单位球上正规权Dirichlet型空间上的一种积分算子.pdf

数学年刊A辑2023,44(3):255-266DOI:10.16205/ki.cama.2023.0018单位球上正规权Dirichlet型空间上的一种积分算子*郭雨婷1张学军2提要设是0,1)上的正规函数，Bn是n维复空间Cn上的单位球，是Bn上的一个全纯函数，是Bn上的全纯自映射作者考虑如下一种积分算子：dtTo,b(f)(2)=f0(tz)Rab(tz)作者主要刻画了正规权 Dirichlet 型空间DP（Bn）（O 0)的同样问题。对讨论的情形本文均给出了充要条件.关键词复合Cesaro算子，Bergman型空间，Dirichlet型空间，有界性，紧性MR（2 0 0 0）主题分类4 7 B38,32A37中图法分类0 17 4.56文献标志码A文章编号10 0 0-8 314(2 0 2 3)0 3-0 2 55-122EBn.t81一些定义和记号本文中，若存在常数 c0和 0,使得 cIJcI,称两个量I和J是等价的(记为“IJ).若存在常数c0,使得JcI（Jc I)，我们记为“JI”（JI )设Cn表示n 维复Euclidean向量空间，对Cn 中两点w=（w 1，,wn）和=(21,zn)的内积定义为(w,z)=wiZ+.+wnzn.单位球为集合Bn=zECn：|z=V z,z)0和01,使得（在0 1)上递增且在0.1)上递减。例如(e)=(1-)a(log)(loglog)(0,和为实数)(可取=和b=）就是最常见的一种正规函数为了论证上的方便且不失一般性，本文中我们总设 po=0.本文2 0 2 2 年10 月2 5日收到，2 0 2 3年4 月2 3日收到修改稿。1湖南师范大学数学与统计学院，长沙4 10 0 0 6.E-mail：9 4 7 0 16 9 2 2 q q.c o m2通信作者湖南师范大学数学与统计学院，长沙4 10 0 0 6.E-mail：x u e j u n t t t 2 6 3.n e t*本文受到国家自然科学基金（No.11942109）和湖南省自然科学基金资助（No.2022JJ30369）的资助。256定义1.2 设p0以及是0,1)的正规函数，度.若 g E H(Bn)且Il/A=Bn称g属于正规权Bergman 型空间A(Bn).在上述定义中将g换成Rg并赋予如下模：IllDi=(1lg(0)P+/Rg(2)P 4则我们称g属于正规权Dirichlet型空间D(Bn).当p1时，DP(Bn）依范数IIlD构成一个Banach 空间。当 0 p-1)的加权Bergman空间A(Bn）和加权Dirichlet空间D(Bn)本文中，我们进一步考虑具有抽象测度 代需 d(C)的正规权 Beram 型空间和正规 Diele 型空间之间的算子问题.在复平面C上，Cesaro算子C(）按如下方式定义：C(f)(2)=Z(k=0很明显 C(f)(2)=Jo f(t)(log)dt(0 z E D)且 C(f)(0)=ao,因此 Cesaro 算子C(.)能够扩展为如下加权Cesaro算子：其中g是D上一个给定的解析函数进一步，当n1时加权Cesaro算子定义为：其中g是Bn上一个给定的全纯函数.无论在单复变还是多复变，许多数学工作者对各种Cesaro型算子做过研究，例如文1-16等不过在实际应用中，经常会碰到Cesaro型算子与复合算子共同作用在函数空间上的问题涉及单位圆盘上Dirichlet型空间与复合算子有关的文献如文17-2 0 等本文将考虑这种算子。定义1.3设=（P1，Pn）是Bn上的全纯自映射以及EH(Bn)，复合Cesaro型算子To,t定义为Tp,b(f)(z)=/fo(tz)Rb(tz)如果(z）=z，则Tp,就是加权Cesaro算子 Tau.在文16 中，我们在高维正规权Zygmund 空间上讨论过 Tp,的有界性和紧性。在 p1 时，无论 Bergman 型空间还是Dirichlet 空间，研究者众多，相对来讲小指标情形要冷清一些本文的主要工作之一是给出小指标情形正规权Dirichlet型空间到自身Cesaro复合算子有界或紧的充要条件；数学年刊A辑du是Bn上标准化的Lebesgue测P(I之1)gdu(z)80,2一MP(I2l)d(z)O,定义 Bergman 球 D(z,r)=w E Bn:(z,w)O，定义Carleson方块S(,t)=(z E Bn:1-(z,s)/0,则(lzl)(lwl)对所有 E Bn 和 wED(z,r)成立.这些结果来自文2 1 中引理2.2.引理 2.2 设 -1 和 tn+1+,则(1-lul2)dv(u)JBm1-(wu,u)/这个结果来自文2 2 中命题1.4.10.引理2.3设EDp(Bn）以及是Bn上的全纯自同构.