新高考题型《一题两空》（100题）.docx

新高考题型：一题两空（100题）

1．已知p：|x|≤m(m>0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________；若p是q的必要条件，则m的最小值为________．
【解析】由|x|≤m(m>0)，得－m≤x≤m.
若p是q的充分条件⇒⇒0由题意知1和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝6，＝5，解得b＝－12，c＝10，所以f(x)＝2x2－12x＋10.不等式f(x)≤2＋t在x∈[1,3]时有解，等价于2x2－12x＋8≤t在x∈[1,3]时有解，只要t≥(2x2－12x＋8)min即可，不妨设g(x)＝2x2－12x＋8，x∈[1,3]，则g(x)在[1,3]上单调递减，所以g(x)≥g(3)＝－10，所以t≥－10.
【答案】2x2－12x＋10　[－10，＋∞)

3．已知函数f(x)＝若c＝0，则f(x)的值域是________；若f(x)的值域是，则实数c的取值范围是______．
【解析】当c＝0时，当x∈[－2，0]时，f(x)∈，当x∈(0，3]时，f(x)∈，所以f(x)的值域为.作出y＝x2＋x和y＝的图象如图所示，当f(x)＝－时，x＝－；当x2＋x＝2时，x＝1或x＝－2；当＝2时，x＝，由图象可知当f(x)的值域为时，需满足≤c≤1.

【答案】　

4．若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，＋的最小值为________．
【解析】∵a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，∴ab＝a·2b≤×2＝2，
当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴ab的最大值为2.
∵＋＝·＝≥·＝，当且仅当a＝b时等号成立，∴＋的最小值为.
【答案】2　

5．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝，则ab＝________，cos＝________.
【解析】由题知sin α＝b，cos α＝a.∵a＋b＝，∴sin α＋cos α＝.
两边平方可得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，
∴1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝.∴sin αcos α＝ab＝，
∴cos＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－.
【答案】　－

6．已知f(x)＝sin－cos，则f(x)的最小正周期为________，f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.
【解析】依题意可得f(x)＝2sin x，其最小正周期T＝6，且f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0，故f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2.
【答案】6　2

7．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|＝|a＋b－c|＝1，则|c|的最大值M＝________，|c|的最小值m＝________.
【解析】因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1.所以a，b，a－b可构成等边三角形，且|a＋b|＝，因为|a＋b－c|＝1所以如图所示，c的终点在以a＋b的终点为圆心、半径为1的圆上，故M＝＋1，m＝－1.

【答案】＋1　－1

8．在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝________，△ABC的面积等于________．
【解析】在△ABC中，由正弦定理得sin B＝＝＝1.又B为三角形的内角，∴B＝，∴c＝＝＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.
【答案】　2

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3sin C，则c＝____，cos C＝________.
【解析】△ABC中，角A，B，C，所对边分别是a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，则a＋b＝，且△ABC的周长为9，则：c＋＝9，解得c＝4.
若△ABC的面积等于3sin C，则absin C＝3sin C，
整理得ab＝6，由于a＋b＝＝5，
故　解得或
所以cos C＝＝－.
【答案】4　－

10．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)一部分图象如图所示，则ω＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．

【解析】由图象知＝－＝，则周期T＝π，即＝π，则ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)．
由五点对应法得2×＋φ＝2kπ，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，
即函数的单调递增区间为，k∈Z.
【答案】2　(k∈Z)

11.如图所示，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)，赛道的后一部分为折线段MNP，则ω＝________，M，P两点间的距离为________．
【解析】依题意，有A＝2，＝3，又T＝，
所以ω＝，所以y＝2sin，x∈[0,4]，
所以当x＝4时，y＝2sin＝3，
所以M(43)，又P(8,0)，
所以MP＝＝＝5(km)，
即M，P两点间的距离为5 km.
【答案】　5 km
12．如图，将绘有函数f(x)＝sin(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A，B之间的空间距离为，则ω＝________，f(－1)＝________.

