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第四章 机械振动和机械波
机械振动是指物体在一定的位置附近做往复运动。
当一个系统的状态发生变化时，若某个物理量围绕在某一定值附近反复变化，则此量也可看作是在振动。振动在空间的传播过程称为波。机械振动的传播过程就形成了机械波。简谐振动是最简单的机械振动。其任何复杂的振动可以分解为若干个不同频率，不同振幅的简谐振动。
简谐波：简谐振动及其传播过程的反映。
4-1 简谐振动的基本概念和规律
一* 简谐振动的动力学方程及其解（运动方程）
类型：水平弹簧振子的运动
振子加速度的大小与位移成正比，方向与位移方向相反。
若满足： d2x/dt2+(k/m)x=0，则此运动形式为简谐振动。
类型二：单摆
单摆可以看作是定轴转动的刚体，由转动定理能列出方程： -mglsin@=--mgl@(M=TR,T=mg,R=lsin@)
又：当@～0时，sin@～@，则由转动定理有，-mgl@=-ml2ß@
同理可得：d2@/dt2+(g/l)@=0,即该振动类型为简谐振动。
从类型一，二可得：d2x/dt2+w2x=0 则该运动为简谐振动， 其中 w=k/m ,g/l
振动物体的加速度总是与位移大小成正比，方向向反。简谐振动可以是受到弹力或与弹力的规律完全相似的规律的力矩（力矩与角位移的大小成正比，方向相反）
运动学方程形式： x=Acos(wt+a)（振子振动方程，在任意时刻质点距离平衡位置的位移）
由v=dx/dt 得，v=-Awsin(wt+a) （ 在任意时刻质点的速度）a=d2x/dt2
a=-Aw2cos(wt+a)=-w2x
简谐振动的位移、速度、加速度都是随时间周期性变化的简谐函数。
二 * 描述简谐振动的特征量
1）振幅
振幅是指简谐振动的物体偏离平衡位置的最大位移的绝对值。用A表示，振幅的大小取决于振动系统的初始状态，a(初相)由系统的初始状态。 振幅大小由x=Acosa,v0=-Awsina},求得A= 由上式可得，a=arttan(-v/wx)
2)相位与初相
振子的运动方程（物体在任意t时刻的振动方程）x=Acos(wt+a) ,其中(wt+a)是系统的相位。t=0时，a是初相
相是表示系统状态的重要特征量
类型题：水平弹簧振子的振动过程
在整个振动过程中不同时刻的相，决定了系统在该时刻的位置和速度。系统任意时刻的位置速度由相决定。
同一振动系统在不同时刻的状态，或比较在不同振动系统在同一时刻的状态。
当波沿同一方向传播时，若φ1>φ2，则振动状态1超前于状态2，振动步调相同，即相位相同。
3）周期和频率
简谐振动是具有周期性的运动，周期是物体做一次完全振动所需要的时间。
T=2Π/T w2=k/m w2=l/g w=2Πf w圆频率
简谐振动的周期和频率完全是由振动系统自身性质决定与系统的振动状态无关。
周期，频率，圆频率均是固定的
相关类型题：弹簧振子的简谐振动及其求解相关物理量
三* 简谐振动的几何描述---旋转矢量法
通过一参考圆进行描述：t=0时，质点在圆上，对应的角弧度为a（按逆时针方向旋转），当运动t时间后，为wt+a ,其分别对应的投影为x=Acosa x`=Acos(wt+a) ,即此几何图形能反映初简谐振动的特征。
所谓的x=Acos(wt+a)是指质点在任意t时刻距离平衡位置的位移
利用旋转矢量法能够反映出简谐振动的形式
相关类型题： 用旋转矢量法求解质点做简谐振动的位移及在何时再一次到达x处的问题
四* 简谐振动的能量
物体所受弹力为保守力，随着物体位置的变化势能会变
Ek=(1/2)mv2 Ep=(1/2)kx2
代入w2=k/m得，E=Ek+Ep=kA2/2
系统的总能量与振幅A的平方成正比

4-5 机械波的产生及其特征
一*机械波的形成条件
物体在振动时要与周围的物质发生相互作用，因而能量要向四周传递。
形成机械振动的传播过程（机械波）
机械波的形成需要两个条件：
（1）波源 （2）弹性介质
弹性介质是由无穷的、相互间以弹力连接在一起的连续分布的物质。
机械波的类型：横波和纵波
当传波介质中各个质点的振动方向与波的传播方向相互垂直时，为横波。
当传波介质中各个质点的振动方向与波的传播方向相互平行时，为纵波。
空气的声波属于纵波
机械波传波介质中各个质点不随波迁移，机械波的传播方向、传播速度与传波介质中各个质点的振动方向，振动速度是不同的概念

