难题突破专题九 二次函数为背景的动态问题.doc

难题突破专题九　二次函数为背景的动态问题
以函数为背景的动态问题是近年来中考的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来解．
类型1　动态下的面积最值问题

图Z9－1
1 如图Z9－1，抛物线y＝x2－x－9与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连结BC，AC.
(1)求AB和OC的长；
(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A，B不重合)，过点E作直线l平行于BC，交AC于点D.设AE的长为m，△CDE的面积为S，求S关于m的函数表达式，并写出△CDE面积的最大值．
例题分层分析
(1)已知抛物线的函数表达式，当x＝0时，可确定C点坐标；当y＝0时，可确定点A，B的坐标，进而确定AB，OC的长．
(2)①首先用m列出△AEC的面积表达式为__________；
②再根据直线l∥BC，可得出△AED与△ABC相似，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到△AED的面积表达式为__________；
③△AEC与△AED的面积差即为△CDE的面积，则△CDE的面积S＝________，根据二次函数的性质可得到S的最大值．

解题方法点析
解此类问题的关键在于通过三角形相似、三角形面积公式以及面积转化等方法求出所求图形的面积表达式，然后根据函数性质求最值．
类型2　二次函数与几何图形综合型动态问题
2 如图Z9－2所示，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(－2，0)，过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE.
(1)填空：点D的坐标为________，点E的坐标为________；
(2)若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A，D，E三点，求该抛物线的函数表达式；
(3)若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动．
①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为S，求S关于平移时间t(秒)的函数表达式，并写出相应自变量t的取值范围；
②运动停止时，求抛物线的顶点坐标．

图Z9－2
例题分层分析
(1)构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D，E的坐标．
(2)利用________法求出抛物线的函数表达式．
(3)①为求S的函数表达式，需要识别正方形(与抛物线)的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时秒，期间可以划分成三个阶段：当0＜t≤时，当________时，当________时，每个阶段的函数表达式不同，请对照图形认真思考；
②当运动停止时，点E到达________，点E(－3，2)运动到点E′，可知整条抛物线向右平移了_____个单位长度，向上平移了________个单位长度．由此得到平移之后的抛物线的函数表达式，进而求出其顶点坐标．

专 题 训 练
1．[2017·丽水] 如图Z9－3①，在△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2 cm/s的速度沿折线A－C－B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图②所示．
(1)求a的值；
(2)求图②中图象C2段的函数表达式；
(3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围．

图Z9－3

2．[2017·广安] 如图Z9－4，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴相交于点A(0，3)，与x轴正半轴相交于点B，对称轴是直线x＝1.
(1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
(2)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M，N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形？
②当t>0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

图Z9－4

3．[2017·金华] 如图Z9－5①，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，3 )，B(9，5 )，C(14，0)，动点P与Q同时从O点出发，运动时间为t秒，点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动，点Q沿折线OA—AB—BC运动，在OA，AB，BC上运动的速度分别为3，，(单位长度/秒)．当P，Q中的一点到达C点时，两点同时停止运动．
(1)求AB所在直线的函数表达式；
(2)如图②，当点Q在AB上运动时，求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值；
(3)在P，Q的运动过程中，若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点，求相应的t值．

图Z9－5

参考答案
类型1　动态下的面积最值问题
例1　【例题分层分析】(2)①S△ACE＝m　②S△ADE＝m2　③m－m2
解：(1)已知抛物线的函数表达式为y＝x2－x－9，
当x＝0时，y＝－9，则C(0，－9)；
当y＝0时，x2－x－9＝0，得x1＝－3，x2＝6，则A(－3，0)，B(6，0)，
∴AB＝9，OC＝9.
(2)∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴S△ADE＝m2.
∵S△ACE＝AE·OC＝m×9＝m，
∴S＝S△ACE－S△ADE＝m－m2，
∴当m＝时，S取得最大值，最大值为.
类型2　二次函数与几何图形综合型动态问题
例2　【例题分层分析】(2)待定系数　(3)①＜t≤1　1＜t≤　②y轴　3　
解：(1)由题意可知：OB＝2，OC＝1.
如图所示，过点D作DH⊥y轴于点H，过点E作EG⊥x轴于点G.