【解析】由题设并结合图形可知
AB＝ ＝ ＝＝，得＝4，则ω＝，
所以函数f(x)＝sin，
所以f(－1)＝sin＝sin＝.
【答案】　
13．已知sin α＋3cos α＝－，则tan 2α＝________，tan＝________.
【解析】∵(sin α＋3cos α)2＝sin2α＋6sin αcos α＋9cos2α＝10(sin2α＋cos2α)，∴9sin2α－6sin αcos α＋cos2α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝.
∴tan 2α＝＝，tan＝＝2.
【答案】　2

14．已知tan 2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则tan α＝__________，sin＝__________.　
【解析】由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.
又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，
所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－，cos α＝，
所以sin＝sin αcos－cos αsin＝－.
【答案】－3　－
15．已知0＜α＜，且sin α＝，则tan＝________，＝________.
【解析】因为0＜α＜，且sin α＝，所以cos α＝＝，所以tan α＝＝，
则tan＝tan＝＝7.
＝＝＝＝.
【答案】7　

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.则cos(α－β)＝___2α－β＝________.

【解析】由题意，OA＝OM＝1，
因为S△OAM＝和α为锐角，所以sin α＝，cos α＝.
又点B的纵坐标是，所以sin β＝，cos β＝－，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
因为cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，所以2α∈.
因为β∈，所以2α－β∈.
因为sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝－，所以2α－β＝－.

【答案】－　－
17．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0π)，则sin θcos(π－θ)＝________，tan θ＝________.
【解析】因为sin θ＋cos θ＝，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝－.所以sin θcos(π－θ)＝－sin θcos θ＝；
(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ＝.
联立解得sin θ＝，cos θ＝－.
所以tan θ＝－.
【答案】　－
18．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，则m＝________，θ＝________.
【解析】由已知，得sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，
又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m＝.
由得或
又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.
【答案】　或

19．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．
【解析】因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a＞1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)＞f(1)．
【答案】(1，＋∞)　f(－4)＞f(1)

20．函数y＝2＋的最大值是________，单调递增区间是________．
【解析】函数y＝2＋＝2＋，可得当x＝2时，函数y取得最大值2＋2＝4；由4x－x2≥0，可得0≤x≤4，令t＝－x2＋4x，则t在[0，2]上为增函数，y＝2＋在[0，＋∞)上为增函数，可得函数y＝2＋的单调递增区间为[0，2]．
【答案】4　[0，2]

21．设函数f(x)＝的图象过点(1，1)，则f(x)的值域为________；若函数g(x)是二次函数，且函数f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数g(x)的值域是________．
【解析】因为函数f(x)＝的图象过点(1，1)，所以m＋1＝1，解得m＝0，所以f(x)＝画出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．
而f(x)的值域为(－1，＋∞)，
f(g(x))的值域为[0，＋∞)，
因为g(x)是二次函数，所以g(x)的值域是[0，＋∞)．
【答案】(－1，＋∞)　[0，＋∞)

22．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________；该选手回答了5个问题(5个问题必须全部回答)就结束的概率为________．
【解析】依题意，该选手第2个问题回答错误，第3,4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P＝1×0.2×0.82＝0.128.
依题意，设答对的事件为A，可分第3个回答正确与错误两类，若第3个回答正确，则有AA或　A两类情况，其概率为：0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝0.032.若该选手第3个问题的回答是错误的，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以所求概率为0.032＋0.072＝0.104.
【答案】0.128　0.104

23．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.

