最短路径问题课堂实录.doc

一、对教案进行重新修订补充。
二、对上课地点进行考察，查看学生情况，查看学生分组情况，查看教室情况（见学生说明分组比赛问题，说明鼓掌问题）。
三、对课件进行补充完善。
四、再进行几次试讲，掌控课堂每一个环节。
五、借电子笔。
六、上课前提前在黑板上画出四种图形。

同学们，中国古代有许多聪颖智慧的儿童，曹冲就是其中的一位，“曹冲称象”是我们从小都听过的故事，这个故事讲的是从前有人给曹操送了一头大象，很多人都想知道大象有多重，可是没有那么大的称，有人说造一个很大很大的称来称，有人说把大象割成一块一块的再称，可是曹冲却让人把大象赶到了河边的大船上，轻松得称出了大象的重量，现在我就来考一考大家，你知道曹冲是怎么称出大象重量的吗？有谁知道？好，你来给大家说一说。（学生讲曹冲如何称象的故事，大约需要二十多秒）对，聪明的曹冲把称大象的重量换成了称和大象同样重的石头的重量，解决了很多大人都无法解决的问题，受到了大家的称赞。其实这则故事里蕴含了一种重要的思想，那就是把我们不熟悉的问题通过转化变成了我们熟悉的问题，“转化法”的运用，正是曹冲的智慧所在。
今天就让我们用“转化法”来研究“最短路径问题”（板书“最短路径问题”）在研究这个问题之前，我想先问一下大家，当你看到“最短”这个词时你会想到哪些定理？（学生回答，学生应该能回答出来，如果学生回答不出来，教师适当提示）（两点之间线段最短）还有吗？（垂线段最短），好，同学们回答得很好，下面就让我们带着这两句话走进下面的故事。
（出示第一张投影）相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个他百思不得其解的问题：将军从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 处饮马，然后到B 地．将军想知道他到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦并没有直接回答将军的提问，而是给将军提出了几个新的问题，并提醒将军用转化的方法来解决问题，聪明的将军在答完这几道题后马上找到了问题的答案，你知道海伦给将军提出了哪些问题吗？下面就让我们和将军一起来完成挑战。
（出示第二张投影）请看第一题，（如图所示，牧童要从A地到B地有三条路可供选择，哪条路最近？你的理由是什么？）（教师不读题，学生直接观看回答）大家选择的路线是……？为什么呢？对两点之间线段最短。（点击投影，出现两点之间线段最短）
请看第二题，（已知：如图，牧童从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后到B处，牧童到河边什么地方饮马，才可以使所走路径最短。）（教师读题）有知道的吗？好，你说。（学生回答）为什么这么做就能得到最短距离呢？（点击投影）大家同意他说的对吗？
好，我们刚才很轻松地完成了前两道题，下面让我们来看第三题，（出示投影）（教师读题）看到了这个问题，将军犹豫了一下， 因为这次的路线是条折线，他无法使用到“两点之间线段最短”这句话，可是当他回想到刚才完成的第二题，他的眼睛一亮，有了好主意，他巧妙地把点B移动了位置，然后就把“折线”转化成了“直线”。你知道将军把点B移动到了什么位置了吗？下面就让我们各组来一起研究，五分钟以后我们请各组同学来展示一下自己的研究成果。在展示之前我们规定各组数学成绩在108分以上的为1号，100-108分的为2号，80分-100分的为3号，80分以下的为4号，1号同学回答出来的加1分，2号同学回答出来的加两分，3号同学回答出来的加3分，4号同学回答出来的加4分，大家明白了吗？
（学生分组研究讨论）好，时间到，知道答案的请举手，好，各组4号知道的请举手，好，各组的4号请做好准备，我喊“预备，开始”，谁先起立的回答，好，预备，开始，好，我们有请第1组的4号，你说，（做出点B关于直线l的对称点B′,连接AB′,交直线l于点C，点C就是所示的点），好，我们来分析一下他说的对不对，首先，他找的这个点B′和点B与直线l的每一个点有什么关系？大家一起说，（学生回答）对，直线l上的每一个点到点B和点B′的距离相等，因为AC+CB′最短，而CB′等于CB，所以AC+CB最短，这位同学用自己的智慧找到了点C的位置，让我们给他的智慧鼓鼓掌。（教师在黑板上给回答问题的同学加4分）让我们来看一看他的做法（出示投影，本题的做法）。
