第二章专题强化匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式v-t图像的综合应用.docx

[学习目标]　1.理解平均速度公式、位移差公式，并能解决相关问题.2.进一步掌握v－t图像的特点，会用v－t图像求位移．

一、匀变速直线运动的平均速度公式
1．公式的推导
匀变速直线运动位移公式x＝v0t＋at2
平均速度＝＝v0＋at
初、末速度的平均值：＝＝v0＋at
中间时刻的速度：＝v0＋a·＝v0＋at
故有＝＝
即在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值．如图1所示．

图1
2.＝与＝及＝的比较
＝适用于任何形式的运动；＝和＝只适用于匀变速直线运动．
命题角度1　平均速度公式的应用
物体先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，加速一段时间t1，然后接着做匀减速直线运动，直到速度减为零，已知整个运动过程所用的时间t＝20 s，总位移为300 m，则物体运动的最大速度为(　　)
A．15 m/s B．30 m/s
C．7.5 m/s D．无法求解
答案　B
解析　设最大速度为vm，匀加速直线运动过程：＝(0＋vm)＝vm，x1＝，匀减速直线运动过程：＝(vm＋0)＝vm，x2＝t2，所以整个运动过程x＝x1＋x2＝(t1＋t2)＝t，解得vm＝30 m/s.
一物体做匀加速直线运动，共运动4 s，第1 s内位移为3 m，最后2 s位移为16 m，则物体的加速度为(　　)
A．1 m/s2 B．1.5 m/s2 C．2 m/s2 D．2.5 m/s2
答案　C
解析　第1 s内平均速度：1＝3 m/s，等于中间时刻0.5 s时的瞬时速度，v0.5＝1＝3 m/s
最后2 s平均速度：2＝8 m/s，等于中间时刻3 s末的瞬时速度，v3＝2＝8 m/s
a＝＝ m/s2＝2 m/s2，选项C正确．
命题角度2　中间时刻与中间位置的瞬时速度
一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，求：
(1)火车中点经过此路标时的速度大小；
(2)整列火车通过此路标所用的时间t.
答案　(1)　(2)
解析　火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v1，前进位移l，速度变为v2，所求的是质点经过处的速度，其运动简图如图所示．

(1)前一半位移，－v12＝2a·
后一半位移，v22－＝2a·
所以有－v12＝v22－，故＝.
(2)火车的平均速度＝
故所用时间t＝＝.

1．注意：在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度与中间位置的瞬时速度是不同的，＝，＝.
2．可以证明：不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有＞.
二、位移差公式Δx＝aT2
匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T内的位移差都相等．
即Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2(如图2)．

图2
(1)推导：第一个时间T内的位移：x1＝v0T＋aT2
第二个时间T的位移：x2＝(v0＋aT)T＋aT2
第三个时间T内的位移：x3＝(v0＋a·2T)T＋aT2
……
第n个时间T内的位移：xn＝[v0＋a·(n－1)T]T＋aT2
所以有Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2
T为连续相等的时间间隔，x1、x2、x3、…、xn为连续相等时间间隔内的位移．
(2)应用
①判断物体是否做匀变速直线运动

如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．
②求加速度
利用Δx＝aT2，可求得a＝.
③推论：xm－xn＝(m－n)aT2.

(多选)(2019·长春外国语学校月考)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法正确的是(　　)
A．第2 s内的位移是2.5 m
B．第3 s末的瞬时速度是2.25 m/s
C．质点的加速度是0.125 m/s2
D．质点的加速度是0.5 m/s2
答案　BD
解析　由Δx＝aT2，得a＝＝0.5 m/s2，x3－x2＝x4－x3，所以第2 s内的位移x2＝1.5 m，A、C错误，D正确；第3 s末的瞬时速度等于2～4 s内的平均速度，所以v3＝＝2.25 m/s，B正确．
三、v－t图像的综合应用
1．利用v－t图像求位移
v－t图线与时间轴所围的“面积”表示位移．“面积”在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负；通过的位移为时间轴上、下“面积”绝对值之差．通过的路程为时间轴上、下“面积”绝对值之和．
(多选)(2019·北京市昌平区高一上期末)汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，驾驶员发现正前方的斑马线上有行人，于是刹车礼让，汽车恰好停在斑马线前．假设驾驶员的反应时间为0.5 s，汽车运动的v－t图像如图3所示．下列说法中正确的是(　　)

