相似三角形基本知识总结及习题.doc

相似三角形基本知识
(一)比例的性质
1.比例的基本性质: 比例式化积、积化比例式.

2.合、分比性质: 分子加（减）分母,分母不变.

(k=1、2、3…)

应用:
已知
证明:∵ ∴ ∴ ∴
3.等比性质:分子分母分别相加，比值不变.
若则.
4.比例中项:若的比例中项.

(二)平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.例. 已知l1∥l2∥l3,
A D l1
B E l2

C F l3

可得

2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A

D E

B C
由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.
3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. (即利用比例式证平行线)
4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.

(三)相似三角形
1、相似三角形的判定
①两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多);
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;
③三边对应成比例的两个三角形相似;
④直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.
2、直角三角形中的相似问题：
斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
射影定理：
CD²=AD·BD，
AC²=AD·AB，
BC²=BD·BA
（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.
3、相似三角形的性质
①相似三角形对应角相等、对应边成比例.
②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).
③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.
4、位似图形:如果两个图形不仅是相似图形，而且每对对应点所在直线都经过一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.这时的相似比又称为位似比.
特别提醒：
①是特殊的相似图形，具有位似中心；
②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比.

相似三角形（基础训练）
一、 选择题（每题2分，共30分）

1. 已知 ，则下列式子中正确的是（ ）

A.a:b=c²：d² B.a:d=c:d C.a:b=(a+c):(b+d) D.a:b=(a-d):(b-d)
2. 一个运动场的实际面积是6400m²，那么它在比例尺1:1000的地图上的面积是（ ）
A.6.4cm² B.640cm² C.64cm² D.8cm²
3. 测得线段AB=2.8m，CD=310cm，则线段AB与CD的比为（ ）

4. 已知线段d是线段b、c、a的第四比例项，其中a=5cm,b=2cm,c=4cm,则d等于（ ）
A.1cm B.10cm C.2.5cm D.1.6cm
5. ①如果线段d是线段a、b、c的第四比例项，则有 ；

②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项；
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，那么AC是AB与BC的比例中项；
④如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=2，则AC= .
其中正确的判断有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6. 如图，DE∥BC,在下列比式中，不能成立的是（ ）

7. 下列图形中相似的多边形是（ ）
A.所有的矩形 B.所有的菱形
C.所有的正方形 D.所有的等腰梯形
8. 下列判断中，正确的是（ ）
A.各有一个角时67°的两个等腰三角形相似；
B.邻边之比都为2:1的两个等腰三角形相似；
C.各有一个角时45°的两个等腰三角形相似；
D.邻边之比都为2:3的两个等腰三角形相似.
9. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则△ABC中相似三角形共有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
10. 点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，则S△ADE:S△ABC=（ ）
A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:√2

11. ，则k=（ ）

A.2 B.-1 C.2或-1 D.无法确定
12. 下列说法正确的是（ ）
A.两位似图形的面积比等于位似比；
B.位似图形的周长之比等于位似比的平方；
C.分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形； A. B. C. D.
D.位似多边形中对应对角线之比等于位似比
13. 如果一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）
A.只有1个 B.可以有2个 C.有2个以上，但有限 D.有无数个
14. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=√6，AC=3，则CD的长为( )

A.1 B. C.2 D.

15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，且AD⊥BD=9:4，则AC:BC的值为（ ）

A.9:4 B. 9:2 C.3:4 D.3:2

二、 填空题（每题2分，共20分）

16. _____, _____.

17. 如果x:y:z=1:3:5,那么 _____.

18. E、F为线段AB的黄金分割点，已知AB=10cm，则EF的长度为_____cm.
19. 在阳光下，身高1.68m的小强在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗在地面上的影长为18m.则旗杆的高度为_____（精确到0.1m）.
20. 两个相似三角形对应高的比为1:√2,则它们的周长之比为_____;面积之比为_____.
21. △ABC的三边长分别为√5、√10、√15，△ 的两边长分别为1和√2，如果△ABC∽△ ，那么△ 的第三边长为_____.

22. 如图，在平行四边形ABCD中，延长AB到E,
使AB=2BE，延长CD到F，使DF=DC，EF交BC于G，
交AD于H.则S△BEG:S△CFG=______.

23. 如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，
梯脚B距墙1.4m，梯墙一点D距强1.2m，
BD长0.5m，则梯长为_____.

（23题） (24题)
24. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于______.

25. 如图，在△ABC中，M、N是AB、BC的中点，
AN、CM交于点O，那么△MOC∽△AOC面积的比为_____.

三、 作图题（5分）
26. 三角形的顶点坐标分别是A（2,2），B(4,2)，C(6,4)，试将△ABC缩小，使缩小后的△DEF与△ABC的对应边比为1:2，并且直接写出点D、E、F的坐标.

四、 解答题（27题、28题5分，29题10分，共20分）
27. 如图，DE∥BC，DF∥AC，AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm，
求线段BF的长.

28. 如图，已知△ABC中，AE:EB=1:3，BD:DC=2:1,AD与CE相交于F.

求 的值.

29.如图，已知△ABC，延长BC到D使CD=BC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E.
（1）求 的值

（2）若AB=a,FB=EC，求AC的长.

五、 证明题（30题5分，31题、32题10分，共25分）
30.如图，平行四边形ABCD中，过A作直线交BD于P，交BC于Q，交DC的延长线于R.
求证：AP²=PQ·PR.

31. 如图，△ACB中，∠ACB=90°，D在BC边上，连AD，过B作BE⊥AB，∠BAE=∠CAD，过E作EF⊥CB于F.
求证：BF=CD.

32. 如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F.
（1）求证：△CEB≌△ADC；
（2）若AD=9㎝，DE=6㎝，求BE及EF的长.