探究

合作探究

合作探究
高斯：18世纪德国伟大的数学家。
教师：介绍高斯的主要数学成就。
探究一：高斯算法
高斯高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，问：1+2+3+...+100=?
过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10，...算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“答案是5050。”
问题：你知道高斯是如何快速而准确的计算出答案的吗？
教师：高斯算法这种算法叫做：首尾配对相加法。这种算法对我们解决下一个案例有什么启示呢？
探究二：倒序相加法
八一校综合楼改造，学校购置了一堆粗细均匀的原木，如图所示。最上面一层放了一根原木，往下每一层都比它上面一层多放一根，最下面一层放25根。问：这堆原木一共有多少根？
教师：该问题实际上求1+2+3+…+24+25=？请问利用高斯算法是否刚好配对成功呢？
小结：用高斯的这种首尾配对法求和必须对项数是奇数或偶数讨论。
教师：该题还有简单方法吗？以避免对项数奇偶性讨论。
想一想：把两个全等三角形其中的一个倒置，它与另外一个三角形能补成平行四边形，由此你有什么启发？
（动画演示）我们发现原木堆垛为三角形，通过“倒置—补形”可以与原图形可以拼成一个平行四边形。平行四边形中的每行原木的根数均为26根，共25行。

小结：如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和——倒序相加法
推广：倒序相加法
试一试：用上述方法求从1到n的正整数之和。

n个

议一议：上述其实是求一个具体的等差数列前n项和。那么，对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？
探索公式：
设等差数列｛an｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn。
①
方法一：
②

n个

方法二：
①
同样利用倒序相加求和法，教材做了如下处理：
②

n个

公式一

思考：怎样使公式一与公差d产生联系呢？
（提示：将等差数列的通项公式an =a1+(n-1)d代入公式中，进行整理）

公式二

公式应用：
例1. 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ：
（1）a1=5，an=95，n=10
（2）a1=100，d=－2，n=50
解：
公式记忆：
教师：等差数列的前n项和公式类同于梯形面积公式，我们可结合梯形的面积公式来记忆。

教师：从方程中量的关系入手，公式中一共含有多少个量？
例题讲解：
例2.等差数列-10，-6，-2，2， …前多少项的和为54？
解：设题中的等差数列为{an}，前n项和为Sn，则a1＝－10，d＝－6－（－10）＝4
令Sn＝54，由等差数列前n项和公式，得：

解得：n1＝9，n2＝－3（舍去）
因此,等差数列的前9项和是 54。
例3：

解：

高考链接：
( 2015·全国卷Ⅱ）5.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，求S5=( )
A.5 B.7 C.9 D.11
教师：提示2a3=a1+a5

学生：1+100=101，2+99=101，…50+51=101，所以原式=50（1101）=5050
（可能会出现学生回答：“1+99=100，2+98=100，…然后50与100一组”等其它情况，这种思路也是正确的，教师也应该予以肯定）

学生：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，中间的数13会落单。

学生：当项数为偶数时刚好配对成功；当项数为奇数时，就会有一项落单。

学生：观察动画演示，不难发现用倒置的思想来解决此问题。

学生：利用倒置的思想避免了对项数奇偶性的讨论。

（由上一问题的解决，学生容易想到倒序相加求和法。）

学生：模拟上述倒序相加法的计算过程，求一般等差数列的前n项和。

学生：观察和‚两式，通过用等差数列通项公式巧妙的改写，在倒序相加求和时，每组公差d都被正负抵消。

学生：动手整理，推导出公式二。

学生：将各已知条件分别代入等差数列求和公式，即可求解。

（利用数形结合的思想，将求和公式与梯形面积公式建立联系。其中，公式二与梯形面积建立联系，运用到了“割”的思想，将梯形分做一个平行四边形和一个三角形，而梯形面积就是这两部分面积之和)

学生：在等差数列中有五个重要的量：a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个量，就可以求出其它两个量。

高斯算法体现了大数学家的智慧和巧思，对一般同学来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事。重温这个故事，让学生从中感悟学习的真谛，站在巨人的肩膀上去学习。

该探究过程可能对部分学生来说较难，教师通过适当的引导，培养学生发现问题—分析问题—解决问题的积极性。

通过动画演示，可以帮助学生更直观地理解“倒置—补形”的数学思想方法，把抽象的问题具体化。

通过分析一个具体的等差数列求和，为推导一般的等差数列求和公式作铺垫。即从特殊问题的解决中提炼一般方法。

方法二回归教材，通过对比，体会方法一法二的联系与区别。

通过实例演练和利用数形结合的思想，使学生对两个求和公式有直观的认识和更深刻的记忆。

利用方程的思想深化学生对公式的认识，引导学生对公式灵活应用。

结合等差数列的性质，锻炼学生解决等差数列求和综合问题的能力。

课堂总结
教师：引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容。
（1） 掌握以下两种求和方法：“首尾配对”相加法、“倒序相加”法；
（2） 通过倒序相加的算法推导等差数列的前n项求和公式，以及通过数形结合的思想帮助大家记忆两个等差数列的求和公式：

（3）公式的应用(知三求二)。
学生：自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，谈谈自己学到了什么。

先由学生自己讨论归纳，教师再加以补充说明，培养学生善于总结的学习习惯。

课后作业
·教材P46 A组2、3、4、6
·课后思考：
（1）请你用等差数列前n项求和的公式分析课前的“加薪问题”，为什么第二种方案有利？
（2）等差数列的前n项和的求和方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢?
我国古代等差数列求和史：
我国数列求和的概念起源很早。在北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题：
今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？
原书的解法是：“并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得。”

了解我国古代研究等差数列求和的情况

通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。

六、 板书设计

七、教学反思
本节课的隐形目标在于让学生体验数学知识的“探究-发现”的过程，我把以上教学流程可分为四个阶段，各阶段的目标达成如图所示：
阶段二、合作探究：（高斯故事、堆垛问题，推导公式）
阶段一、创设情景：（观察报道）

目标达成：感受数学源于生活，又服务于生活

目标达成：体会数形结合、类比化归的数学思想

阶段四、归纳总结：（升华认识、加深理解）

阶段三、演练反馈：（公式应用、例题讲解）

目标达成：夯实基础、走进高考

根据教学经历以及听课教师和学生的反馈，笔者对本节课反思如下：
1、 本教案设计力求突出实际背景的教学，通过日常生活实例以及古今中外数列故事来激发学生探究等差数列求和公式的兴趣，让学生感受到数学来源于生活，又服务于生活的实用性。
2、 利用动画演示，借助梯形面积公式等几何方法，帮助学生理解等差数列求和公式的本质内涵，体现了数形结合的思想方法。
3、通过对等差数列前n项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法，利用倒序相加法要抓住等差数列中与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的特点。
4、求和公式的运用体现了方程的思想，明确公式中五个量之间的关系，能“知三求二”，注意方程（组）及等价转化的数学思想在本节中的应用，提高学生类比化归、数形结合的能力。
5、本教案设计注重对学生的发散思维的训练，注重培养学生“一题多解，多题一解”的数学思想，但由于时间关系部分推导和解题未能给学生具体板演。因此，在课后或接下来的课堂教学中巩固学生对公式的应用和计算很有必要。