高考文科数学试题及答案湖南卷.doc

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2008年普通高等学校招生全国统一考试 （湖南卷）
文科数学能力测试

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，，则( )
A．
C． D.
【答案】B
【解析】由，，，易知B正确.
2．“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由得，所以易知选A.
3．已条变量满足则的最小值是( )
A．4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点
分别为代入验证知在点
时,最小值是故选C.
4.函数的反函数是( )

【答案】B
【解析】用特殊点法,取原函数过点则其反函数过点验证知只有答案B满足.也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。

5.已知直线m,n和平面满足,则( )
或 或
【答案】D
【解析】易知D正确.
6．下面不等式成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 , 故选A.
7．在中，AB=3，AC=2，BC=，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由余弦定理得所以选Ｄ.
8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，
则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是( )
A．15 B．45 C．60 D．75
【答案】C
【解析】用直接法：
或用间接法：故选Ｃ.
9．长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，
则顶点A、B间的球面距离是( )
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】设
则
故选Ｂ.

10．若双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

而双曲线的离心率故选Ｃ.

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上。
11．已知向量，，则||=_____________________.
【答案】２
【解析】由
12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：
性别
人数
生活能
否自理
男
女
能
178
278
不能
23
21

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。
【答案】60
【解析】由上表得
13．记的展开式中第m项的系数为，若，则=__________.
【答案】5
【解析】由得
所以解得

14．将圆沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是________,若过点（3，0）的直线和圆C相切，则直线的斜率为_____________.
【答案】,
【解析】易得圆C的方程是,
直线的倾斜角为,
所以直线的斜率为
15．设表示不超过x的最大整数，（如）。对于给定的,
定义则________;
当时，函数的值域是_________________________。
【答案】
【解析】当时，当时，
所以故函数的值域是.

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求：
（I）至少一人面试合格的概率；
（II）没有人签约的概率。

解：用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A,B,C相互独立，
且
（I）至少有一人面试合格的概率是

（II）没有人签约的概率为

17．（本小题满分12分）
已知函数.
（I）求函数的最小正周期；
（II）当且时，求的值。
解：由题设有．
（I）函数的最小正周期是
（II）由得即
因为,所以
从而
于是

18．（本小题满分12分）

如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是CD的中点，PA底面ABCD，。
（I）证明：平面PBE平面PAB
（II）求二面角A—BE—P的大小。

解：解法一（I）如图所示, 连结由是菱形且知，
是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以
又所以
又因为PA平面ABCD，平面ABCD，
所以而因此 平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB,
所以
又所以是二面角的平面角．
在中, ．
故二面角的大小为
解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是

（I）因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.从而平面PAB.
又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）易知设是平面PBE的一个法向量,
则由得 所以
故可取而平面ABE的一个法向量是
于是,．
故二面角的大小为

19（本小题满分13分）
已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为。
（I）求椭圆的方程；
（II）若存在过点A（1，0）的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上，求的取值范围。
解：（I）设椭圆的方程为
由条件知且所以
故椭圆的方程是
（II）依题意, 直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是
设点关于直线的对称点为则
解得
因为点在椭圆上，所以即

设则

因为所以于是,
当且仅当
上述方程存在正实根,即直线存在.
解得所以
即的取值范围是

20．（本小题满分13分）
数列满足
（I）求，并求数列的通项公式；
（II）设，，，
求使的所有k的值，并说明理由。
解：（I）因为所以

一般地, 当时，

即所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，
因此
当时，
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列的通项公式为

（II）由（I）知，

于是.
下面证明: 当时，事实上, 当时，
即
又所以当时，
故满足的所有k的值为3,4,5.

21．（本小题满分13分）
已知函数有三个极值点。
（I）证明：；
（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。
解：（I）因为函数有三个极值点,
所以有三个互异的实根.
设则
当时， 在上为增函数;
当时， 在上为减函数;
当时， 在上为增函数;
所以函数在时取极大值,在时取极小值.
当或时,最多只有两个不同实根.
因为有三个不同实根, 所以且.
即,且,
解得且故.

（II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点.
不妨设为（），则
所以的单调递减区间是,
若在区间上单调递减，
则, 或,
若,则.由（I）知，,于是
若,则且.由（I）知，
又当时，;
当时，.
因此, 当时，所以且
即故或反之, 当或时，
总可找到使函数在区间上单调递减.
综上所述, 的取值范围是.