难题突破专题五 实践与应用.doc

难题突破专题五　实践与应用
现实生活中存在大量的有关数量关系的问题，需要从所研究的问题中捕捉数量关系，建立相应的数学模型——方程(组)、不等式(组)、函数表达式，再通过对数学模型的研究，使原问题获得解决，为此学生要过好三关：
1．审题关．应用题出题形式多样，如利用对话或图表呈现相关信息．对于文字叙述冗长的问题，要从数学的角度去除无关信息，抓住有用信息，捕捉数量关系，为此学生要提高阅读能力和搜集信息的能力．
2．转化关．在分析数量关系时要抓住反映数量关系的关键词语，如“共”“少”“是”“剩下”等，根据相等、不等关系分别列方程(组)、不等式(组)，根据变量之间的对应关系列函数表达式，切忌混淆数量关系，建立错误的数学模型．
3．解题关．加强解方程(组)、不等式(组)的训练，确保求解正确，充分考虑结果的多样性，使答案简明、准确．
在空间与图形的综合题中，常遇到求未知几何量或探索存在性问题，可通过探索图形性质，寻找未知几何量和已知几何量之间的等量关系或不等关系，列出方程(组)或不等式(组)，利用其有解、无解探索存在性问题，通过求解来求几何量．
类型1　分析数量之间的相等或不等关系，建立方程(组)或不等式(组)
1 某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
(进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本)
(1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价．
(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，则A种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
例题分层分析
(1)设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元，y元，根据3台A种型号、5台B种型号的电风扇收入1800元，4台A种型号、10台B种型号的电风扇收入3100元，可列得方程组____________，从而求出A，B两种型号的电风扇的销售单价．
(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(30－a)台，根据金额不多于5400元，可列不等式__________________，从而得到结果．
(3)根据利润为1400元，可列出方程__________，求出a的值，即可判断是否能实现目标．

类型2　分析数量之间的对应关系，建立函数表达式
2 某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列表达式：y＝

图Z5－1

(1)李明第几天生产的粽子数量为420只？
(2)如图Z5－1，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元．(利润＝出厂价－成本)
(3)设(2)中第m天的利润达到最大值，若要使第(m＋1)天的利润比第m天的利润至少多48元，则第(m＋1)天每只粽子至少应提价多少元？
例题分层分析
(1)把y＝420代入y＝30x＋120，解方程即可求得．
(2)根据图象求得成本p与x之间的函数表达式为：当0≤x≤9时，p＝________；当9＜x≤15时，p＝____________.根据利润等于出厂价减去成本列出等式，然后整理即可得到w与x的函数表达式为：当0≤x≤5时，w＝________；当5＜x≤9时，w＝__________；当9＜x≤15时，w＝________．再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答．
(3)根据(2)得出m＋1＝________，根据利润等于出厂价减去成本得出提价a与利润w的关系式为w＝__________，再根据题意列出不等式，求解即可．

解题方法点析
此类问题考查的是函数在实际生活中的应用，主要是利用函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数表达式．

类型3　函数与方程、不等式之间的关系
3 某农业观光园计划将一块面积为900 m2的园圃分成A，B，C三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株，已知B区域面积是A的2倍，设A区域面积为x m2.
(1)求该园圃栽种花卉总株数y关于x的函数表达式．
(2)若三种花卉共栽种6600株，则A，B，C三个区域的面积分别是多少？
(3)已知三种花卉的单价(都是整数)之和为45元，且差价均不超过10元，在(2)的前提下，全部栽种共需84000元，请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价．
例题分层分析
(1)设A区域面积为x m2，则B区域面积是______m2，C区域面积是________m2，根据每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株，即可解答．
(2)当y＝6600时，即可得到方程________，解之可得．
(3)设三种花卉的单价分别为a元、b元、c元，根据题意得方程组______________；整理得方程________，根据三种花卉的单价(都是整数)之和为45元，且差价均不超过10元，可得b＝________，c＝________，a＝________，即可解答．

解题方法点析
此类题目需根据题意构建函数模型，然后再与方程、不等式相互转化．
专 题 训 练
1．某市为提倡节约用水，采取分段收费的方法．若每户每月用水不超过20 m3，每立方米收费2元；若用水超过20 m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水________m3.
2．[2017·沈阳] 某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是________元时，才能在半月内获得最大利润．
3．[2017·河池] 某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．
(1)排球和足球的单价各是多少元？
(2)若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？

4．[2017·衢州] 五一期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．

图Z5－2
根据以上信息，解答下列问题：
(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；
(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．

5．小慧和小聪沿图Z5－3①中景区公路游览．小慧乘坐车速为30 km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20 km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆．图②中的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系．试结合图中信息回答：
(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？
(2)试求线段AB，GH的交点B的坐标，并说明它的实际意义．
(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30 km/h的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？

