全国理数第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词.docx

第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
普查讲3　　　　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．简单的逻辑联结词
a．含逻辑联结词的命题的真假判断
(1)(2017山东，5分)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是(　B　)
A．p∧q　 　　B．p∧¬q　 　　C．¬p∧q　 　　D．¬p∧¬q
解析：当x＞0时，x＋1＞1，ln(x＋1)＞0，∴命题p是真命题，命题¬p是假命题；当a＝－1，b＝－2时，满足a＞b，但a2＜b2，∴命题q是假命题，命题¬q是真命题，∴p∧¬q是真命题．故选B.

(2)(2019改编，5分)已知命题p：∃x∈R，使sinx－cosx＝－，命题q：集合{x|x2－2x＋1＝0，x∈R}有2个子集．下列结论：①命题“p∨q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p∨¬q”是真命题，正确的个数是(　D　)
A．0　　　　　　B．1　　　　　　C．2　　　　　　D．3
解析：∵sinx－cosx＝＝sin(x－)∈[－，]，∴命题p为假命题，命题¬p为真命题；∵集合{x|x2－2x＋1＝0，x∈R}＝{1}，∴其子集的个数为2，∴命题q为真命题，命题¬q为假命题，据此有①命题“p∨q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p∨¬q”是真命题．故选D.

b．根据复合命题的真假求参数或其范围
(3)(2018江西东湖校级期末改编，5分)设命题 p：函数f(x)＝lg的定义域为R；命题q：3x－9x0对于一切x∈R恒成立．
当a＝0时，不等式变为－x>0，解得x<0，不符合题意．
当a≠0时，由不等式ax2－x＋>0对于一切x∈R恒成立，得即解得a>2，
所以p为真命题时，a>2.
设g(x)＝3x－9x，令3x＝t，则y＝t－t2，t≥.
因为y＝t－t2＝－2＋，t≥，
所以当t＝时函数取得最大值，所以g(x)≤.
因为a>3x－9x 对x∈[－1，＋∞)恒成立，所以a＞.
所以q为真命题时，a＞.
因为“ p∧q”为假命题，
所以p真q假或p假q真或p假q假．
当p真q假时，a∈∅；
当p假q真时，a∈；
当p假q假时，a∈.
综上，a的取值范围为(－∞，2]．

(4)(2018四川遂宁期末，5分)设命题p：函数f(x)＝x2－ax 在[0，＋∞)上单调递增； 命题q：方程x2＋ay2＝2表示焦点在y轴上的椭圆．命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为__{a|a<1}__．
解析：因为二次函数f(x)＝x2－ax的图像开口向上，且对称轴为x＝，所以要使命题p为真，则x＝≤0，解得a≤0.
故命题p为真命题时，a≤0.
方程x2＋ay2＝2 化为椭圆方程的标准形式为＋＝1.
因为该方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以>2，
解得05分)已知命题p：∃c>0，方程x2－x＋c＝0有解，则¬p为(　C　)
A．∃c>0，方程x2－x＋c＝0无解 B．∀c≤0，方程x2－x＋c＝0无解
C．∀c>0，方程x2－x＋c＝0无解 D．∃c≤0，方程x2－x＋c＝0有解
解析：因为特称命题的否定是全称命题，且命题的否定只否定结论，所以命题p“∃c>0，方程x2－x＋c＝0有解”的否定是将存在量词改为全称量词，并对结论进行否定，即“ ∀c>0，方程x2－x＋c＝0无解”．故本题正确答案为C.

(6)(2015浙江，5分)命题“∀n∈N*, f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　D　)
A．∀n∈N*, f(n)∉N*且f(n)>n B．∀n∈N*, f(n)∉N*或f(n)>n
C．∃n0∈N*, f(n0)∉N*且f(n0)>n0 D．∃n0∈N*, f(n0)∉N*或f(n0)>n0
解析：命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”为全称命题，其否定为特称命题：∃n0∈N*, f(n0)∉N*或f(n0)>n0.故选D.

