应用弹塑性力学课后习题答案.doc

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附录Ⅱ 习题解答提示与参考答案
第二章 应力理论
2-1 σn=σ1l2+σ2m2,；式中l、m、n为斜截面外法线的方向余弦。
2-2 p=111.5A；σn=26A；τn=108.5A
2-3 提示：平面Ax+By+Cz+D=0的外法线的方向余弦为：(式中i=1，2，3或A，B，C)

答案：
2-4 略
2-5 (a)σ1=738.5；σ2=600；σ3=-338.5；τmax=538.5； 应力单位为MPa。
(b) σ1=700；σ2=600；σ3=-600；τmax=650； 应力单位为MPa。
2-6 σ1=3.732τ0；σ2=-0.268τ0；α=15º。
2-7 (材料力学解) 应力单位为MPa。
(弹塑性力学解) 应力单位为MPa。
2-8 σ1=107.3a；σ2=44.1a；σ3=-91.4a；
σ1主方向：(±0.314，0.900，0.305)；
σ2主方向：(±0.948，±0.282，±0.146)；
σ3主方向：(0.048，±0.337，0.940)。
2-9
；σ2=0；σ3=-σ1。
2-10、2-11 略
2-12 (1)略；(2)σ8=σm=5.333MPa；τ8=8.654MPa。
2-13 p8=59.5；σ8=25.0a；τ8=54.1a。
2-14

上式中S为静矩。材料力学解不满足平衡微分方程和边界条件。

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2-15
，Q为梁横截面上的剪力。提示：利用平衡微分方程求解。
2-16 σ1=17.083×103Pa；σ2=4.917×103Pa；σ3=0,=40º16′。
2-17 略
2-18
。
2-19 提示：将三个主方向的三组方向余弦分别两两一组代人式(2-12)证之。
2-20
。
2-21 在AA′上：σx=-γy，τxy=0； 在AB上：τxy=0，σy=-γh； 在BB′上：l1=cosα，l2=-sinα，l3=0； 则应力分量满足关系式：

2-22
。
2-23
。
2-24 τzx=-σztanα；σx=σztan2α。
2-25 在x=-ytanα处，

在x=ytanβ处:

2-26 A=0；B=-ρ1g；C=ρgcotβ-2ρ1gcot3β；。
2-27 (1)σ1=99.6A；σ2=58.6A；σ3=-138.2A；τmax=118.9A。
(2)σ1=99.6A；σ2=58.6A；σ3=-138.2A；τmax=118.9A。
(3)σ1=300.0A；σ2=220.7A；σ3=79.3A；τmax=110.4A。
2-28
。
2-29 (1)这组应力分量函数是可能存在的。
(2)在x=h处：σx=0，τxy=q； 在x=0处：σx=0，τxy=0；
在y=0处：；

第三章 变形的几何理论
3-1 (1)εx=2×10-3；εy=10-3；εz=-1.5×10-3；
γxy=3.67×10-3；γyz=-2.5×10-3；γzx=-0.5×10-3。
(2)ε=-2×10-3。
(3)γ=1.19×10-3。

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3-2 (1)u=(-2x-3y)10-3；v=(x+3y)10-3；
εx=2×10-3；εy=3×10-3；γxy=-2×10-3。
(2)。
(3)ε1=3.19×10-3；ε2=-2.19×10-3；ε3=-2.19×10-3；
ε1主应变方向余弦（±0.189,0.982,0）
3-3

3-4 εx=ε0º；εy=2ε60º+2ε120º-3ε0º；
；
3-5

3-6
；满足变形谐调条件。
3-7 (1)能满足变形谐调方程，该应变状态是可能存在的。
(2)应变分量不能满足全部变形谐调方程。因此，该应变状态是不可能存在的。
(3)该应变状态是可能存在的。
3-8 应变分量为：
(1)εx=a2；εy=a6；εz=0；γxy=a3+a5；γyz=0；γzx=0。
(2)εx=b2+2b4x+b5y；εy=b9+b11x+2b12y；εz=0；
γxy=(b3+b8)+(b5+2b10)x+(2b6+b11)y；γyz=0；γzx=0。
所得应变分量为常数或为z、Y线性函数，显然满足变形谐调条件。
3-9 εx=εy=εz=γxy=0；。
3-10、3-11略
3-12 (1)ε1=0；ε2=-2.764×10-3；ε3=-7.236×10-3；
(2)ε1(0，0，±l)；ε2(±0.53，0.86，O)；ε3(土0.86，±0．53，0)。
(3)γ8=5.96×10-3。
(4)I′1=-0.Ol；I′2=-2×10-5；l′3=0。
3-13 略
3-14
或为
式中u0、v0、ω0为物体的刚性平动分量；ωx、ωy、ωz为刚性转动分量。
3-15 应变分量满足变形谐调条件。位移分量为：