若f是Bn上非负Lebesgue可测函数，则f(u)dmp,u,b,s(u)=JBn其中mp,l,b,s(E)=E是Bn上任意Borel可测集.证这是一个常规变量替换公式，从 D(Bn)可得 mp,b,s 是 Bn上的一个有限测度，余下的证明类似文2 3中引理2.1的证明，这里不再重复.引理2.4 2 4 存在正整数N，使得对任意0 0,-1 和r0.(1)对 E Bn,若 E D(a,r),则 1-z/2 1-(z,a)|1-a/2.(2,W)(1-(z,u)-1,w#0.1对所有 w E Bn 成立.(1-20l2)-n-1-fp(u)Rab(u)PP(lul)JBn1-|u/2Rb(w)IP P(lwl)du(w),o-1(E)nBn1-w|22do(u),258(2)对一切f E H(Bn)和E Bn,都有(1)来源于文2 4 中的引理2.2 0，(2)来源于文2 4 中的引理2.2 4.引理 2.6 若 f E DP(Bn),则对所有 E Bn 成立.证对任意EBm，利用引理2.5结合前面的引理2.1容易得到：IRf(2)IP(1-2/2)n+11(1-2/2)p(1zl)(1-/2/2)n p(1zl)可推出IRf(2)I(1-2/2)(Izl)83 主要结果首先，我们讨论Ts,在Dp(Bn）上的有界性和紧性.定理3.1 设0 pn+pb,则有下列结果：(1)To,t在Dp(Bn）上有界当且仅当(1-lwl2)tsupweBup(lwl)J Bn(1-z/2)|1-(w,(2)/n+t-p(2)To,在 DP(Bn）上为紧算子当且仅当(1-wl2)t.liml-i-p(lul)JB,(1-2/2)/1-(,0(2)n+-p证若 Te,在 Dp(Bn）上有界，则 E Dp(Bn)是显然的对任意w E Bn,取(1-|wl2)fu(2)=(利用引理2.1-2.2 和条件t-pat-pb0,可得n+t-pP(Iz/)(1-w|2)tz,w)pJBnP(1-|wl2)t-pa(1-|2/2)pa-1 Bn1-(z,w)/n+t数学年刊A辑1If(w)P du(w).JD(z,r).IDPIRf(2)I(1-2/2)(1zl)1Rf(w)P d(w)JD(z,1)IRf(w)IP)J D(z,1)1-|wl2I.IDRRab(z)|P P(lzl)dv(z)Rb(z)P p(Izl)du(z)1(1-(z,w)-1dv(z)(1-wl2)t-pb(1-2/2)pb-1d(z)+Bn44卷up(w)d(w)=Mpn+pb 可得t+b-1.对任意f Dr(Bn),通过引理2.6 和文2 4 中的定理2.2 可得这里 dut(w)=Ct(1-|wl2)du(w)满足 vt(Bn）=1.进而我们可得1 Rf(pz)-Rf(O)Rf(w)/dt:(w)I.f(2)-f(0)/=dpBn给定之EBn,设R.f(w)根据文2 4 中的引理2.15和上面的(3.3)式，有IFs(2)-f(0)P (/BnFfo(a)(u)l dur(w)Fs(a)(w)P dut-1(w)JBnRf(w)P,I1-(w,0(2)/n+t-p/B如果(3.1)式成立，则暗含ED(Bn).根据(3.1)和(3.4)式可得IT.o,(f)/D=1f p(2)lPRab(2)P P(zl)dv(2)JBnRf(w)P P(lwl)(1-wl2)tBn1-|wl2+1.f(0)PRab(2)IP P(Izl)dv()JBn1-12/2这表明To,是Dp(Bn）上的有界算子.若(3.2)式成立，那么意味着对任意0,存在0 时，我们有(1-|w|2)t/(3.5)up(lwl)J Bn(1-2/2)|1-(w,0(2)/n+t-p郭雨婷张学军单位球上正规权Dirichlet型空间上的一种积分算子(1-2k/2)(1-|2k/2)tRb(z)P p(/zl)dv(2)up(lzkl)JBn 1-(p(2),zk)/n+t-p(1-/2/2)Rf(w)dtr(w)Rf(2)=/JB,(1-(z,w)n+V+1)1-2/2up(lwl)JB,(1-2/2)1-(w,0(2)/n+t-p)(M+/D,)/IDr:Rab(2)P P(Izl)dv(2)(1-wl2)tup(lwl)JBn(1-/2/2)1-(w,4(2)/n+t-p)Ifi:(0)Pll/D;+MuP(O)sup,/Rfa(w)P+llfillD;1-82MP(Q)Ifi:(0)Pll/l/;+sup|Rfi(w)P+e,k o.1-82这暗指JlimlTo,（f a)D=0.因此，Te,是D(Bn）上的紧算子.k-本定理证完.至于情形p1，论证方式有差异，可以给出有界性和紧性的充分条件和必要条件,但获得充要条件较难，本文不讨论.接下来，对所有 pO,我们利用Bergman球和Carleson方块的测度给出 Tp,是Ar(Bn）到Dp(Bn）有界算子或紧算子的等价刻画.