(2019改编，5分)命题“∀n∈N, f(n)∉N或f(n)≤n”的否定形式是(　D　)
A．∀n∈N, f(n)∈N且f(n)>n
B．∃n0∈N, f(n0)∈N或f(n0)>n0
C．∀n∈N, f(n)∈N或f(n)>n
D．∃n0∈N, f(n0)∈N且f(n0)>n0
解析：命题“∀n∈N, f(n)∉N或f(n)≤n”为全称命题，其否定为特称命题：∃n0∈N, f(n0)∈N且f(n0)>n0.故选D.

(7)(2016浙江，5分)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　D　)
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n
(8)(经典题，5分)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是(　C　)
A．∀x∈R, f(－x)≠f(x)
B．∀x∈R, f(－x)≠－f(x)
C．∃x0∈R, f(－x0)≠f(x0)
D．∃x0∈R, f(－x0)≠－f(x0)
解析：选项A错误：若f(x)＝则有f(－1)＝f(1)，
∴全称命题“∀x∈R, f(－x)≠f(x)”为假命题；
选项B错误：若f(x)＝则有f(－1)＝－f(1)，
∴全称命题“∀x∈R, f(－x)≠－f(x)”为假命题；
选项C正确：特称命题“∃x0∈R, f(－x0)≠f(x0)”的否定为全称命题∀x∈R, f(－x)＝f(x)”，
此时f(x)为偶函数，与已知矛盾，∴全称命题为假命题，∴特称命题为真命题；
选项D错误：特称命题“∃x0∈R, f(－x0)≠－f(x0)”的否定为全称命题“∀x∈R，f(－x)＝－f(x)”，当函数f(x)是定义在R上的非奇非偶函数时，全称命题为假命题，此时特称命题为真命题；当函数f(x)是定义在R上的奇函数时，全称命题为真命题，此时特称命题为假命题．

c．根据全(特)称命题或其复合命题的真假求参数或其范围
(9)(2018辽宁鞍山一中一模改编，12分)已知命题p：∃x∈[1，2]，满足(a－1)x－1>0，命题q：∀x∈R，x2＋ax＋1>0.
(Ⅰ)若命题p为假命题，求参数a的范围；
答案：
解：因为命题p为假命题，所以¬p为真命题．
¬p：∀x∈，满足(a－1)x－1≤0，
令f(x)＝(a－1)x－1，
因为∀x∈[1，2]，(a－1)x－1≤0，
所以解得所以a≤，
即a的取值范围为.(4分)

(Ⅱ)若命题p∧q是真命题，求a的范围；
答案：
解：因为p∧q为真，所以q真，p真．
若命题q为真命题，则Δ＝a2－4<0，解得－2，
所以当q真，p真时，围．
答案：(－∞，－2]∪
解：因为¬p∧q为假，¬p∨q为真，
所以q，¬p一真一假，即q，p同真或同假．
当q，p同真时，0，
则f′(x)＝1－cosx≥0恒成立且在(0，＋∞)的任意子区间上不恒为0，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)>f(0)＝0，即x>sinx，所以命题p为真命题．
画出函数y＝x，y＝logx的图像如图所示，

由图像知两函数图像在区间(0，1)上有一个交点，所以命题q为真命题．所以p∧q为真命题．故选B.

2．(经典题，5分)已知命题p：存在向量a，b，使得a·b＝|a|·|b|，命题q：对任意的向量a，b，c，若a·b＝a·c，则b＝c，则下列判断正确的是(　D　)
A．命题p∨q是假命题
B．命题p∧q是真命题
C．命题p∨(¬q)是假命题
D．命题p∧(¬q)是真命题
解析：对于命题p，当向量a，b方向相同时，cos〈a，b〉＝1，∴a·b＝|a|·|b|，∴命题p为真命题，命题¬p为假命题；对于命题q，当向量a为零向量时，满足a·b＝a·c，但不一定有b＝c，∴命题q为假命题，命题¬q为真命题，∴命题p∧(¬q)是真命题．故选D.

