圆的综合题例析.doc

圆有关的综合题例析

赵化中学 郑宗平

以圆为基本框架的综合题是历年来中考的一种常见题型，它容易把几何知识或代数知识形成几何综合题或或几何代数综合题.
以圆为基本框架的综合题的题型结构一般是由与圆有关的点和线段构造直线型，再以圆的性质为基础，结合特殊直线型（直角三角形、等腰三角形、长方形、正方形菱形等）的性质，以全等、相似、三角函数等牵线搭桥形成综合题，这种综合题常常证明中包含计算，计算中包含证明又包含着多种数学思想方法；在解答时应注意以下几个方面：
①、把复杂的图形分割成基本图形进行思考，并适当添加辅助线补全构造基本图形，如直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形等，从而把已知和未知建立联系.
②、掌握常规的与圆有关问题的证明方法与技巧，如：证角相等、证线段相等、证线段垂直等；掌握与圆有关的直线型的特殊性质与计算公式，对于双圆问题要注意公共弦和连心线.
③、注意数学思想方法的运用，如转化思想，通过与圆有关的直角三角形的勾股定理把证明问题转化为方程计算问题.

例1、如图已知，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，点E、F分别在AB、AC的延长线上，EF交⊙O于M、N,交AD于点H，H是OD的中点，,设,EH和HF是方程的两个实数根.
⑴、求EH和HF的长；
⑵、求BC得长.
破题分析:
⑴、考虑到方程中的“△”判别式、根的关系、EH与HF的差
为2，可以建立联立关系式；即，易求出k=12,所以求得
⑵、考虑到直径上圆周角等于90°，连结BD，由垂径定理知AD⊥EF，所以;设AB=3m,则BD=4m，AD=5m，通过Rt△AEH得：AH=6，而H为OD的中点，所以AD=8，，所以,易证△ABC∽△AFE,所以
点评：当与二次方程综合时，联系到二次方程“△”判别式、根系关系等知识综运用，正确建立含k的联立关系式，很容易求解；当与Rt△综合时，联系到解Rt△的边角关系，勾股定理等，也就不难求解，可见综合题要善于各个击破是很重要的。

例2、如右图，以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D
作DE⊥AC于E.

试证：DE是⊙O的切线

问： ⑴、若点O在AB上向B移动，以O为圆心，以OB 为半径的圆仍交BC于D，DE⊥AC的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由；
⑵、如果AB=AC=5cm，，那么圆心O在AB上什么位置时，⊙O与AC相切？
破题分析:
证明切线的思路一般情况下有两条，其一、若直线与圆有明确的
交点则“连半径，证垂直，得切线 ”； 其二、若直线与圆无明确的交
点则“作垂直，证相等，得切线 ”；本题应采用第一条思路，当连结O
-D后（见图①），利用同圆的半径相等而构成的等腰三角形为桥梁，容
易得出OD∥AC，再利用“两直线平行，同位角相等”后可以进一步得出
OD⊥DE，使本问得以解决。
⑴、本问有两种情况，一种情况是点O在AB上沿点A移动（见图②）；
另一种情况是点O在AB上沿点B移动（见图③）；上述结论仍然成立，
其证明思路和前面的一样。
⑵、本问的切入点是，一般通常考虑化归在直角三角形中来
转换，很容易联想到通过切线得到垂直关系，从而构建直角三角形；若⊙O
与AC相切于F（见图④），连结OF后可以把放在Rt△OFA来考
虑，在Rt△OFA中,设则，利用勾股定理
得出通过;再利用从而使问题得以解决。

点评：本题证明切线的过程中，当把“连半径，证垂直，得切线 ”切入点后，圆的基本性质中的“同圆或等圆的半径相等”构建的等腰三角形起了关键的桥梁作用，这是在圆为基架的题解答过程中常用的；本题的⑵问当把构建含∠A的直角三角形作为切入后，很容易联想到通过切线的性质、圆周角定理的推论、垂径定理来构建直角三角形，由于⑵问是求圆心O在AB上什么位置时，⊙O与AC相切？所以利用切线的性质构建直角三角形会水到渠成，当然也可以通过转换角的办法解决问题（课外测评二46题就是这样比较典型的题）；本题另一值得总结的是方程思想与圆有关的直角三角形的勾股定理把证明问题转化为方程计算问题，是圆为基架的综合题中常用的思想方法.

1、 如图，已知⊙O的直径垂直于弦CD于E，连结AD、BD、
OC、OD,且OD=5.
⑴、若，求CD的长？
⑵、若∠ADO: ∠EDO=4：1.求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）。
2、已知，如图直线与轴、轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、B两点.
⑴、求以OA、OB两线段为根的一元二次方程；

⑵、C是⊙M上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO，
写出经过0、C、A三点的二次函数解析式；

⑶、若延长BC到E,使DE2，连结EA，试判断直线EA与⊙M的
位置关系，并说明理由。

1、弦AB⊥直径CD于F，EA＝EC.
⑴、求证：
⑵、延长EC到P，使PB＝PE,试判断PB与⊙O的位置关
系，并说明理由.

2、△ABC分别切⊙O于点E、F、G，∠C=90°，AO的延长
线交BC于D，若AC=4，CD=2，
求：⑴、求⊙O的半径；
⑵、AB、BC的长？
3、如图，⊙O的直径AB=12cm,AM、BN是⊙O的切线，DC切⊙O
于E，交AM于D，交BN于C,设BN于C，设AD=x,BC=y.
⑴、求y与x的函数关系式；
⑵、若x、y是方程的两
个实数根，求x、y的值；

⑶、求△COD的面积。

4、已知⊙O1 与 ⊙O2相交于A、B两点，且⊙O2在⊙O1上。（ⅰ）如图一，AD是⊙O2的直径，连结DB并延长交⊙O1于C，求证：CO2⊥AD; （ⅱ）、AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交于⊙O1D点C,这时CO2所在直线是否仍与AD垂直？请证明你的结论。
图二
图一

5、如图，△ABC是圆内接正三角形，P为劣弧上一点，
已知.
（ⅰ）、求证：PB+PC＝PA;
（ⅱ）、求PB、PC的长？（PB