则：(1)p＝________；(2)电流能在M与N之间通过的概率为________．
【解析】记Ai表示事件“电流能通过Ti”，i＝1,2,3,4，
A表示事件“T1，T2，T3中至少有一个能通过电流”，
B表示事件“电流能在M与N之间通过”．
(1)＝，A1，A2，A3相互独立，
P()＝P()＝P()P()P()＝(1－p)3，
又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，
故(1－p)3＝0.001，解得p＝0.9.
(2)B＝A4∪(A1A3)∪(A2A3)，
P(B)＝P(A4)＋P(A1A3)＋P(A2A3)＝P(A4)＋P()P(A1)P(A3)＋P()P()P(A2)P(A3)＝0.9＋01×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1.
【答案】0.9　0.989 1

24．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．

【解析】第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.
【答案】50　1 015

25．在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)
学生的编号i
1
2
3
4
5
数学成绩x
80
75
70
65
60
物理成绩y
70
66
68
64
62

现已知其线性回归方程为＝0.36x＋，则＝________，根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为________．(四舍五入到整数)
【解析】＝＝70，＝＝66，
所以66＝0.36×70＋，即＝40.8，即线性回归方程为＝0.36x＋40.8.
当x＝90时＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73.
【答案】40.8　73

26．一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数为ξ，则P(ξ＝4)＝______，ξ的期望值为________．
【解析】将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4.其中，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.
【答案】　1

27．若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则a＝________，函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．
【解析】由函数f(x)的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2，则函数f(x)＝2x＋b，其定义域为[－2，2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝，易知g(x)在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即.
【答案】2　

28．设函数f(x)＝2x2＋bx＋c，若不等式f(x)<0的解集是(1,5)，则f(x)＝________；若对于任意x∈[1,3]，不等式f(x)≤2＋t有解，则实数t的取值范围为_．
【解析】由题意知1和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝6，＝5，解得b＝－12，c＝10，所以f(x)＝2x2－12x＋10.不等式f(x)≤2＋t在x∈[1,3]时有解，等价于2x2－12x＋8≤t在x∈[1,3]时有解，只要t≥(2x2－12x＋8)min即可，不妨设g(x)＝2x2－12x＋8，x∈[1,3]，则g(x)在[1,3]上单调递减，所以g(x)≥g(3)＝－10，所以t≥－10.
【答案】2x2－12x＋10　[－10，＋∞)

29．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是____a·(a＋b)＝________.
【解析】由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6.
【答案】　6

30．母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的底面圆的半径为________，体积为________．
【解析】设该圆锥的底面圆的半径为r，高为h.∵母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，∴侧面展开图的弧长为5×＝8π.又弧长＝底面周长，即8π＝2πr，∴r＝4，∴圆锥的高h＝＝3，∴圆锥的体积V＝×π×42×3＝16π.
【答案】4　16π

31．已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为________．
【解析】该三棱锥侧面的斜高为 ＝，则S侧＝3××2×＝2，S底＝××2＝，所以三棱锥的表面积S表＝2＋＝3.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r，则三棱锥的体积V锥＝S表·r＝S底·1，所以3r＝，所以r＝，所以三棱锥的内切球的体积最大为Vmax＝πr3＝.
【答案】3　

32．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝________，c＝________.
【解析】∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，
∴其共轭复数1－i也是方程的根．
由根与系数的关系知
∴b＝－2，c＝3.
【答案】－2　3

33.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.则：
(1)三棱锥P­ABC的体积为______；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值为________．
【解析】(1)S△ABC＝×2×2＝2，
三棱锥P­ABC的体积V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．
在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.
【答案】(1)　(2)

34．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋SnSn＋1＝0，则Sn＝________，数列的前n项和为________．
【解析】∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＋SnSn＋1＝0，∴Sn＋1－Sn＋SnSn＋1＝0，∴－＝1.
又∵＝＝1，∴是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴＝n，∴Sn＝.∴SnSn＋1＝＝－，
∴Tn＝＋＋…＋＝1－＝.
【答案】　

35．已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.则数列{bn}的通项公式为________；数列{an}的通项公式an＝________.
【解析】设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q＋q2－6＝0.又因为q＞0，解得q＝2.所以，bn＝2n.
由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.①
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，②
联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.
【答案】2n　3n－2

36．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则a2＝______，通项公式an＝________.
【解析】由已知，a2＝a1＋＝3＋＝.
因为an＋1－an＝＝－，
所以a2－a1＝1－，
a3－a2＝－，
…
an－an－1＝－，
所以以上(n－1)个式子累加可得，an－a1＝1－，
因为a1＝3，所以an＝4－.
【答案】　4－

