高中数学人教A版选修1-2221综合法与分析法学案.doc

2．2　直接证明与间接证明
2．2.1　综合法和分析法
1．结合已经学习过的数学实例，了解直接证明的两种最基本的方法：综合法和分析法．
2．了解用综合法和分析法解决问题的思考特点和过程，会用综合法和分析法证明具体的问题．通过实例充分认识这两种证明方法的特点，认识证明的重要性．

1．综合法．
(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．其一般表示形式是由因导果．
(2)用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为：
→→→…→
2．分析法．
(1)定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法. 其一般表示形式是执果索因．
(2)用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
→→→…→
3．分析综合法．
(1)定义：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，就可以证明结论成立．这种证明方法称为分析综合法．
(2)用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则分析综合法可用框图表示为：
→→…→←…←←

1．设x，y∈R＋，且x＋y＝6，则lg x＋lg y的取值范围是(B)
A．(－∞，lg 6]　　　　B．(－∞，2lg 3]
C．[lg 6，＋∞) D．[2lg 3，＋∞)
解析：∵x，y∈R＋，x＋y＝6，∴2≤6，即0＜xy≤9，∴lg xy≤lg 9，即lg x＋lg y≤2lg 3.故选B.

2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜a”索的因应是(C)
A．a－b＞0
B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0
D．(a－b)(a－c)＜0
解析：＜a⇐b2－ac＜3a2⇐3a2＋ac－(a＋c)2＞0⇐(2a＋c)(a－c)＞0⇐(a－b)(a－c)＞0.故选C.

3．已知f(x)＝x2，则f′(3)的值为__________________．
解析：∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，
∴f′(3)＝2×3＝6.
答案：6

4．当a∈________时，函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数．
解析：f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数⇐a－1≤5⇐a≤6.
答案：(－∞，6]

(1)分析题目的条件和结论，寻找已知与结论之间的有关数学公式、公理、定理定义等，确定解决的初步思路；
(2)整合所得信息进行推理论证，得出结论．

欲证Q成立，只需证P1，即证P2，只需证P3，…，即证P，因为P成立，所以Q成立或运用逆向推理符号“⇐”，需要注意的是推理符号的方向，不可用反、用错．

在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：用分析法找思路，用综合法写步骤．分析法与综合法相互转换、相互渗透、互为前提，充分利用这一辩证关系，注意它们的联合运用，可以增加解题思路，开阔视野．

1．当所证结论与所给条件之间的关系不明确时，常采用分析法证明，但更多的时候是综合法与分析法结合起来使用，即先看条件能够提供什么再看结论成立需要什么，从两头向中间靠拢，逐步接通逻辑思路．
2．用分析法证题是寻求使结论成立的充分条件，不是必要条件，因此各步的寻求用“⇐”，有些步骤也可用“⇔”，但不能用“⇒”，因为是寻求充分条件，不必每步都是“⇔”，证完之后也不能说每步都可逆，只有证明充要条件时，才可以说每步都可逆，或全部都用“⇔”表达．
3．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．这些方法是综合法和分析法的延续与补充．

1．“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”应用了(B)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．分析法
B．综合法
C．综合法与分析法结合使用
D．演绎法
解析：这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用了综合法，故选B.

2．要证明＋＜4，可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(B)
A．综合法 B．分析法
C．比较法 D．归纳法
解析：要证明＋<4，只需证明(＋)2<16，即8＋2<16，即证明<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.

3．已知a＞0，b＞0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为________．
解析：因为＝＞，
所以＞.又因为y＝lg x为增函数，所以有m＞n.
答案：m＞n

4．如图，长方形ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，
AD＝2，E是BC的中点．
(1)求证：直线BB1∥平面D1DE；
(2)求证：平面A1AE⊥平面D1DE；

(1)证明：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥DD1，
又∵BB1⊄平面D1DE，
DD1⊂平面D1DE，
∴直线BB1∥平面D1DE.
(2)证明：在长方形ABCD中，
∵AB＝AA1＝1，
AD＝2，
∴AE＝DE＝.
∴AE2＋DE2＝4＝AD2，
故AE⊥DE.
∵在长方体ABCD­A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AE⊂平面ACBD，
∴DD1⊥AE.
又∵DD1∩DE＝D，
∴直线AE⊥平面D1DE.
而AE⊂平面A1AE，
所以平面A1AE⊥平面D1DE.