图3
A．在驾驶员反应时间内，汽车行驶的距离为5 m
B．从驾驶员发现情况到汽车停止，共行驶的距离为15 m
C．汽车刹车时的加速度大小为10 m/s2
D．从驾驶员发现情况到汽车停止的平均速度为6 m/s
答案　ABD
解析　汽车在驾驶员的反应时间内做匀速直线运动，则反应时间内汽车行驶的距离x1＝vt1＝10×0.5 m＝5 m，故A正确；根据v－t图像的“面积”表示物体通过的位移可知，从驾驶员发现情况到汽车停止，共行驶的距离x＝10×0.5 m＋×10×2 m＝15 m，故B正确；匀减速运动的加速度大小a＝||＝ m/s2＝5 m/s2，故C错误；从驾驶员发现情况到汽车停止的平均速度＝＝ m/s＝6 m/s，故D正确．
2．x－t图像与v－t图像的比较
种类
内容
v－t图像
x－t图像
图线斜率
表示加速度
表示速度
图线与时间轴所围面积
表示位移
无意义
两图线交点坐标
表示速度相同，不表示相遇，往往是距离最大或最小的临界点
表示相遇
相同点
表示物体做直线运动

在如图4所示的x－t图像和v－t图像中，给出的四条曲线1、2、3、4分别代表四个不同物体的运动情况，则下列说法正确的是(　　)

图4
A．图线1、3表示物体做曲线运动
B．x－t图像中0～t1时间内物体1和2的平均速度相等
C．v－t图像中t3时刻物体3的速度大于物体4的速度
D．两图像中t2、t4时刻分别表示物体2和4开始反向运动
答案　B
解析　运动图像反映物体的运动规律，不是运动轨迹，无论速度—时间图像还是位移—时间图像，只能表示物体做直线运动，故A错误；x－t图像中0～t1时间内物体1和2通过的位移相等，所用时间相等，则平均速度相等，故B正确；由题图知，v－t图像中t3时刻物体3的速度等于物体4的速度，故C错误；x－t图像的斜率表示物体的速度，斜率大于0，表示物体沿正方向运动；斜率小于0，表示物体沿负方向运动．而t2时刻之前物体2沿正方向运动，t2时刻之后物体2沿负方向运动，故t2时刻物体2开始反向运动．v－t图像中速度的正负表示运动方向，物体4在0～t5这段时间内速度始终为正，故t4时刻物体4没有反向运动，故D错误．

1．(位移差公式Δx＝aT2的应用)(多选)如图5所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是(　　)

图5
A．物体的加速度为20 m/s2
B．物体的加速度为25 m/s2
C．CD＝4 m
D．CD＝5 m
答案　BC
解析　由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即Δx＝aT2，可得：a＝＝25 m/s2，故A错误，B正确；根据CD－BC＝BC－AB，可知CD＝4 m，故C正确，D错误．
2.(v－t图像的综合应用)(2019·山西大学附中月考)如图6是物体做直线运动的v－t图像，由图可知，该物体(　　)

图6
A．0～2 s内和0～4 s内的位移不相等
B．0～2 s内和0～4 s内的平均速度大小不相等
C．第1 s内和第4 s内的位移大小不相等
D．第3 s内和第4 s内的加速度不相同
答案　B
解析　0～2 s内物体的位移x2＝ m＝1.5 m，则平均速度2＝＝0.75 m/s.0～4 s内物体的位移x4＝1.5 m＝x2，则平均速度4＝＝0.375 m/s，A错，B对．第1 s内和第4 s内位移大小均为0.5 m，C错．第3 s内和第4 s内加速度均为－1 m/s2，D错．
3．(平均速度公式的应用)一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2 m/s，前4 s内位移为20 m，求：
(1)质点前4 s内的平均速度大小；
(2)质点第4 s末的速度大小；
(3)质点第2 s末的速度大小．
答案　(1)5 m/s　(2)8 m/s　(3)5 m/s
解析　(1)利用平均速度公式，前4 s内的平均速度
＝＝ m/s＝5 m/s
(2)因为＝，代入数据解得，
第4 s末的速度v4＝8 m/s.
(3)第2 s末为这段时间的中间时刻，故v2＝＝5 m/s.

