人教版高中数学《三角函数》全部教案.doc

第四章 三角函数
第一教时
教材：角的概念的推广
目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
过程：一、提出课题：“三角函数”
回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。
二、角的概念的推广
1． 回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”
2． 讲解：“旋转”形成角（P4）
突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”
“始边”往往合于轴正半轴
3． “正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法：角或 可以简记成
4． 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
1° 角有正负之分 如：a=210° b=-150° g=-660°
2° 角可以任意大
实例：体操动作：旋转2周（360°×2=720°） 3周（360°×3=1080°）
3° 还有零角 一条射线，没有旋转
三、关于“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
例如：30° 390° -330°是第Ⅰ象限角 300° -60°是第Ⅳ象限角
585° 1180°是第Ⅲ象限角 -2000°是第Ⅱ象限角等
四、关于终边相同的角
1．观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同
2．终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和
390°=30°+360°
-330°=30°-360° 30°=30°+0×360°
1470°=30°+4×360°
-1770°=30°-5×360°
3．所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合

即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和
4．例一 （P5 略）
五、小结： 1° 角的概念的推广
用“旋转”定义角 角的范围的扩大
2°“象限角”与“终边相同的角”
六、作业： P7 练习1、2、3、4
习题1.4 1

第三教时
教材：弧度制
目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集一一对应关系的概念。
过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制
它的单位是rad 读作弧度
o
r
C
2rad
1rad
r
l=2r
o
A
A
B
定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
如图：ÐAOB=1rad
ÐAOC=2rad
周角=2prad
1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
2． 角a的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）
3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
三、角度制与弧度制的换算
抓住：360°=2prad ∴180°=p rad
∴ 1°=

例一 把化成弧度
解： ∴
例二 把化成度
解：
注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行；
2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad sinp表示prad角的正弦
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）
4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
正角
零角
负角
正实数
零
负实数

任意角的集合 实数集R
四、练习（P11 练习1 2）
例三 用弧度制表示：1°终边在轴上的角的集合 2°终边在轴上的角的集合 3°终边在坐标轴上的角的集合
解：1°终边在轴上的角的集合
2°终边在轴上的角的集合
3°终边在坐标轴上的角的集合
例四 老《精编》P118-119 4、5、6、7
五、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化
六、作业： 课本 P11 练习 3、4 P12习题4.2 2、3
第四教时
教材：弧度制（续）
目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。
过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。
口答《教学与测试》P101-102练习题 1—5 并注意紧扣，巩固弧度制的概念，然后再讲P101例二
二、由公式： 比相应的公式简单
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
例一 （课本P10例三） 利用弧度制证明扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径。
o
R
S
证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为：
l
弧长为的扇形圆心角为
∴
比较这与扇形面积公式 要简单
例二 《教学与测试》P101例一 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴ ⑵
解： ⑴：
⑵： ∴
o
A
B

例三 如图，已知扇形的周长是6cm，该扇形
的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
解：设扇形的半径为r，弧长为，则有
∴ 扇形的面积
例四 计算
解：∵ ∴

∴
例五 将下列各角化成0到的角加上的形式
⑴ ⑵
解：
R=45
60

例六 求图中公路弯道处弧AB的长（精确到1m）
图中长度单位为：m
解： ∵
∴
三、练习：P11 6、7 《教学与测试》P102 练习6
四、作业： 课本 P11 -12 练习8、9、10
P12-13 习题4.2 5—14
《教学与测试》P102 7、8及思考题
第五教时
教材：任意角的三角函数（定义）
目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解a角与b=2kp+a(kÎZ)的同名三角函数值相等的道理。
过程：一、提出课题：讲解定义：
1． 设a是一个任意角，在a的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）
则P与原点的距离（图示见P13略）
2．比值叫做a的正弦 记作：
比值叫做a的余弦 记作：
比值叫做a的正切 记作：
比值叫做a的余切 记作：
比值叫做a的正割 记作：
比值叫做a的余割 记作：
注意突出几个问题： ①角是“任意角”，当b=2kp+a(kÎZ)时，b与a的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。
②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例子说明）
③三角函数是以“比值”为函数值的函数
④，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定（今后将专题研究）
⑤定义域：

