数学解题方法之“以形解数”.doc

数学解题方法之“以形解数”
以形解数：即运用几何图形解决代数问题，不仅直观，易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，简化解题过程，减少错误．
一、以形解数，简化运算
例1：
代数解法：设
得：
—：；
等式两边同除以得：．
分析：本题用纯代数的方法进行计算，运算较为复杂．若借助几何图形来解答，则另辟蹊径，事半功倍．
以形解数：如图，将面积为1的正方形进行划分，则由图形间的面积关系可得出：
=．

归纳：借助图形解答本题，显然比用代数解法简洁明了．

二、以形解数，避免错误
例2：函数，若，则的取值范围是 ．
代数解法：错解：由，再由．
这是一个经常性的错误，要想避免错误，需对不等式进行分类讨论：若，则；若，则无解．由得的取值范围是．
分析：学生的惯性思维是看到此题想到用不等条件进行不等式解题，接着由于不严谨解题，导致答案不正确．现在，我们让图形一起来参与解题，是否会别有洞天，避免错误呢？
x
y
3
2
A
以形解数：如图，当时，图像为双曲线在第一象限分支点A右侧部分，显然，这部分的函数值．类似这样的问题，我们还可以在二次函数
的习题中找到．如：“二次函数，若，
则的取值范围是 ．”

三、以形解数，最值问题

例3：求的最小值．
代数解法：分类讨论：当时，原式=，故最小值是3；当时，原式=，故最小值是2；当时，原式=，故最小值大于2；当时，原式=
=，故最小值大于3；综上所述的最小值是2．
分析：用代数解法，虽然能求出最小值，但用到的知识较多，过程也比较曲折，对学生来说，此解法不易掌握．那么，试用“以形解数”方法解答怎样呢？

以形解数：我们知道，绝对值通过数轴这个工具可以与两点间的距离紧密地结合在一起，画一条数轴，如图所示，数轴上A、B、C点分别对应数1、2、3、P点对应的有理数为x，则PA=，PB=，PC=，P点对应的有理数为x，PA=，PB=，PC=，问题转化为在数轴上找一点P使得PA+PB+PC最小，显然当P与B重合时，PA+PB+PC=2最小，亦即的最小值为2（当x=2时）．

例4：求的最小值．

分析：本题用纯代数的方法很难求出最小值，解题陷入困境．但若选择“以形解数”的方法解答，则会柳暗花明．
A
B
C
D
E
2
x
3-X
3
以形解数：先将代数式转化成，再构造图形．由图形知DC=，EC=，问题转化为求(DC+EC)的最小值，显然，当点D、C、E三点在一条直线上时(DC+EC)最小．易求出的最小值是．

四、以形解数，竞赛试题
例5：如果三个正实数满足：

求：的值．
分析：本题是一道数学竞赛试题的改编题，难度很大，无从入手．
若构造图形解题，则水到渠成．
以形解数：易知，三个等式可化为：；
12
z
13
x
A
B
C
5
y
P
；，如图所示，构造△PAB、△PAC、△PBC，使得，
，则AB=13，BC=12，AC=5，
故△ABC是直角三角形，由面积可得：
，
解得：=．