湖北省武汉市蔡甸区实验高级中学2020-2021学年高二第一学期10月联合考试数学试卷 (2).doc

数学
本卷考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. （ ）
A． B． C． D.
2. 的内角的对边分别为.已知则（ ）
A. B. C.2 D.3
3. 双曲线方程为，则它的右焦点坐标为( )
A. B. C. D.
4. 已知两条直线，两平面，给出下面四个命题，其中正确的命题是（ ）
A. B.
C. D.

5. 直三棱柱中,若, ,则异面直线与所成的角等于(　　 )
A. B. C. D.
6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.

7. 已知圆,则:的最大值与最小值的和为( )
A. B. C. D.
8. 点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则
的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于2，离心率为，
过焦点作轴的垂线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（　　）
A．椭圆C的方程为 B．椭圆C的方程为
C． D．的周长为
10. 已知圆和两点.若圆上存在点
,使得,则实数的取值可以为(　　 )
A. B. C. D.
11.是不在平面内的任意两点，则（ ）
A．在内存在直线与直线异面 B. 在内存在直线与直线相交
C. 存在过直线的平面与垂直 D. 在内存在直线与直线平行
12. 在中，角所对的边分别为，给出下列四个命题中，其中正确的命题
为( )
A. 若，则；
B. 若，则；
C. 若，则这个三角形有两解；
D. 当是钝角三角形．则.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 长方体的长、宽、高分别为4,2,1,其顶点都在球的球面上,则球的表面积为　　. 
14. 如果方程表示双曲线，则实数的取值范围是_______.
15. 已知k∈R，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，则的值为__________.
16. 在∆ABC中,,点为边上的点,AD是∠BAC的角平分线,则AD的取值范围是________________.
四、解答题(本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本小题共10分）如图,在四棱锥中,⊥平面,
(1)求证:；
(2)设平面平面,求证:.

18．（本小题共12分）在△ABC中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
（1） 的大小；（2） 的面积 ．
条件①： ； 条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。
19．（本小题共12分已知抛物线与直线交于，两点．
（1）求弦的长度；
（2）若点在抛物线上，且的面积为12，求点的坐标．
20. （本小题共12分）已知点及圆
(1)若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；
(2)设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线的垂直平分线？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

21．（本小题共12分）已知四棱锥，底面为矩形，，，，为中点，．
（1）求证：平面四平面；
（2）若，求二面角的余弦值．

22．（本小题共12分）已知圆：交轴于，两点，过以为长轴，离心率为的椭圆的左焦点的直线交椭圆于，，分别交轴和圆于，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，.求证：为定值；
（3）过原点作直线的垂线交直线于点.试探究：当点在圆上运动时（不与，重合），直线与圆是否保持相切？若是，请证明；若不是，请说明理由.

一、 单选题
1. D 2. B 3. A 4. C 5. C 6. D
7. D 8. B
二、多选题
9. ACD 10.ABC 11.AC 12.BCD
三、填空题
13. 14. 15. 13 16.
四、解答题
17.【解析】(1)证明：

又 （5分
（2）
又平面平面 (10分)
18. 若选择条件①：
（1）因为，
由余弦定理,
得，（4分）
因为，所以.（6分）
(2)由正弦定理
得，（8分）
又因为，（11分）
所以（12分）
选其他条件对应给分.
19.【解答】解：（1）抛物线与直线交于，两点．
把代入抛物线，得，（2分）
解得，，
，，
弦的长度．（5分）
（2）设，，
点到直线的距离，（7分）
的面积为12，
，
解得，（10分）
解得或．
或．(12分)
20. 解：①或；②；③不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.
【解析】（1）设直线的斜率为（存在），
则方程为. 即
又圆C的圆心为，半径，
由 ， （2分） 解得.
所以直线方程为， 即 . （4分）
当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件 (6分)

（2）把直线,代入圆C的方程，
消去y，整理得

由于直线交圆C于A，B两点
故
即解得.（8分）
设符合条件得实数存在，由于垂直平分弦AB，故圆心必在上.所以的斜率，而所以.
由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.（12分）

21. 【解答】解：（1）证明：在中，，
在中，，
，，
又，，，
又，，平面，（3分）
又在平面内，平面平面；（4分）
（2）在中，，又，
由勾股定理可得，又，且与相交，
平面，
分别以，，所在直线轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，（6分）
设平面的一个法向量为，则，则可取，（8分）
同理可得平面的一个法向量为，（10分）
，
由题意可知，二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为．（12分）

22. 【解答】解：（1）由，解得，又因为，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为.（2分）
（2）证明，如图，由题设知直线的斜率存在，

设直线的方程为：，则点，
将直线代入椭圆方程可得，
设，，
，，（4分）
由，，
知，（6分）
故.(8分)
（3）点在圆上运动时，直线与圆相切，
证明：设，则，
，，
直线的方程为，
即点，
，，
，即，故直线与圆相切.（12分）