定理3.2 下列三个条件是等价的：(1)Tp,b 是Ap(Bn)到 DP(Bn)的有界算子.(2)mp,u,b,sS(E,t)tnp(1-t)对所有 E Sn 和 0 t1 成立.(3)mp,u,b,sD(w,1)(1-wl2)p(lwl)对所有 w E Bn 成立.证(1)(2).设 To,b是Ap(Bn)到 DP(Bn)的有界算子.对任意ESn和0 t1,取(2)=(1-t)1-(1-t)(2,)+6+1 根据引理2.1-2.3可得mp,p:tb,S(E,t)2n+pb+ptn p(1-t)I.f(2)IP dmp,b,s(2)Js(,t)1-|wl2Rb(z)|P P(/zl)dv(z)to+1之EBn.tp(b+1)To,b/PJ Bm up(1-t)|1-(z,(1-t)n)/n+p(b+1)1-2/2uP(I2l)du(2)3期这表明 mp,b,sS(s,t)tnp(1-t)对所有 E Sn 和 0 t+tph1,贝则|1-(z,w)I+W之，一这表明此外，根据的定义，有2(1-w|2)ul2|wl 11-tanh1因此，我们可得到mp,b,D(w,1)mp,b,当|ol2 1tph1 时,2(1-|wl2)P(lwl)mp,b,sD(w,1)1 (1-wl2)P(lwl).这表明 mp,b,sD(w,1)(1-wl2)p(lwl)对所有 w E Bn 成立.(3)(1).对任意EAR(Bn)，根据引理2.1和引理2.3-2.5,可得ITo,(f)/D:=8=1 JD(uj,1)郭雨婷张学军单位球上正规权Dirichlet型空间上的一种积分算子 IT.o,/PJBn+I To,/PJBmD(w,1)C S2(1-W“up1-1-tanh11-tanh1.2n+2pb(1-tanh 1+p(1/0l2)p(l 0l).-tanh 1If(z)IP dmp,b,s(z)JBnI1f(2)/P dmp,u,b,p(2)2611-(z,(1-t)n)/n+p(b+1)tp(b+1(1-|2/2)pb-11-(1-t)2-pb1-(z,(1-t)n)/n+p(b+1)K2,W 1-(z,w)/+zl(1-wl)1+tanh 1-tanh 12(1-1-tanh 1W2(1-W1-tanh 1 J2(1-wl1-tanh1W2(1-W1-tanh 12(1-|wli1+tanh 12du(2)=IITo,ll/P.2wl2)+(1-wl)0 以及 t(0,1)Jim.I,p,(fi)l =0.(1-|w)2pb44卷sup,1.f(2)/PzED(wj,1)supI.f(w)/P du(w)If(w)/P do(w)If(w)IPP(lwl)dv(w)1-|wl21-|wl22EBn.P(/z1)/Rab(2)IP1-|2/2du(z)3期这个矛盾表明(2)(3).设_ limt0+对任意 wE B且满足 a p1,记s=。从(3.6)式可得mp,;:b.s D(w,1)(1-wl2)n up(lwl)从lim2(1-w/2)=0 有,limmp:t:belD(w,1)1-tanhiw1-(3)(1).若limmp.p.b.D(w,1)w E Bn 时,设【fi 是任一满足在Bn的紧子集上一致趋于0 且 lfillA1对所有 kE1,2,成立的序列我们取引理2.4 中的点列【wj）并设wi|1-（i o).因而存在正整数No,使得当jNo时，lwi|o.记E=UD(wj,1).根据(3.7)式、引理2.1和引理2.3-2.5,有 ITo,(fi)/;=80JD(wj,1)j=1JNomp,b,s(Bn)sup/fi(z)pj=18+mp,b,sD(w),1)j=No+1Nomp,u,b,p(Bn)sup lfk(2)pj=18uP(lwjl)+1-w/P zeD(,)(s,1)supj=No+1Nomp,u,vb,(Bn)sup/fi(2)pj=18+j=No+1 JD(u3,4)郭雨婷张学军单位球上正规权Dirichlet型空间上的一种积分算子sup mp,u,b,oS(s,t)SESnlimt0+sup.mp,u,b,oS(E,t)SESntup(1-t)2mp,u,b,S(s,2L-lal2)1-tanh 1(1-|wl2)n p(lwl)=0.=0,那么对任意0,存在0 且mp,tb,D(w,1).(1-|wl/2)n p(lwl)No3=1Ifik(z)P dmp,b,(2)JBnI.fi(z)IP dmp,b,p(2)2EEsup1fi(2)/PzZED(Wj,1)2EE2EEIfi(w)Pp(lwl)d(w)1-|wl2263=0.tn p(1-t)=0.(3.7)Ifi(w)Pdu(w)264根据的任意性，可得这表明 To,b 是AP(Bn)到 D(Bn）的紧算子.