训练1　平均速度公式与位移差公式的应用
1．(2019·北京西城区高一上期末)歼－20飞机在第十一届中国国际航空航天博览会(中国航展)上进行飞行展示，这是中国自主研制的新一代隐身战斗机首次公开亮相．假设该战斗机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，起飞的速度为v，所经历的时间为t，则起飞前的运动距离为(　　)
A．vt B.
C．2vt D．不能确定
答案　B
2．为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图1所示，如果拍摄时每隔2 s曝光一次轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为(　　)

图1
A．1 m/s2 B．2.25 m/s2
C．3 m/s2 D．4.25 m/s2
答案　B
解析　轿车车身总长4.5 m，则题图中每一小格为1.5 m，由此可算出两段距离分别为x1＝12 m和x2＝21 m，又T＝2 s，则a＝＝ m/s2＝2.25 m/s2，故选B.
3．一物体从斜面上某点由静止开始做匀加速直线运动，经过3 s后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经过9 s停止，已知物体经过斜面和水平地面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的位移与在水平地面上的位移之比是(　　)
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．3∶1
答案　C
解析　设物体到达斜面底端时的速度为v，
则物体在斜面上的平均速度1＝，
在斜面上的位移x1＝1t1＝t1
在水平地面上的平均速度2＝，
在水平地面上的位移x2＝2t2＝t2
所以x1∶x2＝t1∶t2＝1∶3，故选C.
4．(多选)(2019·山西大学附中月考)一质点从A点开始做匀加速直线运动，随后依次经过B、C、D三点．已知AB段、CD段距离分别为5 m、13 m，质点经过AB段、BC段、CD段时间相等，均为1 s，则(　　)
A．质点的加速度大小为4 m/s2
B．质点的加速度大小为2 m/s2
C．质点在C点的速度大小为11 m/s
D．质点在B点的速度大小为6 m/s
答案　AC
解析　AB、BC、CD段时间相等，均为T＝1 s
由x3－x1＝2aT2得a＝＝ m/s2＝4 m/s2
由x2－x1＝x3－x2得BC段长度x2＝9 m
B点对应AC段的中间时刻，vB＝AC＝＝ m/s＝7 m/s
C点对应BD段的中间时刻，vC＝BD＝＝ m/s＝11 m/s，故A、C正确．
5．(2019·上海市延安中学期末)物体沿一直线运动，在t0时间内通过的路程为s，它在中间位置s处的速度为v1，在中间时刻t0时的速度为v2，则v1和v2的关系为(　　)
A．当物体做匀加速直线运动时，v1>v2
B．当物体做匀减速直线运动时，v1v2，只有A正确．

6．为了安全，汽车过桥的速度不能太大．一辆汽车由静止出发做匀加速直线运动，用了10 s时间通过一座长120 m的桥，过桥后瞬间的速度是14 m/s.求：(汽车可看成质点)
(1)汽车刚开上桥头时的速度大小；
(2)桥头与出发点间的距离．
答案　(1)10 m/s　(2)125 m
解析　(1)设汽车刚开上桥头时的速度为v1
则有x＝t
v1＝－v2＝(－14) m/s＝10 m/s.
(2)汽车的加速度a＝＝ m/s2＝0.4 m/s2
桥头与出发点间的距离x′＝＝ m＝125 m.
7.从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图2所示的照片(照片与实际大小相同)，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm.试问：

图2
(1)小球的加速度的大小；
(2)拍摄时小球在B点时的速度的大小；
(3)拍摄时C、D间的距离xCD；
(4)A点的上方滚动的小球还有几个．
答案　(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)0.25 m　(4)2个
解析　(1)由推论Δx＝aT2可知，小球加速度为
a＝＝＝ m/s2＝5 m/s2.
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，所以B点的速度等于AC段的平均速度，即
vB＝＝ m/s＝1.75 m/s.
(3)由于连续相等时间内位移差恒定，
所以xCD－xBC＝xBC－xAB，
得xCD＝2xBC－xAB
＝2×20×10－2 m－15×10－2 m＝0.25 m.
(4)设A点处小球的速度为vA，
由于vA＝vB－aT＝1.25 m/s，
所以A点处小球的运动时间为tA＝＝0.25 s，
所以在A点的上方滚动的小球还有2个．
训练2　v-t图像的应用
1．(多选)物体甲的x－t图像和物体乙的v－t图像分别如图1甲、乙所示，则关于这两个物体的运动情况，下列说法正确的是(　　)

图1
A．甲在0～6 s时间内运动方向不变，它通过的总位移大小为4 m
B．甲在0～6 s时间内平均速度为零
C．乙在0～6 s时间内通过的总位移为零
D．乙在0～6 s时间内加速度大小不变，方向发生了变化
答案　AC
解析　位移－时间图像中图线的斜率表示速度，甲在整个过程中图线的斜率不变，知甲运动的速度不变，总位移为Δx＝2 m－(－2 m)＝4 m，故A正确，B错误；乙在0～6 s内，先向负方向做匀减速直线运动，后向正方向做匀加速直线运动，速度的方向在第3 s时发生改变，图线与时间轴围成的面积表示位移，则乙在0～6 s内总位移为零，故C正确；在速度－时间图像中斜率表示加速度，整个过程中图线的斜率不变，知乙的加速度大小不变，方向也未发生改变，故D错误．