3．(2018北京师大附中10月月考，5分)设命题p：∀x>0，2x>log2x，则¬p为(　B　)
A．∀x>0，2x0，2x≤log2x
C．∃x>0，2x0，2x≥log2x
解析：因为全称命题的否定是特称命题，且命题的否定只否定结论，所以命题p“∀x>0，2x>log2x”的否定是将全称量词改为存在量词，并对结论进行否定，即“∃x>0，2x≤log2x”．故选B.

4．(2018陕西西安质检，5分)下列命题中，真命题的个数是(　B　)
①当a≥e时，∀x∈(0，＋∞)，ln(x＋a)>sinx；
②∃x0∈R，使得x＋x0＝－2；
③∃x0∈R，使得sin2＋cos2＝；
④∀x∈R，使得ex≥x＋1.
A．1　　　　　B．2 C．3 D．4
解析：①因为x>0，所以x＋a＞a，所以ln(x＋a)>lna.当a≥e时，lna≥lne＝1，所以ln(x＋a)>1.又因为－1≤sinx≤1，所以ln(x＋a)>sinx恒成立，该命题正确；
②因为x2＋x＋2＝2＋≥，所以方程x2＋x＝－2无解，该命题错误；
③因为∀x∈R，sin2＋cos2＝1恒成立，所以该命题错误；
④设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1.令f′(x)>0，即ex－1>0，解得x>0; 令f′(x)<0，即ex－1<0，解得x<0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，所以ex≥x＋1恒成立，该命题正确．所以真命题的个数为2，故选B.

5．(经典题，5分)已知p：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像与x轴有两个交点， q: ∀x∈R, 4x2＋4(m－2)x＋1>0恒成立．若p∨q为真，则实数m的取值范围为(　D　)
A．(2，3)　　　　　　　　　　　B．(－∞，1]∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪[3，＋∞) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：若函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像与x轴有两个交点，则Δ＝m2－4>0，解得m>2或m<－2.若∀x∈R, 4x2＋4(m－2)x＋1>0恒成立，则Δ＝16(m－2)2－16<0，解得1＜m＜3.
∵p∨q为真，∴p真q假或p假q真或p真q真．
∴或或
解得m＜－2或m>1，即实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．故选D.

6．(2018 湖北四地七校考试联盟期中改编，5分)已知命题p：方程(m＋4)x2＋(m－4)y2＝1表示双曲线，命题q：对∀k∈R，直线2kx－y＋1＝0与圆x2＋y2＝m2恒有公共点．若命题“p∧q”是假命题，命题“p∨q”是真命题，则实数m的取值范围是__(－∞，－4]∪(－1，1)∪[4，＋∞)__．
解析：方程(m＋4)x2＋(m－4)y2＝1表示双曲线，
则(m＋4)(m－4)<0，解得－4
因为命题“p∧q”是假命题，命题“p∨q”是真命题，
所以命题p和q一真一假．
当p真q假时，解得－10}，则∁RA＝(　B　)
A．{x|－12} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
解析：因为A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|x>2或x<－1}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.

2．(2018浙江，4分)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　A　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若m∥n，由m⊄α，n⊂α，可知m∥α，即“m∥n”是“m∥α”的充分条件．
若m∥α，当m⊄α，n⊂α时，m与n可能平行，也可能异面，即“m∥n”是“m∥α”的不必要条件．
故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件，故选A.

3．(2018百校联盟，5分)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，2a}，且A∪B中有三个元素，则满足条件的a的值有(　B　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：因为A∪B中有三个元素，所以集合A与B有一个相同的元素，另一个元素不同．当a＝1时，B＝{1，2}，则A∪B＝{1，2}，有两个元素，不满足题意；
当a＝2时，B＝{2，4}，则A∪B＝{1，2，4}，有三个元素，满足题意；
当2a＝1时，B＝，则A∪B＝，有三个元素，满足题意，
所以满足条件的a的值有2个，为2，，故选B.

4．(经典题，5分)已知集合M＝{x|x2－4x＜0}，N＝{x|m＜x＜5}，若M∩N＝{x|3＜x＜n}，则m＋n等于(　C　)
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：由x2－4x＜0得0＜x＜4，∴M＝{x|0＜x＜4}．又∵N＝{x|m＜x＜5}，M∩N＝{x|3＜x＜n}，∴m＝3，n＝4，∴m＋n＝7.

