1、高三数学专题辅偏（三）函数与导数专题复习--3
函数单调性（含参数讨论）极值、最值
一．求单调性区间及含参讨论
【例1】已知函数判断函数的单调性。（若a=1则不含参数）
【解析】由题意可求，
1.当时，在上为减函数；
2.当时，令，解得, 令，解得
于是在为增函数，在为减函数；
【例2】已知函数f（x）ax+a，a∈R．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y＝f（x）的单调区间；
解：（Ⅰ）当时，，因为，所以，所以曲线在点（0，1）处的切线方程为，即．
（II）定义域为R．因为，
①当a＝0时，恒成立，所以函数在R上单调递增
2、
②当a＜0时，恒成立，所以函数在R上单调递增．
③当a＞0时，令，则或，
所以当时，或，当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
综上可知，当时，函数在R上单调递增；当a＞0时，函数在和上单调递增，在上单调递减．
二．根据单调性求参数 （隐含恒成立问题及存在性问题）
【例1】若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 .
【解析】因为函数的单调减区间为，
又函数在区间上是减函数，则，则，解得：，
【练习1】函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由题意得： 在上单调递增等价于：在上恒成立即：
3、当时， 本题正确选项：
【练习2】若函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
单调递增，单调递减. 函数在上是单调函数且区间长度为2，单调递减不满足，只有区间上是单调递增. 故故答案选B
三. 函数的极值、最值问题
【例1】(1)函数的极大值点是_______，极大值是________；
f(x)在[-3,5]的最大值为_______ 最小值为_______
(2)函数的极大值为，则实数__________．
【解析】(1)依题意，故函数在或时，导数小于零，函数单调递减，在时，导数大于零，函数单
4、调递增，故函数在处取得极大值.即【极大值点为】,【极大值为】;
因为f(2)=16,f(-2)= -16，f(-3)= -9 ，f(5)=65【最大值为65】，【最小值为-9】
(2)函数的极大值为， 由题意知：，
当时，有极大值，所以故答案为3
【例2】(1)函数在处有极值为7，则（ ）
A．-3或3 B．3或-9 C．3 D．-3
(2)若函数在上有小于的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】(1)C(2)B 【解析】(1)，∴，
解得或，
时，，当时，，当时，，是极小值点；
时，，不是极值点．
∴．故选C．
(2)由
5、
因为在上有小于的极值点，所以有小于0的根，由的图像如图：
可知有小于0的根需要，所以选择B
四、强化练习
1. 已知
（1）求函数f(x)的最小值；
（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；
1解：（1） 由得
当单调递减；当单调递增；
（2）
设
① 单调递减， ② 单调递增，
所以，对一切恒成立， 所以
2. 已知函数．
（I）求函数的单调递减区间；
（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（III）过点作函数图像的切线，求切线方程．
2解：（Ⅰ）得 2分
函数的单调递减区间是； 4分
（Ⅱ）即
设则 7分
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增；
最小值实数的取值范围是； 10分
（Ⅲ）设切点则即
设，当时是单调递增函数 13分
最多只有一个根，又
由得切线方程是.
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