37．若数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋3(n∈N*)，则a3＝________，通项公式an＝________.
【解析】数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋3(n∈N*)，
所以数列{an}是首项a1＝3，公差d＝an＋1－an＝3的等差数列，
所以a3＝a1＋2d＝3＋6＝9，
an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.
【答案】9　3n

38．等差数列{an}中，已知Sn是其前n项和，a1＝－9，－＝2，则an＝________，S10＝________.
【解析】设公差为d，∵－＝2，∴d－d＝2，
∴d＝2，∵a1＝－9，∴an＝－9＋2(n－1)＝2n－11，S10＝10×(－9)＋×2＝0.
【答案】2n－11　0

39．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋an＋1＝2n＋1(n∈N*)，则a20的值为________，S21的值为________．
【解析】将n＝1代入an＋an＋1＝2n＋1中得a2＝3－1＝2.
由an＋an＋1＝2n＋1　①，得an＋1＋an＋2＝2n＋3　②.
②－①，得an＋2－an＝2，所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，
则a21＝1＋10×2＝21，a20＝2＋9×2＝20，所以S21＝(a1＋a3＋a5＋…＋a21)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝＋＝231.
【答案】20　231

40．已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为________；a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝________.
【解析】由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是递减的等比数列，得a1＝4，a3＝1，an＝4×n－1，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首项为8、公比为的等比数列的前n项和．故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋＋…＋8×n－1＝＝×.
【答案】an＝4×n－1　×

41．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则||·||的最大值为________，＋)·的最小值为________．

【解析】∵圆心O是直径AB的中点，
∴＋＝2，∴(＋)·＝2·，
∵||＋||＝3≥2，∴||·||≤，
即(＋)·＝2·＝－2||·||≥－，当且仅当||＝||＝时，等号成立，故最小值为－.
【答案】　－

42．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.则B＝________；若|－|＝，则△ABC面积的最大值为________．
【解析】由题意得(a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin (C＋B)，
即sin Acos B＝sin A，
因为A∈(0，π)，所以sin A>0.
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
因为|－|＝，所以||＝.
即b＝，根据余弦定理及基本不等式，得
6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋)，
故△ABC的面积S＝acsin B≤，
即△ABC的面积的最大值为.
【答案】　

43．已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，则实数a＝________；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________．
【解析】函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]．当a>1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2，0]上单调递减，∴无解；当0程f(x0)＝－1，得或解得x0＝－1.关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点等价于y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同交点，观察图象可知：当0＜k＜1时y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同交点．即k∈(0，1)．

【答案】－1　(0，1)

45．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex的极值点，则f′(－2)＝________，f(x)的极小值为________．
【解析】由函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex可得f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex，因为x＝－2是函数f(x)的极值点，所以f′(－2)＝(－4＋a)e－2＋(4－2a－1)e－2＝0，即－4＋a＋3－2a＝0，解得a＝－1.所以f′(x)＝(x2＋x－2)ex.令f′(x)＝0可得x＝－2或x＝1.当x＜－2或x＞1时，f′(x)＞0，此时函数f(x)为增函数，当－2＜x＜1时，f′(x)＜0，此时函数f(x)为减函数，所以当x＝1时函数f(x)取得极小值，极小值为f(1)＝(12－1－1)×e1＝－e.
【答案】0　－e

46．(2019·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．
【解析】(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为60＋80＝140(元)，总价达到120元，又 x＝10，即顾客少付10元，所以需要支付130元．
(2)设顾客买水果的总价为a元，当0≤a<120时，顾客支付a元，李明得到0.8a元，且0.8a≥0.7a，显然符合题意，此时x＝0；当a≥120时，则0.8(a－x)≥0.7a恒成立，即x≤a 恒成立，x≤min，又a≥120，所以min＝15，所以x≤15.综上可知，0≤x≤15，所以x的最大值为15.
【答案】(1)130　(2)15

