1、不等式的恒成立
一． 什么叫不等式的恒成立？
这个概念起源于函数的最大值和最小值的定义。
关于x的不等式f(x)≥0对于x在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。常见的有：
等等。。。其形式与函数的最值关系如下：
其几何形式为：一个函数图像在另一个函数图像的上方或下方
练习：1.下列哪些关系是恒成立的？
（1）当时，
（2）当时，
（3）当时
（4）若对任意的，都有。
例题一：
1.已知函数，求证当时，f(x)的最小值为f(-2) ；说明是否恒成立？
变式：
例题二：
变式：若函数在区间
2、 上有意义，求常数m的取值范围。
思考：变式与“的定义域为，求常数m的取值”有什么不同？
2..已知函数
（1）判断函数在上的单调性。
（2）若不等式对任意的恒成立，求常数a的取值范围。
3．若函数图像恒在函数图像的下方，求常数k的取值范围。
变式：二次函数的图像顶点为,且图像在轴上截得的线段长8.
（1）求这个二次函数的解析式；（）
（2）在区间[－1，1]上，的图象恒在一次函数的图象上方，试确定实数的范围。（）
二．练习：
1．求证：当时，不等式对于一切的实数x恒成立。
2．不等式对恒成立，求x的取值范围。
3、
3．已知函数 。①若函数的定义域为，求k的值。
②若函数在区间上有意义，求k的取值范围。
4. 已知函数对任意的恒有求a的取值范围。
5.若函数对区间内任意两个相异的实数恒有
，求常数a的取值范围.
观摩题
20．(本小题满分10分)11-12南京市2011－2012学年度第一学期高一期末调研
设函数f(x)＝x2－2tx＋2，其中t∈R．
(1)若t＝1，求函数f(x)在区间[0，4]上的取值范围；
(2)若t＝1，且对任意的x∈[a，a＋2]，都有f(x)≤5，求实数a的取值范围．
(3)若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1
4、)－f(x2)|≤8，求t的取值范围．
20. （本小题16分）
定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.
已知函数，
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；
解：（1）当时，
，
，即在的值域为………5分
故不存在常数，使成立
所以函数在上不是有界函数。 ……6分
（2）由题意知，在上恒成立。………7分
，
∴ 在上恒成立………9分
∴ ………11分
设，，，由得 t≥1，
设，
所以在上递减，在上递增，………14分（单调性不证，不扣分）
在上的最大值为， 在上的最小值为
所以实数的取值范围为。…………………………………16分
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