2.(多选)(2019·宁波市高一上期末)小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高度，其v－t图像如图2所示，则由图可知下列判断正确的是(　　)

图2
A．小球能弹起的最大高度为1.25 m
B．小球能弹起的最大高度是0.45 m
C．小球第一次反弹后瞬间速度的大小为3 m/s
D．小球下落的最大速度为5 m/s
答案　BCD
解析　图线在0.5～0.8 s段表示小球反弹后上升过程，图线与时间轴围成的“面积”表示位移，故球能弹起的最大高度h＝×3×0.3 m＝0.45 m，故A错误，B正确；小球在0.5 s末第一次反弹，小球第一次反弹的速度大小为3 m/s，故C正确；小球在0.5 s末与地面相碰瞬间下落的速度最大，该最大速度为5 m/s，故D正确．
3.(多选)做直线运动的物体的v－t图像如图3所示．由图像可知(　　)

图3
A．前10 s物体的加速度为0.5 m/s2，后5 s物体的加速度为－1 m/s2
B．15 s末物体回到出发点
C．前15 s内物体位移为37.5 m
D．前10 s内的平均速度为2.5 m/s
答案　ACD
解析　在v－t图像中，图线斜率表示加速度，故前10 s物体的加速度为a1＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，后5 s物体的加速度为a2＝ m/s2＝－1 m/s2，故A正确；v－t图线与时间轴所围“面积”表示位移，故物体在前15 s内的位移为x＝×15×5 m＝37.5 m；前10 s内的平均速度＝＝ m/s＝2.5 m/s，故B错误，C、D正确．
4.(2020·屯溪一中检测)某物体做直线运动，物体的v－t图像如图4所示．若初速度的大小为v0，末速度的大小为v1，则在0～t1时间内物体的平均速度(　　)

图4
A．等于(v0＋v1) B．小于v0＋v1)
C．大于(v0＋v1) D．条件不足，无法比较
答案　C
解析　v－t图线与时间轴所围的面积表示位移，显然位移大于图中梯形的面积，故在0～t1时间内物体的平均速度大于(v0＋v1)，选项C正确，A、B、D错误．

5．(2019·太原五中阶段性检测)已知A、B两物体在同一直线上运动，v－t图像如图5所示，则(　　)

图5
A．0～4 s内B的位移比A的位移大
B．在t＝4 s时A、B两物体相遇
C．0～4 s内B在A的前面
D．A物体的加速度大于B物体的加速度
答案　A
解析　由v－t图像与时间轴所围面积表示位移，故0～4 s内，B的位移大于A的位移A正确．由于A、B两物体初始位置之间的关系未知，故不能确定其他时刻两物体的位置关系，故B、C错误．由v－t图像的斜率表示加速度可知B的加速度大于A的加速度，故D错误．

6.(2019·哈尔滨四校高一上期中)有一质点从x轴的坐标原点开始沿x轴做直线运动，其速度随时间变化的图像如图6所示，下列四个选项的图像中，a表示质点运动的加速度，x表示质点的位移，其中正确的是(　　)

图6

答案　B
解析　由v－t图像可知，0～1 s时间内质点的加速度为a＝＝ m/s2＝2 m/s2，同理可得1～2 s内质点的加速度为－2 m/s2,2～3 s内质点的加速度为－3 m/s2,3～4 s内质点的加速度为3 m/s2，故A错误，B正确；位移—时间图线的斜率表示速度，质点做变速运动，则位移—时间图线应该是曲线，不是直线，故C、D错误．
7.(2019·重庆市部分区县高一上学期期末)如图7所示为一质点做直线运动的v－t图像．求：

图7
(1)前2 s和后4 s的加速度大小；
(2)从开始运动到停止的过程中，质点运动的平均速度大小．
答案　见解析
解析　(1)由题图可知，前2 s的加速度a＝＝3 m/s2，后4 s的加速度a2＝＝－1.5 m/s2，即后4 s的加速度大小为1.5 m/s2.
(2)从开始运动到停止的过程中，加速时间t1＝2 s，匀速时间t2＝4 s，减速时间t3＝4 s，
质点位移x＝(t1＋t3)＋vt2＝42 m
＝＝4.2 m/s.