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量测基础篇－频宽、取样速率及奈奎斯特定理

高速数字器的模拟前端包含模拟输入电路及模拟数字转换器（ADC）两项主要元件，要了解箇中运作原理，频宽、取样速率、奈奎斯特定理是您必须先行认识的关键名词。

模拟前端运作原理
高速数字器的模拟前端有两项主要元件，就是模拟输入电路及模拟数字转换器（ADC）。模拟输入电路将信号衰减、放大、过滤、及／或偶合，使ADC的数字化能达到最佳。ADC将处理过的波型做取样，将模拟输入信号转换为代表经过处理之数字信号的数位值。

图 1　
频宽（Bandwidth）描述的是模拟前端在振幅损失最少的前提下，将信号从外部世界传入ADC的能力；取样速率Sample Rate）是ADC将模拟输入波型转换为数字资料的频率；奈奎斯特定理（Nyquist Theorem）说明取样速率和受测信号的频率之间的关系。以下将更详细地讨论这三个名词。

频宽（Bandwidth）
频宽形容一个频率范围，在这个范围内，输入信号可以用振幅损失最少的方式，穿过模拟前端──从探测器的前端或测试设备到达ADC的输入端。频宽指定为正弦曲线输入讯号衰减至原振幅之70.7%时的频率，亦称为-3 dB点。下图说明100 MHz高速数字器的典型输入反应。　

图 2　
举例来说，如果你将一个1 V, 100 MHz的正弦波输入频宽为100 MHZ的高速数字器，信号会被数字器的模拟输入途径衰减，而被取样的波型振幅约为0.7 V。　

图 3　
数字器的频宽最好比要测量的信号中的最高频率高三到五倍，以期在最低的振幅误差下截取信号（所需频宽 = （3 至 5）*欲测频率）。受测信号的理论振幅误错可以从数字器频宽与输入信号频宽（R）之间的比例计算得知。

图 4　
举例来说，在使用100 MHz高速数字器测量50 MHz正弦曲线信号时（其比例R=2），误差大约为10.5%。

另一个和频宽有关的重要主题是上升时间（rise time）。输入信号的上升时间是指信号从最大信号振幅的10%转换到90%的时间，而且与频宽成反向相关，由以下公式呈现。此公式採用单极模型，R-C限制输入反应为基础。

图5　
这表示100 MHz数位器的输入途径的上升时间是3.5 ns。我们建议数位器输入途径的上升时间为受测讯号上升时间的1/3到1/5，才能在上升时间误差最低的情况下测量讯号。测得之上升时间的理论值 （Trm） 可以利用数位器的上升时间 （Trd）和输入讯号的实际上升时间 （Trs）计算而得。　

图 6　
举例来说，在使用100 MHz高速数字器测量上升时间为12 ns的讯号时，测得的上升时间约为12.5 ns。

取样速率（Sample Rate）
取样速率与高速数字器的频宽规格并不直接相关。取样速率是指信号经过模拟输入径途之后，数字器的ADC将输入信号转换为代表电压强度的数字值的速率。这表示数字器是在模拟输入通道对信号施以任何衰减、增益、及／或过滤处理之后，才对信号取样，并将所得的波型转换为数字呈现。高速数字器的取样速率是根据取样时脉而定，它告诉ADC何时将即时的模拟电压转换为数字值。National Instruments的高速数字器可以根据设备的最大取样速率加以衍生，以支援多种有效取样速率。举例来说，NI 5112的最大取样速率为100 Megasamples/second （MS/s），可以设定为 （100MS/s）/n的取样速率，其中n = 1,2,3,4,....

图 7

奈奎斯特定理（Nyquist Theorem）
首先必须了解，奈奎斯特定理：取样速率 > 2 * 受测讯号的最高频率部份。

奈奎斯特定理说明必须以高于受测信号的最高频率两倍以上的速度进行取样，才能正确地重建波型；否则高频的内容会成为目标频谱（spectrum of interest）内某个频率（通频，passband）上的alias。Alias是错误的较低频元件，出现在以过低取样速率取得的样本资料中。下图显示一个5 MHz的正弦波，由6 MS/s ADC进行数字化。虚线是ADC记录的alias信号，它是以1 MHz进行取样，而非以5 MHz进行取样。　

