《每日一题》高一数学•人教A版•必修4第2章（1）.docx

5月1日 向量的有关概念
高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆

下列说法正确的是
①向量AB→与CD→是平行向量，则A、B、C、D四点一定不在同一直线上；
②向量a与b平行，且|a|=|b|≠0，则a+b=0或a−b=0；
③向量AB→的长度与向量BA→的长度相等；
④单位向量都相等.
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【参考答案】D
【试题解析】对于①，向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线可以是重合的，故①错；
对于②，∵|a|=|b|≠0，∴ab都是非零向量，∵a∥b，∴a与b的方向相同或相反，则a+b=0或a−b=0；
对于③，向量与向量方向相反，但长度相等；
对于④，单位向量不仅仅长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等而且方向相同.故选D.
【解题必备】与向量概念有关的题目，求解时注意向量的方向和长度，即共线向量的方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的方向相同且长度相等；单位向量的方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线.

1．下列说法中错误的是
A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度为0
C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的
2．两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同的路程,设两列火车的位移向量分别为a和b,则下列说法中错误的是
A．a与b为平行向量 B．a与b为模相等的向量
C．a与b为共线向量 D．a与b为相等的向量

1．A 【解析】本题主要考查零向量的概念，零向量的方向是任意的，故A错误，D正确；易知选项B,C正确.
2．D 【解析】由题意知,a与b方向相反,长度相等,所以a∥b且|a|=|b|,故A,B,C正确.对于D,由a和b方向不同可知错误.

5月2日 向量的表示
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆

飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1400 km到达B地,再从B地按南偏东75°的方向飞行1400 km到达C地,那么C地在A地什么方向上?C地距A地多远?
【参考答案】C地在A地北偏东45°方向上,距离A地1400 km.
【试题解析】如图所示,AB表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移,
则|AB|=1400(km).

BC表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移,则|BC|=1400(km).
所以AC为飞机从A地到C地的位移.
在中,AB=BC=1400(km),且∠ABC=75°-15°=60°,故为等边三角形,所以∠BAC=60°,AC=
1400(km).
所以C地在A地北偏东60°-15°=45°方向上,距离A地1400 km.
【解题必备】1.用有向线段表示向量时,先确定起点和方向,再根据向量模的大小确定向量的终点.有时需要依据直角三角形的知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模).
2.物理中，位移表示物体位置的变化，即表示起点和终点间的位置关系，而与物体实际运动的路线没有关系，可以用数学中的向量表示.

1．如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且AC＝5，画出所有的向量AC.

2．一辆货车从A地出发向西行驶200 km到达B地,然后又从B地向北偏西40°行驶400 km到达C 地,最后从C地向东行驶200 km到达D地.
（1）作出向量AB,BC,CD;
（2）求AD.

1．【解析】画出所有的向量AC，如图所示.

2．【解析】（1）向量AB,BC,CD如图所示.

（2）由题意知AB与CD方向相反,故AB与CD共线.
又|AB|=|CD|,∴在四边形ABCD中,AB∥CD,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∴|AD|=|BC|=400 km,且AD∥BC,∴AD与BC同向,则AD的方向也为北偏西40°.
即AD北偏西40°,400 km”.

5月3日 相等向量或共线向量
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆

如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中:

（1）写出与AO相等的向量;
（2）写出与AO共线的向量;
（3）写出与AO的模相等的向量;
（4）向量AO与CO是否相等?
【参考答案】见试题解析.
【试题解析】（1）AO=BF.
（2）与AO共线的向量为BF,CO,DE.
（3）与AO的模相等的向量为CO,DO,BO,BF,CF,AE,DE.
（4）向量AO与CO不相等.因为它们的方向不相同.
【解题必备】1.寻找共线向量：找出与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,即可得到同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量.
2.寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向且共线的.

1．设O是的外心,则AO,BO,CO是
A．相等向量 B．模相等的向量
C．平行向量 D．起点相同的向量
2．如图,四边形ABCD与ABDE是平行四边形.

（1）找出与向量AB共线的向量(自身除外);
（2）找出与向量AB相等的向量(自身除外).

1．B 【解析】∵三角形的外心是三角形外接圆的圆心,∴点O到三个顶点A,B,C的距离相等,∴AO,BO,CO是模相等的向量.
2．【解析】（1）依据图形可知DC,ED,EC与AB的方向相同,BA,CD,DE,CE与AB的方向相反,所以与向量AB共线的向量(自身除外)为BA,CD,DC,ED,DE,EC,CE.
（2）由四边形ABCD与ABDE是平行四边形,知DC,ED与AB的长度相等且方向相同,所以与向量AB相等的向量(自身除外)为DC和ED.

5月4日 向量的加减法运算及几何意义（1）
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆

如图,用a,b,c表示下列向量：

（1）e-g;
（2）f-d;
（3）d-g.
【参考答案】（1）-b-c；（2）a+b；（3）-a-b-c.
【试题解析】（1）e-g=BD=-DB=-(b+c)=-b-c.
（2）f-d=EC=a+b.
（3）d-g=BE=-EB=-(a+b+c)=-a-b-c.
【解题必备】1.需熟练掌握向量加、减法的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识.
2.在解决用已知向量表示其他向量的问题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用.当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法.

1．可以写成：①；②；③；④.其中正确的是
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
2．化简:（1）AB+DF+CD+BC+FA;
（2）BC+AB;
（3）DB+CD+BC.

1．D 【解析】根据平面向量的加法与减法运算法则，可知，同时，故选D.
2．【解析】（1）AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0.
（2BC+AB=AB+BC=AC.
（3）DB+CD+BC=BC+CD+DB=BD+DB=0.

