数学组刘战献以高考题赏析为背景来例谈学生应用意识的培养.doc

以高考试题为背景下浅谈学生的数学学科素养——应用意识的培养
数学组 刘战献
摘要：数学应用意识是能综合应用所学数学知识、思想和方法解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明。应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，并加以解决。
关键字：应用意识 数学素养

在2017年《考试大纲》中规定，数学学科考试着重考查学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。因此，应用意识是考查的内容之一，所以我们在高三复习过程应注重该能力的培养。
数学应用意识是能综合应用所学数学知识、思想和方法解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明。应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，并加以解决。
一、 试题
例1.【2016高考新课标III理数】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位亿吨）的折线图

（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（II）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：参考数据：，，，
≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
．
例2.【2016高考新课标I卷】某高科技企业生产产品和产品，需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品需要甲材料kg,乙材料kg,用个工时；生产一件产品需要甲材料kg,乙材料kg,用个工时．生产一件产品的利润为元,生产一件产品的利润为元．该企业现有甲材料kg,乙材料kg,则在不超过个工时的条件下,生产产品、产品的利润之和的最大值为 元．
例3.【2009高考新课标理科】为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算间的距离的步骤。

例4 【2012高考新课标理】某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式。
（2 花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。

例5 【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）
(A)14斛 (B)22斛
(C)36斛 (D)66斛
二、试题的分析
例1以现实社会中普遍关注的垃圾无害处理问题为背景，精心设计了一个处理变量间相互关系、建立回归模型的问题。试题中的第（I）问设计为对折线图直观反映的变量关系进行定量分析，考查学生对相关关系及其统计意义的理解与应用；第（II）问设计为根据折线图与所给数据建立回归方程，并根据回归方程进行预测，考查学生对实际问题进行统计建模的能力与计算能力、应用能力。
例2的背景是企业的生产安排问题。企业的利润受到材料数量和工时的限制，所以本题的本质是带有约束条件的线性规划问题。本题考查学生对实际问题的理解和应用数学手段解决实际问题的能力和数形结合的思想。
例3以“不可到达两点”的距离测量为背景，通过创设情境和问题设计，力图为学生提供一个主动探究的学习环境，引导学生自觉地置身于现实生活中，在解决问题的操作、设计、求证的过程中展示其知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观。试题在设计中合理把握了问题所涉及的知识和方法的深度与广度，有效地考查学生的应用实践能力。
例4以商店如何进货来获取利润为背景，精心设计了以利用函数关系来处理利润和需求量的关系、建立分段函数模型与统计模型的问题。试题中第（1）问设计为对题意的理解来建立利润和需求量之间的函数关系，考查学生对函数模型的理解与应用；第（2）问设计为在第（1）问的基础上，通过所给数据建立概率及其分布列模型，为决策提供依据和可能，考查了学生对统计、概率模型的理解与应用。
例5以《九章算术》中的问题为背景，源于第五章“商功”，源于生活、生产中谷物储存的问题，结合立体几何中的基础知识进行设问，可以让学生感受到我国古代数学的优秀传统——数学要关注生产、生活等社会问题。此题，其一传承了中国文化，其二，考查了学生的应用意识与模型思想。试题强化了数学文化的传承和数学应用意识的培养，有利于学生进一步理解数学的价值，有利于学生进一步理解数学知识在实际中的应用，有利于学生未来的数学发展。
三、教学启示
（一）夯实基础，熟悉相关的数学模型
通过上述的分析，我们会发现虽然在考查学生的应用意识，但是与此同时也考查了学生的基础知识以及相关的能力。由此在我们今后的教学和备考中，分析高考试题中以何种方式来考查，又是怎么样来考查学生的应用意识，同时还要以书本上的典型例题和练习来训练学生的相应的应用意识。同时，还要求学生熟悉识记函数模型；概率及其分布列模型；数列模型等。
（二） 注重学生的数学素养的培养
数学的应用意识是数学素养之一。让学生获取数学素养的实践方式便是应用数学知识和方法解决实际问题，而数学的应用意识的提升对数学素养的提升起一定作用的，因此二者相辅相成的。在我们日常的教学中，不仅让学生获取基本知识和方法，更应注重培养学生用数学的能力与眼光去看待实际问题。这样不但利于学生提高自己的应用意识，还可以培养学生的学习兴趣。
（三） 利用反思来提升学生的应用意识
学生对数学概念和知识的应用，更多是来自学生在平时的做题中逐渐积累的，但是大多数学生都不会对自己做过的题目和题型进行归纳和反思，所以导致部分学生厌恶学习数学。因此，在教学中，我们要教会学生去总结和反思，这样他们才能或得更好的进步与理想的成绩。笔者在教学中就发现很多学生出现一个问题：今天所做题目是错的或者不会，明天他遇见了还是一样不会，停滞不前。于是，笔者就找学生进行交谈，在交谈中发现很多学生没有去反思和总结，甚至有的学生还不知道什么是反思呢。经过这一次谈话之后，笔者在教学中，慢慢培养学生的反思和总结的学习习惯，逐渐地学生就习惯了。经过一段时间，学生的成绩确实有所提高。于是，学生学习数学的兴趣有所提高，在逐步让学生利用所学的数学知识和方法去看待一些较为贴切的实际问题。
在高考中以实际的生活背景，创设情境来命题，考查学生的应用能力的题目还是比较多的，在这里笔者选择较为典型的来做分析，希望对我们以后的教学和备考起到借鉴的作用。

[参考文献]
《考试大纲》，2017，高等教育出版社