易证△CDH≌△BCO，
∴DH＝OC＝1，CH＝OB＝2，∴D(－1，3)．
同理△EBG≌△BCO，
∴BG＝OC＝1，EG＝OB＝2，∴E(－3，2)．
∴D(－1，3)，E(－3，2)．

(2)因为抛物线经过点A(0，2)，D(－1，3)，E(－3，2)，
所以解得
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－x＋2.
(3)①当点D运动到y轴上时，t＝.
当0＜t≤时，如图(a)所示．
设D′C′交y轴于点F，
∵tan∠BCO＝＝2，又∠BCO＝∠FCC′，
∴tan∠FCC′＝2，即＝2.
∵CC′＝t，
∴FC′＝2 t，
∴S△C C′F＝CC′·FC′＝×t×2 t＝5t2.
当点B运动到点C时，t＝1.
当＜t≤1时，如图(b)所示．
设D′E′交y轴于点G，过点G作GH⊥B′C′于点H.
在Rt△BOC中，BC＝＝，
∴GH＝，∴CH＝GH＝.
∵CC′＝t，∴HC′＝t－，
∴GD′＝t－，
∴S梯形C C′D′G＝(t－＋t)×＝5t－.
当点E运动到y轴上时，t＝.
当1＜t≤时，如图(c)所示．
设D′E′，E′B′分别交y轴于点M，N，
∵CC′＝t，B′C′＝，
∴CB′＝t－，
∴B′N＝2CB′＝2 t－2 .
∵B′E′＝，
∴E′N＝B′E′－B′N＝3 －2 t，
∴E′M＝E′N＝(3 －2 t)，
∴S△MNE′＝×(3 －2 t)·(3 －2 t)＝5t2－15t＋，
∴S五边形B′C′D′MN＝S正方形B′C′D′E′－S△MNE′＝()2－＝－5t2＋15t－.
综上所述，S关于t的函数关系式为：
当0＜t≤时，S＝5t2；
当＜t≤1时，S＝5t－；
当1＜t≤时，S＝－5t2＋15t－.

②当点E运动到点E′时，运动停止，如图(d)所示．
∵∠CB′E′＝∠BOC＝90°，∠BCO＝∠B′CE′，
∴△BOC∽△E′B′C，
∴＝.
∵OB＝2，B′E′＝BC＝，
∴＝，∴CE′＝，
∴OE′＝OC＋CE′＝1＋＝，
∴E′.
由点E(－3，2)运动到点E′，可知整条抛物线向右平移了3个单位长度，向上平移了个单位长度．
∵y＝－x2－x＋2＝－＋，
∴原抛物线的顶点坐标为，
∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为.
专题训练
1．解：(1)如图①，过点P作PD⊥AB于点D.

∵∠A＝30°，PA＝2x，
∴PD＝PA·sin30°＝2x·＝x，
∴y＝AQ·PD＝ax·x＝ax2.由图象得，当x＝1时，y＝，则a·12＝，∴a＝1.

(2)当点P在BC上时(如图②)，PB＝5×2－2x＝10－2x，∴PD＝PB·sin B＝(10－2x)·sin B．∴y＝AQ·PD＝x·(10－2x)·sin B．由图象得，当x＝4时，y＝，∴×4×(10－8)sinB＝，∴sinB＝，
∴y＝x·(10－2x)·＝－x2＋x.
(3)由C1，C2的函数表达式，得x2＝－x2＋x，解得x1＝0(舍去)，x2＝2.由图象得，当0≤x≤2时，函数y＝x2的最大值为y＝×22＝2.将y＝2代入函数y＝－x2＋x，得2＝－x2＋x，解得x1＝2，x2＝3，∴由图象得，x的取值范围是2＜x＜3.
2．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，∴c＝3.
∵对称轴是直线x＝1，∴－＝1，
解得b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝3，x2＝－1(不合题意，舍去)，
∴点B的坐标为(3，0)．
(2)①由题意得ON＝3t，OM＝2t，则点P(2t，－4t2＋4t＋3)，
∵四边形OMPN为矩形，
∴PM＝ON，即－4t2＋4t＋3＝3t，
解得t1＝1，t2＝－(不合题意，舍去)，
∴当t＝1秒时，四边形OMPN为矩形．
②能，在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝3，
∴∠ABO＝45°.
若△BOQ为等腰三角形，则有三种情况：
若OQ＝BQ，如图①所示，
则M为OB中点，OM＝OB＝，
∴t＝÷2＝(秒)；
若OQ＝OB，∵OA＝3，OB＝3，
∴点Q与点A重合，即t＝0(不合题意，舍去)；
若OB＝BQ，如图②所示，则BQ＝3，
∴BM＝BQ·cos45°＝3×＝，
∴OM＝OB－BM＝3－＝，
∴t＝÷2＝(秒)．
综上所述，当t为秒或秒时，△BOQ为等腰三角形．

3．解：(1)设AB所在直线的函数表达式为y＝kx＋b，
把A(3，3 )，B(9，5 )代入y＝kx＋b，得解得
∴AB所在直线的函数表达式为y＝x＋2 .
(2)由题意知，OP＝t，PC＝14－t，△PCQ中PC边上的高为t＋2 ，
∴S＝(14－t)(t＋2 )＝－t2＋t＋14 (2≤t≤6)．
∴当t＝5时，S有最大值为.
(3)①当0