二、例一 已知a的终边经过点P(2,-3)，求a的六个三角函数值
x
o
y
P(2,-3)
解：
∴sina=- cosa=
tana=- cota=-
seca= csca=-
例二 求下列各角的六个三角函数值
⑴ 0 ⑵ p ⑶ ⑷
解：⑴ ⑵ ⑶的解答见P16-17
⑷ 当a=时
∴sin=1 cos=0 tan不存在 cot=0
sec不存在 csc=1
例三 《教学与测试》P103 例一 求函数的值域
解： 定义域：cosx¹0 ∴x的终边不在x轴上
又∵tanx¹0 ∴x的终边不在y轴上
∴当x是第Ⅰ象限角时， cosx=|cosx tanx=|tanx| ∴y=2
…………Ⅱ…………,|cosx|=-cosx |tanx|=-tanx ∴y=-2
…………ⅢⅣ………, |cosx|=-cosx |tanx|=tanx ∴y=0
例四 《教学与测试》P103 例二
⑴ 已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值
⑵已知角a的终边经过P(4a,-3a),(a¹0)求2sina+cosa的值
解：⑴由定义 ： sina=- cosa= ∴2sina+cosa=-
⑵若 则sina=- cosa= ∴2sina+cosa=-
若 则sina= cosa=- ∴2sina+cosa=
三、小结：定义及有关注意内容
四、作业： 课本 P19 练习1 P20习题4.3 3
《教学与测试》P104 4、5、6、 7
第六教时
教材：三角函数线
目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”
二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义：
用单位圆中的线段表示三角函数值
三、新授：
2． 介绍（定义）“单位圆”—圆心在原点O，半径等于单位长度的圆
3． 作图：（课本P14 图4-12 ）
此处略 …… …… ……… …… ……
设任意角a的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，角a的终边也与单位圆交于P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于A、B两点
过P(x,y)作PM^x轴于M，过点A(1,0)作单位圆切线，与a角的终边或其反向延长线交于T，过点B(0,1)作单位圆的切线，与a角的终边或其反向延长线交于S
4． 简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示）
“有向线段”（带有方向的线段）
方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。
例：有向线段OM，OP 长度分别为
当OM=x时 若 OM看作与x轴同向 OM具有正值x
若 OM看作与x轴反向 OM具有负值x
5．
有向线段MP,OM,AT,BS分别称作
a角的正弦线,余弦线,正切线,余切线

四、例一．利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1° 与 2° tan与tan 3° cot与cot
A
B
o

T2
T1
S2 S1
P2
P1
M2 M1 S1
解： 如图可知：

tan tan
cot cot
例二 利用单位圆寻找适合下列条件的0°到360°的角
x
y
o
T
A
210°
30°
x
y
o
P1
P2
1° sina≥ 2° tana
解： 1° 2°

30°≤a≤150° 30°a90°或210°a270°
x
y
o
P1
P2
M1
M2
例三 求证：若时，则sina1sina2
证明： 分别作a1,a2的正弦线x的终边不在x轴上
sina1=M1P1 sina2=M2P2
∵
∴M1P1 M2P2 即sina1sina2

五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线
六、作业： 课本 P15 练习 P20习题4.3 2
补充：解不等式：()
1°sinx≥ 2° tanx 3°sin2x≤
第七教时
教材：三角函数的值在各象限的符号
目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此熟练地处理一些问题。
过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值
二、提出课题 然后师生共同操作：
1． 第一象限：∴sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0
第二象限：∴sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0
第三象限：∴sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0
第四象限：∴sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0
记忆法则：
为正 全正
为正 为正
2． 由定义：sin(a+2kp)=sina cos(a+2kp)=cosa tan(a+2kp)=tana
cot(a+2kp)=coa sec(a+2kp)=seca csc(a+2kp)=csca
三、例一 （P18例三 略）
例二 （P18例四）求证角q为第三象限角的充分条件是
证：必要性：
若q是第三象限角，则必有sinq0,tanq0
充分性：
若⑴ ⑵ 两式成立 ∵若sinq0 则q角的终边可能位于第三、第四象限，也可能位于y轴的非正半轴
若tanq0，则角q的终边可能位于第一或第三象限
∵⑴ ⑵ 都成立 ∴q角的终边只能位于第三象限
∴角q为第三象限角
例三 （P19 例五 略）
四、练习：
1． 若三角形的两内角a，b满足sinacosb0，则此三角形必为…………（B）
A：锐角三角形 B：钝角三角形 C：直角三角形 D：以上三种情况都可能
2． 若是第三象限角，则下列各式中不成立的是……………………………（B）
A：sina+cosa0 B：tana-sina0
C：cosa-cota0 D：cotacsca0
3． 已知q是第三象限角且，问是第几象限角？
解：∵
∴ 则是第二或第四象限角
又∵ 则是第二或第三象限角
∴必为第二象限角
4． 已知，则q为第几象限角？
解： 由 ∴sin2q0
∴2kp2q2kp+p ∴kpqkp+
∴q为第一或第三象限角
五、小结：符号法则，诱导公式
六、作业： 课本 P19 练习4,5,6
P20-21习题4.3 6-10
第八教时
教材：同角三角函数的基本关系
目的：要求学生能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系，并能正确运用进行三角函数式的求值运算。
过程：
一、 复习任意角的三角函数的定义：
计算下列各式的值：