47．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
【解析】由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝e，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
【答案】2ln 2　1 024

48．已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝e－x＋，则x>0时，f(x)＝________；f(1)＋f′(1)＝________.
【解析】∵函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝e－x＋，
∴令x>0，则－x<0，∴f(－x)＝ex－＝－f(x)，
∴f(x)＝－ex＋，x>0.∴f′(x)＝－ex－，x>0，
∴f′(1)＝－e－1，f(1)＝－e＋1，
∴f(1)＋f′(1)＝－e－1－e＋1＝－2e.
【答案】－ex＋　－2e

49．(2019·北京高考)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________．
【解析】∵f(x)的定义域为R且为奇函数，∴f(0)＝0，即e0＋ae0＝0，∴a＝－1.∵f(x)是R上的增函数，∴f′(x)≥0，对∀x∈R恒成立，即ex－≥0对∀x∈R恒成立，
∴a≤(ex)2恒成立．∵(ex)2＞0，∴a≤0.
【答案】－1　(－∞，0]

50．设函数f(x)＝则f(f(0))＝________，若f(m)＞1，则实数m的取值范围是________．
【解析】f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.如图所示，可得f(x)＝的图象与直线y＝1的交点分别为(0，1)，(e，1)．若f(m)＞1，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞)．

【答案】0　(－∞，0)∪(e，＋∞)

51．若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，＋的最小值为________．
【解析】∵a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，∴ab＝a·2b≤×2＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴ab的最大值为2.∵＋＝·＝≥·＝，当且仅当a＝b时等号成立，∴＋的最小值为.
【答案】2　

52．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有________(填序号)．
【解析】由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确．
【答案】①或③

53.如图，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)若BC1∥平面AB1D1，则＝________；
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，则＝________.
【解析】(1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1，
连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.
又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.
因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.
因为＝，＝.
又因为＝1，所以＝1，即＝1.
【答案】(1)1　(2)1

54．已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在此椭圆上，则椭圆离心率为________，△PF1F2的周长为________．
【解析】由椭圆方程知a＝5，b＝3，c＝4，所以其离心率e＝＝.△PF1F2的周长为2a＋2c＝10＋8＝18.
【答案】　18

55．已知椭圆E的一个顶点为A(0,1)，焦点在x轴上，若椭圆的右焦点到直线x－y＋2＝0的距离是3.
(1)椭圆E的方程为________________；
(2)设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，则直线l的方程为________________．
【解析】(1)由题意得，b＝1.右焦点(c,0)(c＞0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝3，∴c＝.∴a＝＝，∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2，此时直线l的方程为x＝0.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，联立得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，
∴xA＝0，xB＝，∴|AB|＝，|AB|2＝.
令t＝1＋3k2，t∈(1，＋∞)，则|AB|2＝4×，
∴当＝，即k2＝1，得k＝±1时，|AB|2取得最大值为，即|AB|的最大值为，此时直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.
∵2＜，∴当弦AB的长度最大时，直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.
【答案】(1)＋y2＝1　(2)y＝x＋1或y＝－x＋1

56.三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示向量为________；　
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则MN的长为________．
【解析】(1)由题图知＝＋＋＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c.
(2)由题设条件
因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，所以|a＋b＋c|＝，||＝|a＋b＋c|＝.
【答案】(1)a＋b＋c　(2)

57．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E.
(1)椭圆C的方程为____________．
(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，则直线l的斜率k的值为________．　
【解析】(1)由
解得所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，
联立整理得y2－y－9＝0，
Δ＝＋144＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
又＝2，所以y1＝－2y2，
所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，则3＋4k2＝8，
解得k＝±，又k＞0，所以k＝.
【答案】(1)＋＝1　(2)
58．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点．则椭圆C的方程为________；若点M的坐标为，且MN⊥PQ，则线段MN所在的直线方程为_____________．
【解析】由e＝，得a＝2c，
易知|AF1|＝2，|AF2|＝2a－2，
由余弦定理，得|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos