矩-形-的-判-定.doc

19.2 矩 形 的 判 定 (教案)
桐柏县方树泉中学 胡钰

教学目标：
1、理解矩形的判断定理，能有理有据地推理证明，精炼准确地书写表达。
2、经历探索矩形的性质和判断的过程，培养实验探索能力，体会归纳、概括、转化、分析等数学思想方法。
学情分析：
学生们在上一节已经学习了矩形的定义及性质，在此基础上让同学们自主探索，合作交流，从而发现并证明矩形的判定定理，把每一个学生的积极性调动起来
重点难点：
重点：利用定理解决相关问题。
难点：灵活运用矩形的判断定理。
教学过程：
复习提问，矩形的定义：
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
平行四边形的一个角是直角叫做矩形
矩形的性质：
边 矩形的对边平行且相等
角 矩形的四个角都是直角
对角线 矩形的 两条对角线相等且互相平分

设疑自探：
一天,小丽和吴娟到一个商店准备给今天要过生日的肖华买生日礼物,选了半天,她们俩最后决定买相框送给她,在里面摆放她们三个好朋友的相片,为了保证相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么她们是用什么方法可以知道她们拿的就是矩形相框呢?

请你思考：
小丽和吴娟是怎样知道所买的相框是矩形的呢?
通过测量四个角是直角
作一个三个角都是直角的四边形
步骤：
1.任意作两条互相垂直的线段AB,AD.
2过点B作垂直于AB的直线n;
3.过点D作垂直于AD的直线m,交n于点C，
即得一个三个角都是直角的四边形ABCD。
观察你所作的图形，它是一个矩形吗？

D
B
m
A
n

下面我们来加以证明

猜想加证明：
w 有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
证明:
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.

D
B
C
A

矩形判定1：
有三个角是直角的四边形是矩形
∠A= ∠B= ∠C=90°
四边形ABCD是矩形
D
B
C
A

解疑合探：
下面的几何图形是矩形吗？
有一个角是直角
有两个角是直角 的 四边形是矩形吗？
有三个角是直角

A
B
D
C

(有一个角是直角）

A
B
D
C

(有二个角是直角)

A
B
D
C

(有三个角是直角)

思考：
对角线怎么样才是矩形？
对角线互相平分也不是

O

A
B
C
D

O

A
B
C
D

将AC同时向两边拉长，使AC=BD

猜猜看：
现在的ABCD会是一个什么图形？
除度量角度之外,她们需要度量什么也能知道做好的相框是矩形呢?

质疑再探：
对角线相等的平行四边形是矩形吗？
已知:
四边形ABCD是平行四边形,AC=BD
求证:
四边形ABCD是矩形

证明：
在平行四边形ABCD中
AB=DC , BD=CA, AD=DA
∴△BAD≌△CDA(SSS)
∴∠BAD=∠CDA
∵AB∥CD
∴∠BAD +∠CDA=180°
∴∠BAD＝90°
∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）

矩形判定2：
对角线相等的平行四边形是矩形

平行四边形ABCD中，AC=BD
ABCD是矩形
推论:对角线互相平分且相等的四边形是矩形
AO=CO, BO=DO, AC=BD
四边形ABCD是矩形

判断题
• 对角线相等的四边形是矩形。
• 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
• 有一个角是直角的四边形是矩形。
• 四个角都是直角的四边形是矩形。
• 四个角都相等的四边形是矩形。
• 对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。
• 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。

例 1 已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．
证明：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD（矩形的对角线相等)
AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）
∵ E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵EO+OG=FO+OH

即EG=FH
∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。

拓展训练:

变式一:
已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G 、 H分别是AO 、BO 、 CO ,DO上的一点 ,且AE=BF=CG=DH.

求证:四边形EFGH是矩形

B
C
D
E
F
G
H
O
A

变式二;
如图， ABCD中，∠1=∠2.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？

解：∵
∴AO=CO,BO=DO
（平行四边形对角线互相平分）

∵ ∠1=∠2
∴AO=BO（等角对等边 ）
∴AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
（对角线相等的平行四边形是矩形）

变式三:
如图，平行四边形ABCD中，AB= 6，BC= 8，AC= 10 ，
求证 : 四边形ABCD是矩形。

D
B
C
A

课堂小结:
这节课你有什么收获？

平行四边形ABCD中，AC=BD
ABCD是矩形
∠A= ∠B= ∠C=90°
四边形ABCD是矩形

矩形的判定口诀：

任意一个四边形，三个直角定矩形。
对于平行四边形，一个直角即可定；
对角线相等也矩形。

作业:
P104习题19.1的第2,3,4题。