二、1．导入新课：引导学生观察上述题目的结果（并像公式“方向”引导）
引导猜想：
2．理论证明：（采用定义）

3．推广：这种关系称为平方关系。类似的平方关系还有：
这种关系称为商数关系。类似的商数关系还有：

这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有：
4．点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系。
5．注意：
1°“同角”的概念与角的表达形式无关，
如：
2°上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。
3°据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。
三、 例题：
例一、（课本P25 例一） 略
注：已知角的象限，利用平方关系，也只可能是一解。
例二、（课本P25 例二） 略
注：根据已知的三角函数值可以分象限讨论。
例三、（课本P25 例三） 略
实际上： 即

而

四、 小结：三种关系，八个公式
五、 作业：P27 练习 1—4
P27—28 习题4．4 1—4

第九教时
教材：同角三角函数的基本关系(2)——求值
目的：要求学生能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧。
过程：
二、 复习同角的三角函数的基本关系：
练习：已知
解：若a在第一、二象限则

若a在第三、四象限，则

六、 例一、（见P25 例四）化简：
解：原式
例二、已知，求
解：

强调（指出）技巧：1°分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式
2°“化1法”
例三、已知，求
解：将 两边平方，得：

例四、已知

解：由题设：
∴

()
例五、已知，求
解：1° 由
由
联立：
2°
例六、已知 求
解：∵sin2a + cos2a = 1 ∴
化简，整理得：
当m = 0时，
当m = 8时，
七、 小结：几个技巧
八、 作业：《课课练》P12 例题推荐 1、2、3
P13 课时练习 6、7、8、9、10
P14 例题推荐 1
《精编》P35 14

第十教时
教材：同角三角函数的基本关系(3)——证明 《教学与测试》第50课
目的：运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。
过程：
三、 复习同角的三角函数的基本关系：
例：（练习、《教学与测试》P25 例一）
已知，求
解： 即：
九、 提出课题：利用同角的三角函数的基本关系证明三角恒等式（或化简）
例一、（见P25 例四）化简：
解：原式
例二、已知（《教学与测试》例二）
解：

（注意象限、符号）
例三、求证： （课本P26 例5）
证一：
（利用平方关系）
证二：
（利用比例关系）
证三：
（作差）
例三、已知方程的两根分别是，
求 （《教学与测试》 例三）
解：
（化弦法）
例四、已知
证：由题设：

例五、消去式子中的
解：由
由
（平方消去法）
例六、（备用）已知
解：由题设： ①
②
①/②： ③
①+③：

十、 小结：几种技巧
十一、 作业：课本P27 练习 5，6，
P28 习题4.4 8，9
《教学与测试》P106 4，5，6，7，8，思考题
第十一教时
教材：诱导公式（1） 360° k + a, 180° - a, 180° + a, 360° - a, - a
目的：要求学生掌握上述诱导公式的推导过程，并能运用化简三角式，从而了解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想。
过程：
一、 诱导公式的含义：
任意角的三角函数 0°到360°角的三角函数 锐角三角函数
sin(360°k+a) = sina, cos(360°k+a) = cosa.
tan(360°k+a) = tga, cot(360°k+a) = ctga.
sec(360°k+a) = seca, csc(360°k+a) = csca
二、 诱导公式
1． 公式1：（复习）

2． 对于任一0°到360°的角，有四种可能（其中a为不大于90°的非负角）
（以下设a为任意角）
x
y
o
P (x,y)
3． 公式2：
设a的终边与单位圆交于点P(x,y)，则180°+a终边与单位圆交于点P’(-x,y)
∴ sin(180°+a) = -sina, cos(180°+a) = -cosa.
P (-x,-y)
tan(180°+a) = tga, cot(180°+a) = ctga.
sec(180°a) = -seca, csc(180°+a) = -csca

x
y
o
P’(x,-y)
P(x,y)
M
4．公式3：
如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得：
sin(-a) = -sina, cos(-a) = cosa.
tan(-a) -tana, cot(-a) = -cota.
sec(-a) = seca, csc(-a) = -csca