提示：位移边界条件为：(1)当x=y=0时，有u=v=0；(2)当x=y=0，z=l时，有ω=0。

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第四章 弹性变形·塑性变形·本构方程
4-1、4-2、4-3 略
4-4
。
4-5、4-6 略
4-7
。
4-8ε3=-9×10-5。
4-9 σl=0；σ2=-19.8MPa；σ3=-60MPa。
εl=3.76×10—4；ε2=0；ε3=-7.64×10-4。
4-10 σθ=28MPa。
4-11 略
4-12 E=1.5×104MPa。
4-13σz=18MPa；εx=1.052×10—4；εy4.33×10—5。
4-14 σx=σy=σz=τxy=0；τyz=(1十K)GAx；τxz=-(1+K)GAy。可以做弹性力学问题的可能解。
4-15 按Tresca条件，材料屈服；按Mises条件，材料不产生屈服；无变化。
4-16 。
4-17 两种情况下，Mises条件与Tresca条件完全一样。
4-18
。
4-19
4-20
，τ为扭转应力；或为：
。
4-21 若采用Tresea条件，则三种情况相同，即；
若采用Mises条件，则第一种情况下，，而第二、三种情况下，。
4-22 若采用Tresca条件，三者相同，即；
若采用Mises条件，则情况一中，情况二、三中。
4-23 (1)采用Tresca条件：；采用Mises条件：；
(2)采用Tresca条件：；采用Mises条件：。

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4-24 (1)按Prandtl-Reuss理论：
。
(2)按依留申理论：
4-25
。
4-26 提示：根据纯剪切计算出和代换τ=f(γ)的函数形式。。
第五章 弹性与塑性力学的基本解法
5-1 σx=-P；σy=-μP；σz=0；τxy=τyz=τzx=0；显然，此钢板处于平面应力状态。上述应力分量满足问题的边界条件。
5-2 ω=Cz+D，C和D为待定常数。
5-3 虽然应力分量满足平衡微分方程，但是不满足以应力分量表示的变形谐调条件，因而它不是弹性力学问题的解。
5-4 提示：由边界条件可知，当端面上面力的分布和任一横截面内剪应力的分布相同时，所给应力分量才是精确解，当仅满足整体合成积分形式的边界条件时，只是圣文南意义的解。
第六章 平面问题直角坐标解答
6-1 满足双调和方程，其应力分量在x=l的边界上不完全满足边界条件，在其余边界上满足边界条件。
6-2 能。面力为：
。
6-3 能。
。
6-4 能。。
6-5 σx=-q(x-2ycotα)cotα；σy=qy；τxy=qycotα
6-6 (1)略；(2)略；(3)
。
6-7 σx=pxcotα-2pycot2α；σy=-py；τxy=-pycotα。
提示：设该问题有代数多项式解，用量纲分析法确定应力函数的幂次。

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6-8 能。σx=-12ay2；σy=12ax2；τxy=0。
6-9 AB边界上：；
BO边界上：；
OC边界上：；
CA边界上：；
应力函数为：ψ=-q(a-x)(b-y)；应力分量为：σx=0；σy=0；τxy=q。
6-10
6-11
。
6-12
。
6-13 能。
。
第七章 平面问题极坐标解答
7-l 略
7-2 (σθ)max=4q；(σθ)min=-4q。
7-3 。
7-4
。
7-5
。
提示：①取应力函数为ψ=r2f(θ)(逆解法)；③用量纲分析或根据边界条件，设τrθ只与θ有关(半逆解法)。
7-6 略
7-7
。

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7-8 ps=σs。讨论：略。
7-9
，式中a、b分别为厚壁筒的内、外半径。
7-10
。
7-11
。
7-12

7-13

当α很小时，弹性力学结果与材料力学初等解趋于一致。
7-14
。
第八章 空间轴对称问题
8-1 略
8-2
。
8-3
。
第九章 能量理论·变分解法
9-1
。
9-2 略
9-3 令，则得：

上式中V为杆件的体积。令，则得：
。

174

9-4

9-5 自由端处的挠度为。
9-6 略
9-7

附录Ⅰ 张量的概念·下标记号法·求和约定
Ⅰ-1(1)Aii=A11+A22+A33(i=1,2,3)
(2)Bijj=Bi11+Bi22+Bi33，也即：

(3)

(4)aiTij=a1T1j+a2T2j+a3T3j也即：

(5)aibjSij=a1b1S11+a1b2S12+a1b3S13+a2b1S21+a2b2S22+a2b3S23+a3b1S31+ a3b2S32+a3b3S33；式中i、j=1，2，3。
Ⅰ-2 (1)3；（2）3；（3）3；（4）δjk；(5)Ajk。
Ⅰ-3 (1)6；（2）0。