好，还有不同方法吗？刚才这位同学做出了点B的对称点B′，大家想一想，还有其他的方法吗？哪个组的4号知道的请举手？（学生回答）根据轴对称的性质，这位同学找出点C和刚才那位同学找出的点C是同一个点（教师给回答问题的同学加4分）。
好，这两位同学找到的点C是使路径最短的点吗？有些同学心中还有疑问，比如曾经有一位同学就提出他找的点C′才是使路径最短的点，（出示投影）他觉得他的路径AC′+BC′比前两位同学的AC+BC的路径短，你觉得他说得有道理吗？好，请我们各组继续展开研究，在证明之前我们来观看一下这幅图我们直接比较AC′+BC′与AC+BC的大小很困难，但是如果我们把它们转化为三角形的知识就简单了，看哪个组最先研究出来，五分钟以后我们请各组展示一下自己的研究成果。
好，时间到，我们看哪个组团队力量最强，知道答案的请举手，各组的4号知道的请举手，我们请各组4号的同学做好准备，预备，开始（如果4号没有就找3号，3号没有就找2号）。
因为AC′+B′C′>AC+B′C，而B′C′等于BC′，B′C等于BC，所以AC′+BC′>AC+BC（教师用投影展示同学的过程）这们同学完成得真棒，让我们给也这位同学智慧的回答鼓鼓掌。（教师给回答对的同学加分）
通过刚才三个同学精彩的回答，我们证明出了点C是使路径最短的点，同样我们也证明出了各组的4号和3号同样优秀，只要你们和1号2号一样努力，你们也会和他们一样的优秀，大家说对不对？
通过刚才的回答我们回想一下，对我们借助了什么样的方法，把“折线”问题转化为什么问题，借助什么知识找到了点C的位置，借助什么知识证明点C是使路径最短的点。
（学生回答）对我们借助了转化的方法，把“折线”问题转化为“直线”问题，借助“两点之间线段”的知识找到了点C的位置。这位同学说得很好。
可是问题到这儿并没有结束，海伦又给将军提出了两个更为复杂的题，而将军却因为掌握了转化的方法完成得越来越轻松，海伦提出了什么样的问题呢？（出示投影）
这次牧童带马到一个地方喝完水到另一个地方喝完水后再回到姥姥家，这又是一个难度更大的“折线”问题，看哪些同学会把这个问题进行转化。这次老师要求大家独立思考。（学生思考）想好的请举手，好，（从4号开始，往前类推）好，这个同学巧妙得把两个点在两条直线的内侧通过通过转化使两个点移动到两条直线的两侧，然后再利用“两点之间，线段最短”找到了两个点的位置，完成得非常好。
下面让我们看一下我们的终极考验，（出示投影）这次牧童带马喝完水吃完草后没有去姥姥家，而是直接回了自己家，刚才的任务里有两个点，现在只有一个点，怎么办呢，请大家开动脑筋，和本组同学共同努力，完成最后的考验，五分钟后我们请各组同学来展示一下。（学生思考，教师在学生中间指导）想好的请举手，我们还是从4号开始（依次类推）（学生回答）
通过刚才同学的回答，我们看到他巧妙的把一个点看面了两个重合的点，然后再利用刚才所学过的知识完成任务，这位同学完成了终极考验，让我们给他鼓鼓掌，完成了上面的问题，你有什么疑问吗？比如有一位同学就提出了，为什么不让牧童走到O处，又能喝水，又能吃草，这样不是路径最短吗？你觉得他说得有道理吗？好，这个任务交给我们的同学，看我们同学谁能在以后能证明出到底哪条路才是最短路径。
好了，今天我们完成这了所有的考验，下面我们来练练兵，请大家来看下面的练习题。请同学位思考后把你们的做法写在练习本上，我们请一位同学到讲台上书写。（学生开始练习）
大家来看一下他的过程，过程一样的请举手，好，今天我们的同学表现得非常出色，每一个同学都像将军一样完成了海伦提出的问题，我们也探究出了“牧童饮马”的四种情况，那么我们回想一下，我们是怎样完成这些问题的呢？在解决问题的过程中运用了_____(方法),把不同类型 的“折线” 问题转化成了______问题,利用___________(知识)找到了使路径最短的点。体现了转化的数学思想。
其实生活中还有很多“最短路径”的问题，比如“造桥选址问题”，比如“立体图形展开图最短路径问题”，而这些问题都可以用转化的方法把复杂的问题转化成“两点之间线段”的问题和“垂线段最短”的问题，相信大家通过今天的学习在以后的学习过程中会巧妙的利用转化的方法解决一个又一个的难题。