江苏省南通市崇川区九年级（上）期末数学试卷.doc

江苏省南通市崇川区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上
1．（3分）如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1： D．：1
2．（3分）抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3
3．（3分）已知反比例函数的图象经过点（m，3m），则此反比例函数的图象在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
4．（3分）一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为（　　）

A．40° B．45° C．60° D．70°
6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（　　）

A．10π B． C．π D．π
8．（3分）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y＝﹣n2+15n﹣36，那么该企业一年中应停产的月份是（　　）
A．1月，2月 B．1月，2月，3月
C．3月，12月 D．1月，2月，3月，12月
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）

A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
10．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（　　）

A．2 B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，第11-13每小题3分，第14-18每小题3分，共29分不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为　 　．
12．（3分）△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是　 　．
13．（3分）某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB＝10米，则该圆锥的侧面积是　 　平方米（结果保留π）．

14．（4分）如图，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C的纵坐标为﹣1，点D在反比例函数y＝的图象上，CD平行于y轴，S△OCD＝，则k的值为　 　．

15．（4分）“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是　 　．
16．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC，若sinC＝，BC＝12，则AD的长　 　．

17．（4分）如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于　 　（结果保留根号）．

18．（4分）已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD＝，∠BPD＝90°，则点A到BP的距离等于　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共91分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出解题过程或演算步骤
19．（12分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOC的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（直接写出答案）

20．（10分）甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．
（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是　 　．
（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．
21．（12分）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．

（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；
（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．
22．（10分）已知⊙O是△ABC的外接圆．请根据下列条件，仅用无刻度的直尺，分别在图（1）和图（2）中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）．

（1）如图（1），AC＝BC；
（2）如图（2），直线l与⊙O相切于点D，l∥AB．
23．（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）

24．（13分）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：＝；
（2）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：MN2＝DM•EN．

25．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．

26．（14分）定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM•ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的“相关角”．

（1）如图1，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°．求证：∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）如图2，已知∠AOB＝α（0°＜α＜90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相关角”，连结MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积；
（3）如图3，C是函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，请直接写出OP的长及相应点P的坐标．

江苏省南通市崇川区九年级（上）期末数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上
1．B； 2．D； 3．B； 4．B； 5．A； 6．A； 7．C； 8．D； 9．C； 10．D；
二、填空题（本大题共8小题，第11-13每小题3分，第14-18每小题3分，共29分不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．8； 12．120°； 13．60π； 14．3； 15．0.4； 16．8； 17．； 18．或；
三、解答题（本大题共8小题，共91分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出解题过程或演算步骤
19【解答】解：（1）∵B（1，4）在反比例函数y＝上，
∴m＝4，
又∵A（n，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝﹣2，
又∵A（﹣2，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的上的点，联立方程组解得，
k＝2，b＝2，
∴，y＝2x+2；

（2）过点A作AD⊥CD，
∵一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点为A，B，联立方程组解得，
A（﹣2，﹣2），B（1，4），C（0，2），
∴AD＝2，CO＝2，
∴△AOC的面积为：S＝AD•CO＝×2×2＝2；

（3）由图象知：当0＜x＜1和﹣2＜x＜0时函数y＝的图象在一次函数y＝kx+b图象的上方，
∴不等式kx+b﹣＜0的解集为：0＜x＜1或x＜﹣2．

20【解答】解：（1）根据题意画图如下：

共有4种情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种，
则所选的2名教师性别相同的概率是＝；
故答案为：；

（2）将甲、乙两校报名的教师分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男教师，2表示女教师），树状图如图所示：

所以P（两名教师来自同一所学校）＝＝．
21【解答】解：（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，
∴∠AEB＝∠ABE，
又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，
∴∠EDA＝∠DEF，
又∵DE＝ED，
∴△AED≌△FDE（SAS），
∴DF＝AE，
又∵AE＝AB＝CD，
∴CD＝DF；

（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，

∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝AD＝AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，

∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．
22【解答】解：（1）如图，直线OC即为所求．
（2）如图，直线EC即为所求．