5．(经典题，5分)已知命题p：∀x∈R，sinx＋cosx≤，命题q：∃x0∈R， 2x0第二次联考，5分)下列有关命题的说法中错误的是(　D　)
A．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|>b|b|”的充要条件
B．若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个真命题
C．命题“若y＝f(x)是幂函数，则y＝f(x)的图像不经过第四象限”的否命题是假命题
D．命题“∃x0∈(0，＋∞)，使得x0＋<2”的否定形式是“∀x∈(－∞，0]，x＋≥2”
解析：A.设f(x)＝x|x|，则f(x)＝当x≥0时，函数f(x)为增函数；当x＜0时，函数f(x)为增函数．又因为f(x)是连续函数，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以当a＞b时， f(a)＞f(b)，即a|a|>bb|成立．所以“a＞b”是“a|a|>b|b|”的充要条件，故A正确．
B．若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个真命题，故B正确．
C．命题“若y＝f(x)是幂函数，则y＝f(x)的图像不经过第四象限”的逆命题是“若y＝f(x)的图像不经过第四象限，则y＝f(x)是幂函数”．函数f(x)＝2x的图像不经过第四象限，但函数f(x)是指数函数，故命题的逆命题是假命题，所以命题的否命题也是假命题，故C正确．
D．命题“∃x0∈(0，＋∞)，使得x0＋<2”为特称命题，命题的否定只否定原命题的结论，不否定条件，所以命题“∃x0∈(0，＋∞)，使得x0＋<2”的否定形式是“∀x∈(0，＋∞)，x＋≥2”，故D错误．故选D.

7．(经典题，5分)已知集合A＝，B＝{x|－1＜x＜m＋1}．若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是__(2，＋∞)__．
解析：易得A＝＝{x|－1＜x＜3}．∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB，∴m＋1＞3，解得m＞2，∴实数m的取值范围是(2，＋∞)．

8．(经典题，5分)设集合A＝，B＝，则下列图形能表示A与B关系的是(　A　)
A. B. C. D.
解析：(法一)∵集合A＝{x|x＝，n∈Z}＝{…，－，－2，－，－1，－，0，，1，，2，，…}，B＝{x|x＝n＋，n∈Z}＝{…，－，－，－，，，，…}，∴BA.故选A.
(法二)∵集合A＝，B＝＝{x|x＝，n∈Z}，∴集合A为分母为2，分子为整数的数的集合，集合B为分母为2，分子为奇数的数的集合，∴BA.故选A.

9．(经典题，5分)已知集合A＝{x|y＝}，A∩B＝∅，则集合B不可能是(　D　)
A．{x|4x<2x＋1} B．{(x，y)|y＝x－1}
C. D．{y|y＝log2(－x2＋2x＋1)}
解析：易得集合A＝{x|y＝}＝{x|x≥1}．对于选项A，{x|4x<2x＋1}＝{x|22x<2x＋1}＝{x|x<1}，满足A∩B＝∅；对于选项B，集合{(x，y)|y＝x－1}为点集，满足A∩B＝∅；对于选项C, ＝，满足A∩B＝∅；对于选项D，{y|y＝log2(－x2＋2x＋1)}＝{y|y＝log2[－(x－1)2＋2]}＝{y|y≤1}，∴A∩B＝{1}≠∅.故选D.