本定理证完.1 Siskakis A G.Composition semigroups and the Cesaro operator on HP J.J LondonMath Soc,1987,36(2):153-164.2 Miao J.The Cesaro operator is bounded on HP for 0 p 1 J.Proc Amer Math Soc,1992,116:1077-1079.3 Xiao J.Cesaro operators on Hardy,BMOA and Bloch spaces J.Arch Math,1997,68:398-406.4 Shi J H,Ren G B.Boundedness of the Cesaro operator on mixed norm spaces J.ProcAmer Math Soc,1998,126:3553-3560.5 Aleman A,Siskakis A G.An integral operator on HP J.Complec Variables,1995,28:149-158.6 Aleman A,Siskakis A G.Integration operators on Bergman spaces J.Indiana UniMath J,1997,46:337-356.7 Hu Z J.Extended Cesaro operators on the Bloch space in the ball of Cn J.Acta MathSci,2003,23B(4):561-566.8 Hu Z J.Extended Cesaro operators on mixed norm spaces J.Proc Amer Math Soc,2003,131(7):2171-2179.9 张学军。Cn中 Dirichlet 型空间和 Bloch 型空间上的加权 Cesaro 算子J.数学年刊A 辑,2 0 0 5,2 6(1):139-150.10 Stevic S,Ueki S.Integral-Type operator acting between weighted-type spaces on theunit ball J.Appl Math Comput,2009,215(7):2464-2471.11 Stevic S.On some integral-type operator between a general space and Bloch type spacesJ.Appl Math Comput,2011,218(6):2600-2618.数学年刊A辑Nomp,b,o(Bn)sup/fi(z)Ipj=1Ifk(w)IPp(lwl)dv(w)+NeJBnNoj=1+NeNe,k80.k-olim IITo,b(fk)l p=0.参考文献44卷2EE1-|wl22EE3期12 Zhang X J,Chu Y M.Compact Cesaro operator from spaces H(p,q,u)to H(p,q,u)J.Acta Math Appl Sin(English Series),2006,22(3):437-442.13 Li S X,Stevic S.Products of Volterra type operator and composition operator fromHo and Bloch spaces to the Zygmund space J.J Math Anal Appl,2008,345:40-52.14 Li S X,Stevic S.On an integral-type operator from w-Bloch spaces to-Zygmundspaces 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Bergman ball.Necessary and sufficient conditions aregiven for all the cases discussed.Keywords Composition Cesaro operator,Bergman type space,Dirichlet type2000 MR Subject Classification 47B38,32A37The English translation of this paper will be published inChinese Journal of Contemporary Mathematics,Vol.44 No.3,2023by ALLERTON PRESS,INC.,USA数学年刊A辑1dtTo,v(f)(2)=/fg(tz)Rb(tz)2EBn.0space,Boundedness,Compactness 44卷