23【解答】解：由题意得：AD⊥CE，
过点B作BF⊥CE，BG⊥EA，
∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，
∵CF⊥FB，即三角形CFB为直角三角形，
∴sin30°＝＝，
∴CF＝15cm，
在直角三角形ABG中，sin60°＝，
∴＝，
解得：BG＝20，
又∠ADC＝∠BFD＝∠BGD＝90°，
∴四边形BFDG为矩形，
∴FD＝BG，
∴CE＝CF+FD+DE＝CF+BG+ED＝15+20+2≈51.6（cm）．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．

24【解答】（1）证明：在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴＝，
同理在△ACQ和△APE中，
＝，
∴＝．

（2）①作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高AQ＝，
∵DE＝DG＝GF＝EF＝BG＝CF
∴DE：BC＝1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB＝1：3，
∴AD＝，DE＝，
∵DE边上的高为，MN：GF＝：，
∴MN：＝：，
∴MN＝．
故答案为：．

②证明：∵∠B+∠C＝90°∠CEF+∠C＝90°，
∴∠B＝∠CEF，
又∵∠BGD＝∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴＝，
∴DG•EF＝CF•BG，
又∵DG＝GF＝EF，
∴GF2＝CF•BG，
由（1）得＝＝，
∴×＝•，
∴（）2＝•，
∵GF2＝CF•BG，
∴MN2＝DM•EN．
25【解答】解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣1，
∵抛物线经过点A（0，3），
∴3＝a（0﹣4）2﹣1，
a＝；
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x+3；

（2）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，（x﹣4）2﹣1＝0时，x1＝2，x2＝6．

A（0，3），B（2，0），C（6，0），
对称轴x＝4，
∴OB＝2，AB＝，BC＝4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBC＝90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴，即＝，解得CE＝，
∵＞2，
故抛物线的对称轴l与⊙C相交．
26【解答】（1）证明：∵∠AOB＝60°，P为∠AOB的平分线上一点，
∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝30°，
∵∠MOP+∠OMP+∠MPO＝180°，
∴∠OMP+∠MPO＝150°，
∵∠MPN＝150°，
∴∠MPO+∠OPN＝150°，
∴∠OMP＝∠OPN，
∴△MOP∽△PON，
∴，
∴OP2＝OM•ON，
∴∠MPN是∠AOB的“相关角”；

（2）解：∵∠MPN是∠AOB的“相关角”，
∴OM•ON＝OP2，
∴，
∵P为∠AOB的平分线上一点，
∴∠MOP＝∠NOP＝α，
∴△MOP∽△PON，
∴∠OMP＝∠OPN，
∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣α，
即∠MPN＝180°﹣α；
过点M作MH⊥OB于H，如图2，
则S△MON＝ON•MH＝ON•OMsinα＝OP2•sinα，
∵OP＝3，
∴S△MON＝sinα；

（3）设点C（a，b），则ab＝4，
过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；
Ⅰ、当点A在x轴的负半轴上，如图3所示：
BC＝3CA不可能，
Ⅱ、当点A在x轴的正半轴上时，如图4所示：
∵BC＝3CA，
∴＝，
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴＝，
∴
∴OB＝4b，OA＝a，
∴OA•OB＝a•4b＝ab＝，
∵∠APB是∠AOB的“相关角”，
∴OP2＝OA•OB，
∴OP＝＝＝，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB
∴点P的坐标为：（，）；
②当点B在y轴的负半轴上时，如图5所示：
∵BC＝3CA，
∴AB＝2CA，
∴＝，
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴＝，
∴＝
∴OB＝2b，OA＝a，
∴OA•OB＝a•2b＝ab＝，
∵∠APB是∠AOB的“相关角”，
∴OP2＝OA•OB，
∴OP＝＝＝，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（，﹣）；
综上所述：点P的坐标为：（，）或（，﹣）．

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日期：2020/11/30 8:21:39；用户：钱以；邮箱：dsjs000225635.21030286；学号：26615016