1、有关弧长计算的应用举例
一、关于以多边形的顶点为圆心的弧长问题
例1：如图，以多边形各顶点为圆心，1为半径作扇形，并且所有多边形的每条边长都大于2，则第n个多边形中，所有扇形弧长之和是 ___________（结果保留π）．
分析：在以多边形的顶点为圆心，等长为半径时，弧长之和可以看作一条圆心角等于多边形内角和的角所对的弧长。第一个图形是三角形，第二个图形是四边形，第三个图形是五边形，由此可以得到第n个图形是n+2边形，那么第n个图形的内角和是n•180°，然后用弧长公式可以计算出所有扇形弧长的和．
解：第n个图形是n+2边形，n+2边形的内角和为：（n+2-2）•180°=n•180°
2、．
∴所有扇形弧长的和为：=nπ．
练习：如图，每个多边形的边长都大于2，分别以多边形的各顶点为圆心，1为半径画弧（弧的端点分别在多边形的相邻两边上），则第6个图形中所有弧的弧长的和是10π
10π，第n个图形中所有弧的弧长的和是___________（n为正整数）．
二、关于渐开线中的弧长问题
例2：如图,正三角形ABC的边长为1cm,将线段AC绕点A顺时针
旋转120°至AP1,形成扇形D1;将线段BP1绕点B顺时针旋转120°到BP2,形成扇形D2;将线段CP2绕点C顺时针旋120°至CP3,形成扇形D3;将线段AP3绕点A顺时针旋转1
3、20°至AP4,形成扇形D4……设Ln为扇形Dn的弧长(n=1,2,3,4……)回答下列问题:
(1)按照要求填表
n
1
2
3
4
Ln
(2)根据上表所反映的规律,试估计n至少为何值时,扇形Dn的弧长能绕地球赤道一周?(设地球赤道半径为6 400km)
分析：（1）在所形成的扇形D1、D2…Dn中，保持不变的是扇形的圆心角，均为120°，随着半径逐渐增加1cm的长度，弧长分别为π、π、2π、π
（2）弧长Ln能绕地球赤道一周时，120nπ/180=2π×6400×105，得n=1.92×109
练习：如图，有一个边长为2cm的正方形A
4、BCD木块，点M开始时是边DA的延长线上的点，在点A、M间拉一条没有弹性的绳子，绳长7cm，握住点M，拉直细绳，把它全部紧紧缠绕在正方形ABCD木块上（缠绕时木块不动），问在缠绕过程中点M在平面内所运行的路线长是多少？
三、关于滚动中的弧长问题
例1、如图1，有一长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A2C与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长为（ ）
A．10cm B．35cm
C．45cm D．25cm
分析：第一次点A绕点B转到点A1 的位置，转过的圆心角为90°，半径是线段AB的长度，第二次点绕点C 转到点 的位置转过的圆心角为60°，半径是3cm ，共走过的路径是两次转过的弧长的和：
练习：如图，将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB在直线m上向右作无滑动地滚动，当它滚动一个周期时，圆心O所经过的路线长为多少？
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