5月5日 向量的加减法运算及几何意义（2）
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆

某人在静水中游泳,速度为43千米/小时,现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳.
（1）若他以垂直于岸边的速度游向河对岸,则他实际沿什么方向前进?实际前进的速度大小为多少?
（2）他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?
【参考答案】（1）沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8千米/小时；（2）沿向量AD的方向(逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为33)游,实际前进的速度大小为42 千米/小时.
【试题解析】（1）如图（1）,设此人游泳的速度为OB,水流的速度为OA,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则此人的实际速度为OA+OB=OC.
由勾股定理知|OC|=8,且在中,∠COA=60°,
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8千米/小时.

（2）如图（2）,设此人的实际速度为OD,水流速度为OA,则游速为AD=OD-OA.
在中,|AD|=43,|OA|=4,则|OD|=42,cos∠DAO=.
故此人沿向量AD的方向（逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为）游,实际前进的速度大小为42 千米/小时.
【解题必备】向量的实际问题的本质是用向量的加法解决物理问题，注意向量表示相应问题中既有大小又有方向的量.另外，对于平面几何中的向量问题，既可以是以平面几何为背景的向量计算或证明问题，也可以是利用向量运算证明平面几何问题.求解时，只需掌握向量加减法的几何意义,对相关向量进行合理转化.

1．已知向量a,b满足|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.
2．已知任意四边形ABCD,E为AD的中点,F为BC的中点,求证:EF+EF=AB+DC.

1．【解析】如图,作AB=a,AD=b,作平行四边形ABCD,

∴AC=a+b,DB=a-b.
∵|a+b|=|a-b|,∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形.
∴|a-b|=|DB|=62+82=10.
2．【解析】如图所示,在四边形CDEF中,EF+FC+CD+DE=0,所以EF=-FC-CD-DE=CF+DC+ED.
在四边形ABFE中,EF+FB+BA+AE=0.
所以EF=BF+AB+EA.所以EF+EF=CF+DC+ED+BF+AB+EA=(CF+BF)+(ED+EA)+(AB+DC).
因为E、F分别是AD、BC的中点,所以ED+EA=0,CF+BF=0.所以EF+EF=AB+DC.

5月6日 向量数乘运算及其几何意义
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆

如图,在中,在AC上取点N,使得AN=13AC,在AB上取点M,使得AM=13AB,在BN的延长线上取点P,使得NP=12BN,延长PA,与CM的延长线交于点Q,若AP=QA,MQ=λCM,试确定λ的值.

【参考答案】12.
【试题解析】AP=NP-NA=12(BN+NC)=12BC,QA=MA-MQ=12BM+λMC,
∵AP=QA,∴12BM+λMC=12BC,
即λMC=12(BC-BM)=12MC.
∴λ=12.
【解题必备】1.对于含有参数的向量的线性运算问题,只需把参数当作已知条件,列出向量方程,根据向量的运算化简方程为已知形式，对比系数就可以求出参数的值.
2.证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线.注意向量共线定理的应用.

1．如图,已知中,D为BC的中点,E,F为BC的三等分点,若AB=a,AC=b,用a,b表示AD,AE,AF.

2．设两个非零向量a与b不共线,若向量AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线.

1．【解析】AD=12(AB+AC)=12a+12b.
AE=AB+BE=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=a+13(b-a)=23a+13b.
AF=AB+BF=AB+23BC=a+23(b-a)=13a+23b.
2．【解析】∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),
∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB,∴AB,BD共线.
又AB,BD有公共点B,∴A,B,D三点共线.

5月7日 周日培优特训
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆

1．若OP1=a,OP2=b,P1P=λPP2(λ≠-1),则OP等于
A．a+λb B．λa+(1-λ)b
C．λa+b D．a+b
2．点P是所在平面内任一点,,则点G的轨迹一定通过的
A．重心 B．内心
C．垂心 D．外心
3．如图,在平行四边形ABCD中,E和F分别在边CD和BC上,且DC=3DE,BC=3BF,若AC=mAE+nAF,其中m,n∈R,则m+n=          .

4．计算：
（1）6(3a-2b)+9(-2a+b);
（2）(3a+2b-a-b)-[a+(b+a)];
（3）6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).
5．如图,M,N是平行四边形ABCD的边AD,CD的中点,E,F是对角线AC的三等分点,求证:B,E,M三点共线,且B,F,N三点共线.

1．D 【解析】∵P1P=λPP2,∴OP-OP1=λ(OP2-OP),∴(1+λ)OP=OP1+λOP2,∴OP=11+λOP1+λ1+λOP2=11+λa+λ1+λb.
2．A 【解析】取AB的中点D，则PA+PB=2PD，因为PG=13(PA+PB+PC)，所以3PG=2PD+PC，即2PD-PG=PG-PC，故2GD=CG，同理：取BC的中点E,可得2GE=AG,∴G为的重心，故选A.
3．32 【解析】因为AC=mAE+nAF=mAD+13DC+nAB+13BC=13m+nAB+13n+mAD，又AC=AB+AD，所以13m+n=113n+m=1，解得m+n=32.故填32.
4．【解析】（1）6(3a-2b)+9(-2a+b)=18a-12b-18a+9b=-3b.
（2）12(3a+2b-23a-b)-76[12a+37(b+76a)]=76a+12b-76a-12b=0.
（3）6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c)=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=6a+2b.
5．【解析】设AB=a,AD=b,则AM=12b,AE=13AC=13(a+b),
∴BE=AE-AB=13(a+b)-a=13(b-2a),BM=AM-AB=12b-a=12(b-2a).
由BM=32BE,得B,E,M三点共线,
同理可得BN=32BF,所以B,F,N三点共线.