图 8: 奈奎斯特频率的正弦波范例

5 MHz频率以alias的方式落回通频中，呈现1 MHz正弦波的样式。为了避免通频的alias现象，你可以使用低通滤波器来限制输入信号的频率，或提高取样速率。

合理选择高速ADC实现欠采样

   欠采样或违反奈奎斯特（Nyquist）准则是 ADC 应用上经常使用的一种技术。射频（RF）通信和诸如示波器等高性能测试设备就是其中的一些实例。在这个“灰色”地带中经常出现一些困惑，如是否有必要服从 Nyquist 准则，以获取一个信号的内容。对于 Nyquist 和 Shannon 定理的检验将证明：ADC 采样频率的选择与最大输入信号频率对输入信号带宽的比率有很强的相关性。
　　原理分析
　　Nyquist 定理被表达成各种各样的形式，它的原意是：如果要从相等时间间隔取得的采样点中，毫无失真地重建模拟信号波形，则采样频率必须大于或等于模拟信号中最高频率成份的两倍。因而对于一个最大信号频率为 fMAX的模拟信号 fa，其最小采样频率 fs 必须大于或等于 2×fMAX 。
　　fs ≥ 2 fMAX
　　最简单的模拟信号形式是正弦波，此时所有的信号能量都集中在一个频率上。现实中，模拟信号通常具有复杂的信号波形，并带有众多频率成份或谐波。例如，一个方波除了它的基频之外，还包含有无穷多的奇次谐波。因此，根据 Nyquist 定理，要从时间交叉的采样中完整地重建一个方波，采样频率必须远远高于方波的基频。
　　请注意：当以采样率fs对模拟信号fa进行采样时，实际上产生了两个混叠成份，一个位于fs+fa，另一个位于fs－fa。它的频率域显示在图 1中。

　　较高频的混叠成份基本上不会引起问题，因为它位于Nyquist 带宽（fs/2）以外。较低频的混叠成份则可能产生问题，因为它可能落在Nyquist 带宽之内，破坏所需要的信号。鉴于采样系统的混叠现象，Nyquist 准则要求采样率fs > fa，以避免混叠成份覆盖到第一Nyquist 区。为防止有害的干扰, 任何落在感兴趣的带宽之外的信号无论是寄生信号或是随机噪声）都应该在抽样之前进行过滤。这就解释了众多采样系统中，加装抗混叠滤波器的必要性。然而，在下面关于次采样的部分中，会表明存在着一些方法，它们可以在信号处理应用中用到混叠现象的益处。
　　举例来说：对一个最大频率为10MHz 信号，为了从采样中不失真地重建模拟信号，Nyquist 规定采样频率 320MSPS (每秒百万次抽样)。但是，我们很快能看出 Nyquist 定理的局限性。
　　Nyquist 假定所需的信息带宽等于Nyquist带宽或采样频率的一半。在图 1所示的范例中，如果模拟信号fa带宽小于fs/2，那么有可能用低于Nyquist的率进行采样，仍然能够防止混叠现象的产生，并避免损坏所需的信号。应该观察到，所需最小采样频率实际上是输入信号带宽的一个函数，而不仅取决于最大频率成份。
　　Shannon定理进一步验证了这一结论。Shannon定理是制指，一个带宽为fb的模拟信号，采样速率必须为 fs > 2fb，才能避免信息的损失。信号带宽可以从 DC 到fb（基带采样），或从f1到f2，其中fb = f2-f1(欠采样)。
　　因此，Shannon 定理表示：实际所需最小采样频率是信号带宽的函数，而不仅取决于它的最大频率成份。通常来说，采样频率至少必须是信号带宽的两倍，并且被采样的信号不能是 fs/2 的整数倍，以防止混叠成份的相互重叠。注意，fMAX（模拟信号的最大频率成份）对于信号带宽 B 的大比例最小采样频率接近 2B。
　　在许多应用中，这大大地减少了对ADC的要求。对一个具有150MHz最大信号频率，但只有10MHz 带宽的信号进行采样，可能只需要一个约22MSPS的ADC，而不是Nyquist规定的大于300MSPS的 ADC。
　　例如，考虑一个带宽为 10MHz、位于160MHz~170MHz频谱范围内的信号。假定按照 Shannon 定理要  30MSPS 的采样率，由于采样过程会产生附带的采样频率，它们是 30MHz 的整数倍，也就是 60MHz（2fs）、90MHz  （3fs）. 180MHz 等。介于 160MHz 和 170MHz 之间的所需信号，在这些采样频率的每个谐波（fs、2fs、3fs等）附近都产生混叠。注意：任何一个混叠成份都是原始信号的一个准确表述。30MSPS 采样使得 160MHz~170MHz 的信号被折返到 0~10MHz 的第一Nyquist区。
　　从本例中还应注意到：可能存在于 ADC 输出 FFT 中的最高频率成份小于或等于采样频率的一半。或者说，由于谐波折返或欠采样，每一个位于 Nyquist 带宽之外的ADC输入频率成份总被折返到第一Nyquist 区。这可由下列等式表示。而次采样在实用电子系统有许多用途。最常见的欠采样应用是在数字接收器中。

