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二进制“奥妙”
湖北省襄樊市襄阳区一中：宋全民
我们已进入了信息时代，信息以不同的形式出现在我们的身边。我们知道计算机是利用电路中逻辑元件的电位高低来表示1和0的，也就是说各种信息必须转换成二进制。这是计算机应用的前提，也是计算机应用的结果。掌握并灵活的运用二进制是我们学习计算机知识的基础。下面谈谈二进制数的转换及在不等式证明中的运用。
一、十进制数与二进制数的转换
教材中十进制数转换成二进制数是以“除2取余法”的方法实现的。给出了方法，没有给出理论依据，有点让学生“死记硬背”的意味。我们不防从另一个角度考虑这个问题。
例如：
=1*25第一项
+1*24第二项
+
2、0*23+1*22+0*21+1*20第六项
=32+16+0+4+0+1=53
这个式子从左边向右边看是二进制的展开式，展开后共有六项（如批注从左向右），其中第三项与第五项为零，实际上只有四项，这四项都是2 n(n∈N,n的取值不同)，四项的和得到十进制数53。
如果从右边向左边看你会发现十进制53可分解成32+16+4+1四项，这四项都是2 n （n∈N,n的取值不同），根据指数的大小可以确定十进制数转换成二进制数后哪些位为1，不存在的位以0补充即可(二进制只有0和1两个数构成，1乘以2 n 还是2 n ，指数加1便确定了1所在的位置)。
通过这种方法可以把“除2取余法”转换成“
3、2 n (n∈N,n的取值不同）的加法”，这种方法不断便于老师的教，更便于学生的学，同时让学生学会从相反的角度考虑问题。做事不仅如此，做人更应如此。
二、二进制数与八进制数及十六进制数的转换
教材中在讲二进制数与十六进制数之间的转换时，也只是给出了方法，没有给出理论依据，也有点让学生“死记硬背”的味道。学生在运用时只会套用，不能有效的开拓学生的思维，会让学生的创新思想僵化。我们可以通过下面的方法向学生证明。
二进制只有0和1二个数；八进制有0到7八个数；十六进制有0到15十六个数（其中10到15是有0到9这十个阿拉伯数字中某两位组合而成的，为了区别其它数字，10到15分别用A、B、C、D
4、E、F表示）。
例如：
式子一： 0≤=4a+2b+c≤7(a、b、c同时取0时最小，同时取1时最大)
式子二：0≤≤7
式子三：0≤=8a+4b+2c+d≤15(a、b、c、d同时取0时最小，同时取1时最大)
式子四：0≤≤15
从式子一可以看出任何三位二进制数它的取值范围在0至7之间，从式子二可以看出任何一位八进制数它的取值范围也在0到7之间，也就说任何三位二进制数可以找到相应的一位八进制数替换，反过来任何一位八进制数可以找到相应的三位二进制数替换（从后向前三位分成一节，不满足三位的在前面补0对这个数不产生任何影响，因为0乘以2 n还为0） 。
从式子三可以看出任何四位
5、二进制数它的取值范围在0至15之间，从式子四可以看出任何一位十六进制数它的取值范围也在0到15之间，也就说任何四位二进制数可以找到相应的一位十六进制数替换，反过来任何一位十六进制数可以找到相应的四位二进制数替换（从后向前四位分成一节，不满足四位的在前面补0对这个数不产生任何影响，因为0乘以2 n还为0） 。
169===
169===
八进制数与十六进制数之间没有之直接的关系，八进制数转换成十六进制数要以二进制数为桥梁。
从上面的式子也可以发现，对于同一个数字，在转换的过程中，转换的进制越大，转换后的位数越少。如果我们掌握了所有进制的运算，就会发现进制越大，运算速度越快（位数少）；进制
6、越小，运算速度越慢（位数多）。计算机运算速度的提高与每次所能处理的位数有关，先前的计算机采用十六位进行处理，现在一般采用三十二位处理及六十四位处理。
三、二进制在不等式证明中的运用
有一类不等式在数学中运用很广，例如这类不等式：2n≥2n-1+2n-2+2n-3+……+20(n∈N,n的取值不同）
如果上面的不等式成立，当底数变大时会更成立（指数不变时，底数变大，相当于不等式的每一项都相应的乘了1.5n(n∈N,n的取值不同）以上的值)，如何证明上面的不等式成立便成为关键。我们可以利用二进制来证明。
不等式的右边=1*2n-1+1*2n-2+1*2n-3+……+1*20=(111……1
7、11)n个1
2=(111……111+1-1)2=
(1这个1
在n+1的位置上
000……000-1)2=2n-1≤2n=左边，可见上面的不等式成立。
又例如：3n≥3n-1+3n-2+3n-3+……+30
不等式的右边=（2*3n-1+2*3n-2+2*3n-3+……+2*30）= (222……222)n个2
3= (222……222+1-1)3=(1这个1
在n+1的位置上
000……000-1)3=（3n-1）≤3n=左边，可见此不等式也成立。
上面不等式的成立，为我们证明类似不等式提供了依据。如只有奇数项或只有偶数项。若底数再增大我们可由三进制推广到四进制、五进制、六进制等。
总之，十进制数与二进制数之间的转换及二进制数与八进制数、十六进制数之间的转换可以使我们的思维更敏捷，处理问题的方式更灵活；二进制及其它进制在不等式证明中的运用开拓了我们的视野，增加了解决问题的办法。所以说掌握并灵活运用二进制是学好计算机知识的基础。
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