10．(2018北京朝阳二模，5分)已知函数f(x)＝则“a≤0”是“函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增”的(　A　)
A．充分而不必要条件　　　　　B．必要而不充分条件　　　　　C．充分必要条件　　　　　D．既不充分也不必要条件
解析：当a≤0时，函数f(x)在[0，＋∞)上的表达式为f(x)＝2x，该函数为增函数，所以充分性成立．
令2x＝x2，x∈[0，＋∞)，解得x＝2或4.
当0b成立的一个必要不充分条件为(　C　)
A.> B．a>b＋1 C．a>b－1 D．2a>2b
解析：对于选项A，当a＝－1，b＝－2时，满足a>b，得到|a|<|b|；当a＝－2，b＝1时，满足|a|>|b|，但a＜b，∴|a|>|b|是a>b的既不充分又不必要条件．对于选项B，当a＝－1，b＝－2时，满足a>b，得到a＝b＋1；当a>b＋1时，一定有a>b，∴a>b＋1是a>b的一个充分不必要条件．对于选项C，当a>b时，一定有a>b－1；当a＝2，b＝2.5时，满足a>b－1，但a＜b，∴a>b－1是a>b的一个必要不充分条件．对于选项D，根据指数函数的单调性可得2a>2b⇔a>b，∴2a>2b是a>b的充要条件．故选C.

12．(2018A10联盟，15分)设t∈R已知命题p：函数f(x)＝x2－2tx＋1有零点；命题q：∀x∈[1，＋∞)，－x≤4t2－1.
(1)当t＝1时，判断命题q的真假；
答案：命题q为真命题
解：当t＝1时，命题q：∀x∈[1，＋∞)，－x≤3.因为函数y＝，y＝－x在[1，＋∞)上均为减函数，所以函数y＝－x在[1，＋∞)上为减函数，所以－x≤－1＝0<3，所以当x∈[1，＋∞)，－x≤3恒成立，所以命题q为真命题．(5分)

(2)若p∨q为假命题，求t的取值范围；
答案：(－，)
解：若p∨q为假命题，则p，q都是假命题．(6分)
当p为假命题时，函数f(x)＝x2－2tx＋1没有零点，所以Δ＝(－2t)2－4<0，解得－1＝I，则下面论断正确的是(　C　)
A．∁IS1∩(S2∪S3)＝∅ B．S1⊆(∁IS2∩∁IS3) C．∁IS1∩∁IS2∩∁IS3＝∅ D．S1⊆(∁IS2∪∁IS3)
解析：∵S1∪S2∪S3＝I，∴∁I(S1∪S2∪S3)＝∅.∵∁IS1∩∁IS2＝∁I(S1∪S2)，∴∁IS1∩∁IS2∩∁IS3＝[∁I(S1∪S2)]∩∁IS3＝∁I(S1∪S2∪S3)＝∅.其他三个选项均不确定，故选C.

14．(经典题，5分)已知命题p：若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，则≤1的概率为，命题q：若函数f(x)＝x＋，x∈，则f(x)的最小值为4，则下列命题为真命题的是(　D　)
A．p∧q B．¬p C．(¬p)∧(¬q) D．p∧(¬q)
解析：满足动点M到定点A的距离|MA|≤1的平面区域如图阴影部分，∵正方形ABCD的面积为1，阴影部分的面积为，∴动点M到定点A的距离|MA|≤1的概率P＝，∴命题p为真命题．对于函数f(x)＝x＋，x∈[1，2)，则f ′(x)＝1－＝<0，∴f(x)在区间[1，2)上单调递减，∴f(x)在区间[1，2)上无最小值，∴命题q为假命题，∴p∧(¬q)是真命题．故选D.

15．(经典题，5分)已知命题p：∃x0∈R， ex0－mx0＝0，q：A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|x¬q)为假命题，则实数m的取值范围是(　C　)
A．(－∞，2)∪(e，＋∞) B．[0，e) C．(2，e) D．(2，＋∞)
解析：若p∨(¬q)为假命题，则p假q真．当x＝0时，ex－mx＝0显然不成立．当x≠0时，由ex－mx＝0得m＝.设f(x)＝，则f ′(x)＝＝.若x＞0，则当x＞1时， f ′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当0＜x＜1时， f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减，∴当x＝1时，函数f(x)＝取得极小值f(1)＝e，此时，函数f(x)的值域为[e，＋∞)．若x＜0，则 f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减，此时函数f(x)的值域为(－∞，0)．综上可知，函数f(x)＝的值域为(－∞，0)∪[e，＋∞)，∴若命题p是假命题，则0≤m＜e.若命题q为真命题，则由A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|x2.∴当p∨(¬q)为假命题时，m的取值范围是(2，e)．故选C.