1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第六级,第七级,第八级,.,*,高数函数极限方法总结,周凌伊,1,.,1,、直接代入法,分母不为零,2,.,2,约去零因子法,3,.,一般分子分母同除最高次方；对于多项式函数,3,、,抓大头法,4,.,4,分子,(,母,),有理化法,分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。,及时,分离极限式中的非零因子,是解题的关键,5,.,5,应用两个重要极限公式（重要公式法）,第一个重要极限,第二个重要极限（,1+0,）,。,第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：,先凑出，再凑 ，最后凑指数部分。,强行代入，定型定法,6,
2、6,等价无穷小代换法,【,说明,】,(1),等价无穷小量代换,只能代换极限式中的,因式,；,(2),此方法在各种求极限的方法中,应作为首选,。,(3),只能在乘除时使用，但是不是说一定在加减的时候不能用，但是前提要证明拆分后极限依然存在。,ax,1,xlna(a,是固定的，,x,是变量,),7,.,7,、换元法、代换法,8,.,8,、夹逼法则（迫敛法则）：,数列极限,适当变形，,放缩和扩大,如果数列,Xn,Yn,及,Zn,满足下列条件：（,1,）从某项起，即当,nn,。，其中,n,。,N,，有,YnXnZn,。,(n=n,。,+1,，,n,。,+2,，,），（,2,）当,n,，,limYn
3、a,；当,n,，,limZn=a,，那么，数列,Xn,的极限存在，且当,n,，,limXn=a,。,二,.F(x),与,G(x),在,Xo,连续且存在相同的极限,A,limF(x)=limG(x)=A,则若有函数,f(x),在,Xo,的某邻域内恒有,F(x)f(x)G(x),则当,X,趋近,Xo,有,limF(x)limf(x)limG(x),即,Alimf(x)A,故,limf(Xo)=A,9,.,9,、,收敛数列的性质,收敛数列与其子数列收敛同一个数,2,、（极限存在性定理）单调递增有上界函数收敛，单调递减有下界函数收敛。（证明）,利用每项数列趋于同一数方程求解。（求出极限）,10,.,
4、10,、,无穷小和无穷大的性质,：,无穷小,与,有界函数的处理办法,尤其对,正余旋的复杂函数与其他函数相乘,的形式,相同极限条件下,有限个无穷小的和是无穷小，无限个不一定,无穷小与有界函数的乘积是无穷小,有限个、无限个无穷小的乘积是无穷小,有限个无穷大之积是无穷大,无穷大与有界函数之和是无穷大，之积不一定,同号无穷大之和是无穷大,11,.,11,、,极限的四则运算性质,12,.,12,、利用单侧极限,13,.,12,、函数极限的定义,设函数,f(x),在点,x,。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数,A,，对于任意给定的正数,（无论它多么小），总存在正数,，使得当,x,满足不等式,0|x-x,
5、时，对应的函数值,f(x),都满足不等式：,|f(x)-A|,那么常数,A,就叫做函数,f(x),当,xx,。时的极限。,14,.,14,、,函数的连续性,15,.,x,的,x,次方 快于,x,！快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数（画图也能看出速率的快慢）当,x,趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了,15,、特殊型,等比等差数列公式应用,（对付数列极限）（,q,绝对值符号要小于,1,）,各项的拆分相加,（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数,16,.,【,注,】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解,LHopita
6、l,法则,、,洛必达法,则,（所以面对数列极限时候先要转化成求,x,趋近情况下的极限，当然,n,趋近是,x,趋近的一种情况而已，是必要条件,）,（还有一点 数列极限的,n,当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）,（导数存在、极限存在）,（,必须是,0,比,0,无穷大比无穷大,）,（,当然还要注意分母不能为,0,）,0,乘以无穷 无穷减去无穷（应为无穷大,与,无穷小成倒数的关系）,0,的,0,次方,1,的无穷次方 无穷的,0,次方,对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成,0,与无穷的形式了，,16,、用罗必塔法则求极限（上下分别求导）,17,.,17,、对数恒等式、幂指函数,18,.,18,、利用,Taylor,公式求极限,泰勒展开式公式,(,含有,e,的,x,次方的时候，尤其是含有正余,弦,的加减的时候要,特别注意,E,19,.,
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