　　首先让我们更详细地解释次抽样的过程。次抽样或折返的过程可以看作是 ADC 输入信号与采样频率和其谐波的混合。这意味着，许多频率可以混合为DC，而不再能确认它们的原始频率。举一个66MSPS采样频率的例子，则所有输入信号（66-6、66+6、126、136MHz 等等）频率混合为 6MHz，见图2。每个采样映象折返到小于fs /2。请注意，图2虚线处将发生相位翻转，但这些成份可在软件中去除。如果必须在ADC输出处确定原始的输入频率，则无法使用次采样。因为这违反了Nyquist准则。如果在 ADC 输出处无需确定载波频率，次采样仍然证明有效。这适用于许多通信系统，如手机基站接收器，因为接收器只需恢复载波上的信息，而不是载波本身。
　　射频数字接收器实例
　　以使用一个射频载波频率 900MHz（欧洲）和 1800MHz（美国）的 GSM/EDGE 基站为例。一个移动基站接收电路类似图3所示。高频射频载波信号首先在混频器和本振级下变频为一个范围150MHz~190MHz 的中频，供模拟/数字的转换使用。前述 Shannon 定理显示，所必需的采样频率是信号带宽的函数，在GSM/EDGE系统中带宽为200kHz。GSM系统的动态范围规格需要最小10位精度的 ADC，虽然实际都使用12位精度。市面上有大量的高速 ADC 可供选择，数字接收器的系统设计师选择器件时必须考虑系统动态范围要求以及器件的成本。由于这些原因，对于GSM接收器应用，50MSPS~70MSPS采样率的ADC是最常见的选择。虽然在66MSPS时150MHz~190 MHz信号为欠采样，对于需要的200kHz信息带宽，并没有违反 Nyquist 准则。这种选择为200kHz的带宽信息信号提供了足够大的空间，同时提供了超过20dB的处理增益。请注意，由于种种原因，继续增加采样频率来不断提高处理增益的方法是不切实际的。市面上有更高采样率的12位ADC，譬如12位80MSPS的ADC（美国国家半导体 ADC12L080），以及一些大于100MSPS的12位专用ADC，但低于100MSPS 和高于 100MSPS 采样率 ADC 之间的成本差别相当大。

　　处理增益
　　ADC噪声特性通常由热噪声所限制，当选定ADC时，其噪声带宽通常被定义作Nyquist带宽。在fs = 66MSPS时，总噪声底限的测量表示为相对于某一输入信号频率处一个33MHz带宽内全量程（dBFS）的dB值。但是对ADC输出进行过滤后，会产生一个更窄的带宽。滤波过程提供的噪声处理增益是带宽减少量的函数。200kHz 的信道滤波器可获得如下的处理增益：

　　上式假设 ADC 输出的滤波器去除了混叠映象和fs附近的噪声。
　　这样，200kHz 带宽内的 ADC 输出噪声变成：
　　-62dBFS + (-25.2dB  ) = -87.2dBFS.
　　当为某个应用选择正确采样率的ADC时，不光要知道最高模拟转换频率这一个参数。Shannon 定理显示，信号带宽同等重要。我们发现，高于 Shannon 速率的采样还有其它的好处，如处理增益可以极大地改善动态范围。系统设计师掌握了这一知识，就能在通用且价格合理的标准 ADC 中，正确地选择 ADC 采样频率和精度。

Paul McCormack
                           美国国家半导体欧洲数据转换系统应用工程师