1、动点轨迹问题的探究
厦门外国语学校 朱美蓉
教
学
目
标
知识与技能
了解运动过程中点的变化规律与点形成的轨迹之间的关系，并用数量关系表示出来
过程与方法
通过探究活动，让学生经历观察，猜想，分析，归纳，证明过程，感受知识发生发展到形成的变化过程，培养他们主动探究问题的能力
情感态度与价值观
在教学过程中逐步渗透朴素的辩证唯物主义思想；培养学生勇于探索的精神，让学生在探索的过程中，发现并掌握数形转化思想，获得成功的喜悦，增强学生学习数学的信心。
教学重点
了解动点的运动轨迹，并会用数量关
2、系刻画出来
教学难点
用数量关系刻画动点的运动轨迹
教学过程设计
问题与情境
师生活动
设计意图
课前准备
请大家在平面直角坐标系中描述出下列点的位置：
（1）（1，2）
（2）（x，2）
（3）（x，2x）
（4）（x，2x²）
教师：逐步提出问题，从简单的、熟练的点入手在平面直角坐标系中画出来，然后再一步一步引导学生做出、、，然后让学生观察，分析，归纳，发现、、这些动点的特征，引出轨迹的概念。
学生：动手作图，在平面直角坐标系中画出四个点的坐标，然后寻找每一个点的变化规律，并适当总结。
1.先从简单的点坐标入手，逐步深入，让学生有动点
3、轨迹的概念，而且在已有的知识基础上构建新知，让使得知识的产生变得自然。
2.引导学生多角度、多方位思考问题，有利于培养学生逻辑思维。
探究活动：
在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0,2）.在x轴上任取一点M，完成以下步骤：
连接AM，作线段AM的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P.
在x轴上多次改变点M的位置，用的方法得到相应的点P.
教师：请同学们动手按步骤画出下列图形,
（教师和学生共同作图）指导学生作图.
学生：在纸上作出探究活动中的图形，如下图：
N
培养学生的读题能力、动手作图能力
问题与情境
师生活动
设计意图
（1
4、 当点M与原点重合时，点P的坐标是 ；
（2） 当点M（-2,0）时，点P的坐标是 ；
（3） 当点M（6,0）时，点P的坐标是 ；
教师：我们发现P点是一个动点，那么P点为什么会运动？
学生：因为M点是动点，M发生变化，直线与都会发生变化，所以P点跟着发生变化.
教师：所以M是这个动点问题中的主动点，而P是从动点，当M固定不变时，P也就固定不变了,所以请大家求出下列不同条件下 P点的坐标
学生动手思考，在上面画出的图形中比较容易找到并求出（1）（2）的P点坐标.（1）中P（1,0），（2）中P（-2,2）
教师：对于（3）中P点坐标
5、不好直接看出来，那么如何求（3）中的P点坐标呢？
学生观察思考并计算求出（3）中P点坐标（6,10）
教师归纳总结：
方法1：相似根据△AOM∽△MNP得到
求得P点的坐标
方法2：勾股定理，根据垂直平分线可知PA=PM，过P作PQ⊥y轴于Q点，在Rt△PQA中求出PA，进而求出P点坐标
（求坐标我们常常转化成求线段的长度问题，再根据勾股，全等，相似的知识进行求解）
1.从简单的点坐标入手，逐步加深难度，符合学生的认知规律
2.通过探究，观察、猜想、分析、验证等过程找到P点的坐标 ，培养学生分析问题，解决问题的能力。同时为求P轨迹做铺垫
问题4
观察、猜想：众多的交点P形成
6、的图像是什么？你能求出该图像的表达式吗？
教师：请同学们按要求多画几个P点，然后用平滑的曲线将这些P点连接起来，观察图形的形状？
学生：画图，观察猜想，像一条抛物线
教师：如何证明它是一条抛物线，这条曲线是由P点运动形成的，所以我们知道P点的坐标满足这条曲线的表达式，所以要求曲线的表达式，实际上就是求点P横纵坐标满足的关系式。所以我们可以设P(x，y)，请大家根据条件去求x和y的关系，请同学上台解答。
学生：根据上面求P点坐标的过程，可以从相似和勾股定理两种方法来求它们的关系,得到关系是
1.经历动手实践，作图，猜想，验证的过程，让学生了解探究问题的过程。
2.求动点的
7、轨迹问题转化成数量关系的过程中培养学生的合情推理以及逻辑思维的严谨性。数形结合的方法也培养学生的数形转化思想
问题与情境
师生活动
设计意图
巩固练习
平面内一点P到点A(0，4)的距离与到直线y=-3的距离相等，求点P的运动轨迹的表达式。
学生动手解答，上台板演
教师巡视指导，先画图，结合图形求P点的表达式
巩固本节课所学知识，同时加深求动点的轨迹表达式，实际上就是找动点横纵坐标的关系式
问题6：课堂总结
同学们，这节课你们学习了什么知识呢？在探究问题的过程中用到了什么思想方法？
教师和学生一起总结
动点问题的切入点是先寻找主动点，明白主动点带动从动点是如何运动的
求动点轨迹的表达式，可以将动点当成是定点，以静制动，寻找等量关系
必要的总结和归纳可以提高学生思维的广度和深度，以及形成知识的系统性
作业：
厦外校本作业：
必做题，选做题，提高题
巩固强化所学知识
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