反比例函数比例系数k的几何意义.doc

2016年天津市中学信息技术与课程整合优质课评比活动

教 学 设 计

反比例函数比例系数的几何意义

天津市第三十中学
邢荣荣

题 目
反比例函数比例系数的几何意义
工作单位
天津市第三十中学
设计教师
邢荣荣
年级
九
学 科
初中数学
教材分析
本节课教学的主要内容是反比例函数比例系数的几何意义，其中蕴含化归与转化思想，是培养学生抽象概括能力、推理能力和应用意识的良好载体，也为学生独立自主开展数学探究活动积累经验，学习理性观察和分析生活现象，体会从感性认识到理性认识的初步提升的感悟，培养抽象思维，发展理性的数学思考的思维品质.本节课对于后面学习反比例函数的图象和性质有重要的意义；同时也是对八上一次函数，正比例函数的进一步延伸和拓展.
学情分析
知识基础：本节课学习前，学生已经具有了函数概念的知识积累，在上一节课的学习中，学生已经掌握了反比例函数的概念.
学习方法：学生已经积累的学习函数的方法有：画图象，观察图像归纳函数性质，了解函数变化规律和函数的变换趋势等.学生喜欢用探究式的学习方式，通过自己的分析来体验知识间的内在联系.
能力水平：处在这个年龄段的学生对于图形的空间想象能力还较低，通过信息技术与课程的融合，能使学生更直观的了解题目的要求，并顺利地进行作答。
教学目标
知识与技能：
1．理解和掌握反比例函 （k≠0）中的几何意义.
2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题.
过程与方法：
1.让学生自己尝试在 的图象上任取一点，过P点分别向X轴、Y轴作垂线，从而探究求出两垂线与坐标轴形成的矩形的面积及三角形的面积，从而探究所形成的矩形与三角形的面积与的关系.
2．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法.
情感态度与价值观：
培养学生自主探究，合作交流的精神.
教学重点
理解并掌握反比例函数 （k≠0）中k的几何意义；并能利用它们解决一些综合问题.
教学难点

学会从图象上分析、解决问题.
重难点
突破
通过与信息技术的整合，利用几何画板为平台，绘制图象，通过动态演示，动点、动三角形、动平行四边形的变化与图形面积的关系，使学生达成本节课所要达到的目标.
教法学法
“层层推进的提问式”、以引导发现、合作探究、交流讨论为主，辅以直观演示．
优化教学
通过信息技术与课程的融合，利用几何画板绘制图象，通过动态演示，动点、动三角形、动平行四边形的变化与图形面积的关系，使学生达成本节课所要达到的目标
教学模式
“问题型”模式
教学评价
练习巩固、当堂反馈
教        学       过       程
问题与情境
师生行为
设计意图
及媒体应用
活动一：创设情景，提出问题
1、反比例函数的解析式是什么？如何确定比例系数的值？
2、反比例函数的比例系数能决定什么？
反比例函数的比例系数除了能确定图像位置和增减性外还能确定什么呢？
本节我们来探究反比例函数的比例系数的几何意义

【教师活动】
通过问题串的形式，导入新课．
板书：课题.
【学生活动】
根据老师提出的问题串，积极思考回答，复习旧知.
【媒体应用】
创设情境，展示问题．
【设计意图】
通过提出问题串，激发学生的求知欲，达到复习旧知、提出问题，导入新课的目的．
活动二  探究新知，分析问题
1. 对问题的初步探究
如图，已知点P是反比例函数的图象上任意一点，过P点分别向X轴、Y轴作垂线，垂足分别为M、N，那么四边形OMPN的面积是多少？△OMP的面积是多少？

【师生活动】
1、出示问题．
2、学生讨论时出现的问题是OM应如何表示，教师给予及时点拔，使问题得以解决.
3、学生独立完成解题过程.
4、总结k>0时矩形和三角形的面积与k的关系.
【媒体应用】
课件出示问题和图象．
【设计意图】
通过提出问题，激发学生的求知欲，利用数形结合，帮助学生更好地理解k>0时反比例函数中比例系数的几何意义.
2、对问题的深入探究
如果解析式中的=-3呢？所形成的矩形及三角形的面积又是多少？学生计算后进一步归纳总结反比例函数 （≠0）中的几何意义

3、形成结论，注意辨析
反比例函数（≠0）的图象上任一点向x轴、y轴作垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积，△OMP的面积为
图中这些矩形的面积相等吗？图中这些三角形的面积相等吗？

熟记结论：，
【师生活动】
学生分析、求解k=-3时矩形和三角形的面积，并总结k<0时矩形和三角形面积与k的关系.