5． 公式4： sin(180°-a) = sin[180°+(-a)] = -sin(-a) = sina,
cos(180°-a) = cos[180°+(-a)] = -cos(-a) = -cosa,
同理可得： sin(180°-a) = sina, cos(180°-a) = -cosa.
tan(180°-a) = -tana, cot(180°-a) = -cota.
sec(180°-a) = -seca, csc(180°-a) = csca

6．公式5： sin(360°-a) = -sina, cos(360°-a) = cosa.
tan(360°-a) = -tana, cot(360°-a) = -cota.

sec(360°-a) = seca, csc(360°-a) = -csca
三、小结：360° k + a, 180° - a, 180° + a, 360° - a, - a的三角函数值等于a的同名三角函数值再加上一个把a看成锐角时原函数值的符号
四、 例题：P29—30 例一、例二、例三
P31—32 例四、例五、例六 略
五、 作业：P30 练习
P32 练习
P33 习题4.5
第十二教时
教材：诱导公式（2） 90° k ± a, 270° ± a,
目的：能熟练掌握上述诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，同时学会另外四套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。
过程：
三、 复习诱导公式一至五：
练习：1．已知
解：

2．已知
解：
四、 诱导公式
sin(90° -a) = cosa, cos(90° -a) = sina.
tan(90° -a) = cota, cot90° -a) = tana.
sec(90° -a) = csca, csc(90° -a) = seca
1． 公式6：（复习）

x
y
o
P’
P(x,y)
M
M
M’
2． 公式7：
如图，可证： 则
sin(90° +a) = M’P’ = OM = cosa
sin(90° +a) = cosa, cos(90° +a) = -sina.
tan(90° +a) = -cota, cot(90° +a) = -tana.
sec(90° +a) = -csca, csc(90°+a) = seca
cos(90° +a) = OM’ = PM = -MP = -sina
从而：

或证：sin(90° +a) = sin[180°- (90° -a)] = sin(90° -a) = cosa
cos(90° +a) = cos[180°- (90° -a)] = -sin(90° -a) = -cosa
sin(270° -a) = -cosa, cos(270° -a) = -sina. tan(270° -a) = cota, cot(270° -a) = tana.
sec(270° -a) = -csca, csc(270°-a) = seca
3． 公式8：sin(270° -a) = sin[180°+ (90° -a)] = -sin(90° -a) = -cosa
（其余类似可得，
学生自己完成）

sin(270° +a) = -cosa, cos(270° +a) = sina.
tan(270° +a) = -cota, cot(270° +a) = -tana.
sec(270° +a) = csca, csc(270°+a) = -seca

4． 公式9：
（学生证明）

三、小结：90°± a, 270° ± a的三角函数值等于a的余函数的值，前面再加上一个把a看成锐角时原函数值的符号
六、 例一、
证：
左边 = 右边 ∴等式成立
例二、
解：
例三、
解：
从而：
例四、
解：
七、 作业：1.
2.
《课课练》P16—17 课时9 例题推荐 1—3 练习 6—10
第十三教时
教材：诱导公式(3)——综合练习
目的：通过复习与练习，要求学生能更熟练地运用诱导公式，化简三角函数式。
过程：
四、 复习：诱导公式
十二、 例一、（《教学与测试》 例一）计算：sin315°-sin(-480°)+cos(-330°)
解：原式 = sin(360°-45°) + sin(360°+120°) + cos(-360°+30°)
= -sin45° + sin60° + cos30° =
小结：应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：
1°用“- a”公式化为正角的三角函数
2°用“2kp + a”公式化为[0，2p]角的三角函数
3°用“p±a”或“2p - a”公式化为锐角的三角函数
例二、已知（《教学与测试》例三）
解：
小结：此类角变换应熟悉
例三、求证：
证：若k是偶数，即k = 2 n (nÎZ) 则：

若k是奇数，即k = 2 n + 1 (nÎZ) 则：

∴原式成立
小结：注意讨论
例四、已知方程sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p)，求的值。
（《精编》 38例五
解： ∵sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p) ∴- sin(3p - a) = 2cos(4p - a)
∴- sin(p - a) = 2cos(- a) ∴sina = - 2cosa 且cosa ¹ 0
∴
例五、已知
（《精编》P40 例八）
解：由题设：
由此：当a ¹ 0时，tana < 0, cosa < 0, a为第二象限角，

当a = 0时，tana = 0, a = kp, ∴cosa = ±1，
∵ ∴co