图Z5－3

参考答案
类型1　分析数量之间的相等或不等关系，建立方程(组)或不等式(组)
例1　【例题分层分析】
(1)
(2)200a＋170(30－a)≤5400
(3)(250－200)a＋(210－170)(30－a)＝1400
解：(1)设A，B两种型号的电风扇的销售单价分别为x元，y元，
依题意，得解得
答：A，B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元．
(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(30－a)台．
依题意，得200a＋170(30－a)≤5400，
解得a≤10.
答：A种型号电风扇最多能采购10台．
(3)依题意，得(250－200)a＋(210－170)(30－a)＝1400，解得a＝20，
∵a≤10，∴在(2)的条件下，超市不能实现利润为1400元的目标．
类型2　分析数量之间的对应关系，建立函数表达式
例2　【例题分层分析】
(2)4.1　0.1x＋3.2　102.6x　57x＋228　－3x2＋72x＋336
(3)13　510(a＋1.5)
解：(1)设李明第n天生产的粽子数量为420只，
由题意可知30n＋120＝420，
解得n＝10.
答：李明第10天生产的粽子数量为420只．
(2)当0≤x≤9时，p＝4.1；
当9＜x≤15时，设p＝kx＋b，
把(9，4.1)，(15，4.7)代入，得
解得∴p＝0.1x＋3.2.
①当0≤x≤5时，w＝(6－4.1)×54x＝102.6x，
当x＝5时，w最大＝513；
②当5＜x≤9时，w＝(6－4.1)×(30x＋120)＝57x＋228，
当x＝9时，w最大＝741；
③当9＜x≤15时，w＝(6－0.1x－3.2)×(30x＋120)＝－3x2＋72x＋336，
∵－3＜0，
∴当x＝12时，w最大＝768.
综上，当x＝12时，w有最大值，最大值为768.
(3)由(2)可知m＝12，m＋1＝13，
设第13天提价a元，
由题意，得
w13＝(6＋a－p)·(30x＋120)＝510(a＋1.5)，
∴510(a＋1.5)－768≥48，
解得a≥0.1.
答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．
类型3　函数与方程、不等式之间的关系
例3　【例题分层分析】
(1)2x　900－3x
(2)－21x＋10800＝6600
(3)
3b＋5c＝95　15　10　20
解：(1)y＝3x＋12x＋12(900－3x)＝－21x＋10800.
(2)当y＝6600时，－21x＋10800＝6600，
解得x＝200，
∴2x＝400，900－3x＝300.
答：A，B，C三个区域的面积分别是200 m2，400 m2，300 m2.
(3)设三种花卉的单价分别为a元、b元、c元，在(2)的前提下，分别种植甲、乙、丙三种花卉的株数为600株，2400株，3600株，
根据题意得
整理得3b＋5c＝95，
∵三种花卉的单价(都是整数)之和为45元，且差价均不超过10元，
∴b＝15，c＝10，∴a＝20，
∴种植面积最大的花卉总价为
2400×15＝36000(元)．
答：种植面积最大的花卉总价为36000元．
专题训练
1．28　[解析] 设该用户5月份实际用水x立方米，则20×2＋(x－20)×3＝64，解得x＝28.
2．35
3．解：(1)设排球单价为x元，足球单价为(x＋30)元，
由＝，解得x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，
∴x＋30＝80.
答：排球单价为50元，足球单价为80元．
(2)设买排球a个，足球b个，
则50a＋80b＝1200，即5a＋8b＝120，
∴a＝.
∵a，b为自然数，∴b＝0时，a＝24，
b＝5时，a＝16，
b＝10时，a＝8，
b＝15时，a＝0.
答：共有4种方案：0个足球和24个排球，5个足球和16个排球，10个足球和8个排球，15个足球和0个排球．
4．解：(1)由题意可知y1＝k1x＋80，且图象过点(1，95)，则有95＝k1＋80，∴k1＝15，
∴y1＝15x＋80(x≥0)，
由题意知y2＝30x(x≥0)．
(2)当y1＝y2时，解得x＝；
当y1＞y2时，解得x＜；
当y1＜y2时，解得x＞.
∴若租车时间为小时，则选择甲、乙公司一样合算；若租车时间小于小时，则选择乙公司合算；若租车时间大于小时，则选择甲公司合算．
5．解：(1)小聪从飞瀑到宾馆所用的时间为50÷20＝2.5(h) ,
∵小聪上午10：00到达宾馆，
∴小聪从飞瀑出发的时刻为10－2.5＝7.5，
∴小聪早上7：30从飞瀑出发．
(2)设直线GH的函数表达式为s＝kt＋b，
由于点G(，50)，点H (3, 0)，
则有 解得
∴直线GH的函数表达式为s＝－20t＋60,
又∵点B 的纵坐标为30，
∴当s＝30时，令－20t＋60＝30，解得t＝，
∴点B(，30).
点B的实际意义是：上午8：30小慧与小聪在离宾馆30km (即景点草甸) 处第一次相遇．
(3)设直线DF的函数表达式为s＝k1t＋b1，该直线过点D和 F(5，0)，
∵小慧从宾馆到飞瀑所用时间为50÷30＝(h)，
∴小慧从飞瀑准备返回时t＝5－＝，即D(，50)．
则有 解得 ∴直线DF的函数表达式为s＝－30t＋150,
∵小聪上午10：00到达宾馆后立即以30km/h的速度返回飞瀑，所需时间为50÷30＝.
HM为小聪返回时路程s(km)关于时间t(h)的函数关系，
∴点M的横坐标为3＋＝，点M(，50)，
设直线HM的函数表达式为s＝k2t＋b2，该直线过点H(3，0) 和点M(，50)，
则有解得∴直线HM的函数表达式为s＝30t－90，
由解得故返回途中小聪11：00遇见小慧．