师生共同总结:
通过信息技术与课程的整合，利用几何画板展示当点p运动时，矩形和三角形的面积都相等，体现了反比例函数中面积的不变性.
教师强调这是本节课的重点也是本节课的难点）．

【媒体应用】

出示问题和图象．

【设计意图】
通过对k取负值时的讨论，使学生更全面的认识的几何意义.

通过变化点p的位置，让学生了解反比例函数面积的不变性.
活动三  熟练运用，解决问题
1.如图，点P是反比例函数图像上一点，过P分别向X轴、Y轴做垂线，若阴影部分面积为3，则这个反比例函数的解析式是 x
y
A
B
O

2. 如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若，则 .
3. 正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点.AB⊥x轴于B,CD⊥y轴于D(如图),则四边形ABCD的面积为( )
（A）1 （B） （C）2 （D） 3

【师生活动】
教师提出由易到难的巩固练习，学生思考、解答.

【设计意图】
让学生根据矩形的面积确定值，学会逆向思考问题，通过类似问题使学生把刚刚获取的经验得到巩固和深化，进一步熟悉解决问题的方法与过程，从而提高分析和解决问题的能力．

为进一步落实所学内容，激励学生动手动脑，培养学生分析问题、解决问题的能力．
活动四  拓展提升，知识迁移
4.如图，

4
y
x
=

5.

4
y
x
=

【师生活动】
教师提出动点问题，学生思考.

教师借助软件动态的演示每个问题.

学生亲自动手操作，体会动点问题，并用特值法求解.
【设计意图】
让学生根据三角形的面积的结论，划归成熟悉的问题，通过类似问题使学生把刚刚获取的经验得到巩固和深化，进一步熟悉解决问题的方法与过程，从而提高分析和解决问题的能力．
为进一步落实所学内容，激励学生动手动脑，培养学生分析问题、解决问题的能力．
活动五  归纳小结，解决问题
请回顾反比例函数比例系数的几何意义的探究过程，并回答以下问题：
（1）反比例函数比例系数具有怎样的几何意义？
（2）通过本节课的学习你掌握了哪些数学思想和方法？
（3）你有哪些收获？（知识、情感）

【师生活动】
教师提出问题，学生思考回答总结本节课的收获．
老师加以引导和归纳并强调在解决问题时注意以形助数，用数解形、数形结合和分类讨论、反比例函数面积的不变性

【媒体应用】
出示小结问题

【设计意图】
引导学生总结在思想方法和情感上的收获，使知识系统化．

活动六 随堂检测，自我评价
1. 反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON＝2，则k的值为 .

2. 如图，点A在双曲线y=，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C．D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　 .
3. 如图，是反比例函数y=和y=（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB=2，则k2﹣k1的值是 .

【教师活动】
教师出示检测题．

【学生活动】
学生利用刚才所学知识和方法独立完成题目．

【设计意图】
及时评价，反馈学习情况．
活动七  推荐作业，延展提升
1. 反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为 .

2. 如图，P、C是函数图像上的任意两点，过点P作x轴的垂线PA,垂足为A，过点C作x轴的垂线CD,垂足为D，连接OC交PA于点E，设⊿POE的面积为S1,梯形CEAD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是
S1 S2.

4.仿照上一题，你能把“自我检测”的第二题改编成一道动点的题目吗？并和你的同桌交流一下，看看他能正确求解出来吗？

【教师活动】
课件出示作业题，教师讲解作业要求.

【学生活动】
学生课下独立完成作业．

【设计意图】
对本节课所学内容进行及时巩固.

设置分层作业和开放式作业，有助于不同层次的学生更好的掌握本节课知识.
板书设计：
反比例函数比例系数的几何意义
一、探究新知
当时
当时
二、形成结论

课后反思：
本节课主要通过提出问题，让学生经历观察、思考、归纳等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生初步认识反比例函数的比例系数k的几何意义.在新知探究过程中，给学生更多的思维空间，教师适时加以引导，让学生自己发现并纠正错误，从而加深了学生对问题的理解.
通过信息技术与课程的整合，利用软件演示反比例函数的面积不变性，在探究题和习题中涉及到的动点问题，都是应用软件动态演示，并利用三角形和平行四边形的性质，把动点问题划归成已经总结的结论，进而利用结论解题.利用软件动态的演示动点问题，能让学生更直观、形象的分析问题和解决问题，方便了学生的学习，大大的提高了课堂的教学效率.本节课也存在一些需要改进的地方，：比如：可以让学生亲自动手在电脑中改变k的值，让他们更多地参与到问题的探究.

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