二*描述波动的特征量
单位时间内，波前进距离中完整波的数目，叫做波的频率
振源完成一次全振动，相位向前传播一个波长(波的周期=质元的振动周期)
三*波动的几何描述
波振面： 任一时刻，介质中各振动相位相同的点的连接成的面
波前：波传播到达最全面的波振面波前
球面波：波振面为球面的波
波射线：沿波的传播方向作一带箭头的线
在各向同性的均匀介质中，波射线恒与波振面垂直，平面波的波射线是垂直于波振面的平行直线，球面波的波射线是沿半径方向的直线。

4-6平面简谐波
简谐波：当波源简谐振动时，传播介质的各个质点也在简谐振动，且振动的频率与波源相同
一*平面简谐波的波动方程
平面简谐波的传播方向及任意时刻对应的振动振动方程推出，当波向右传播时：波动方程为，
Y=Acos[w(t-x/u)+a],代入u=λ/T 得，y=Acos[2Π(νt-x/λ)+a] 同理 当波向左传播时，y=Acos[w(t+x/u)+a]
*对于振动方程与波动方程的变换
当已知方程Y=Acos[w(t-x/u)+a],令x=x0,则表示坐标为x0的指定质点的振动方程，由此作出其振动图像。 当t=t0时，则表示在此时刻质点偏离平衡位置的空间分布（t0时刻的波动图像），当t=0时，初相为 (–wx/u)+a,在同一列波线上坐标为x1,x2的任意两点间的相位差φ1-φ2=w(x2-x1)=2Л(x2-x1)/λ x2-x1 为波程差
振动图像反映了同一质点在不同时刻偏离平衡位置的位移
波动图像反映的是任意质点在t时刻的波形
相关题型：振动与波动的综合分析
同一波线上质点的振动状态相同，则对应的相相同
可以由φ1-φ2=w(x2-x1)=2Л(x2-x1)/λ 求解
由波动图像求解振动图像：“上坡下坡法”
波动图像中在0-Л内，若y>0，在Л-2Л内若y<0
则对应的振动图像中0-Л内，下坡，Л-2Л上坡
二*波的能量和能流
1）波的能量
动能和势能的总和为质元含有的波的能量
由Ek=(1/2)mv2 ,m=v, Y=Acos[w(t-x/u)] 得，
Ek=(1/2) vw2A2sin2[w(t-x/u)],Ek=Ep
质元的动能、弹性势能、机械能，同时到达最大值（最小值）
能量密度：单位体积的介质中波具有的能量 W=⊿W/⊿V= w2A2sin2[w(t-x/u)]
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值 （任意时刻沿波线方向在一个波长范围内的空间能量的平均值）=（1/2） w2A2
2）波的能流:波在传播过程中，单位时间内通过某一单位面积的波的能量（P） P=wsu,s是投影面积，== 波的能流密度：单位时间内通过与波速方向垂直的单位面积的波的能量，对其取平均值得，平均能流密度（波的强度） I=/s=(1/2) w2A2u I= u 3)波的振幅：平面波A1=A2, 球面波 A=A1/r
4-7 波的传播
一 * 惠更斯原理
在波的传播过程中，波前上的每一点都可以看成事发生子波的波源，在t时刻这些子波，经⊿t时间后形成半径为u⊿t的球波面，在波的前进方向上这些子波的包迹就是t+⊿t时刻的新波面。
二* 波的反射与折射
反射定律：当波从一种介质进入另一种介质时，一部分要从界面返回，形成反射波，而进入另一种介质的部分则会改变传播方向形成折射波。入射线与法线的夹角（入射角）=反射线与法线的夹角（反射角）
三*波的衍射
波在传播过程中遇到障碍物时，传播方向发生改变，能绕过障碍物的现象。
4-8 波的干涉 驻波
一* 波的叠加原理
波的传播具有独立性
波的叠加原理：在几列波相遇的区域里，任一质元的位移等于各列波单独传播时所引起的位移的矢量和
二*波的干涉
相干波：两列波的频率相同、振动方向相同、相位或相位差恒定
干涉：两列相干波在传播的过程中相遇，有的地方振动始终加强，有的地方振动始终减弱，整个传波空间造成一种各质点振动强弱稳定分布的图像。
例如：两列相干波由波源处分别传播r1,r2,相遇后所引起的振动为合振动，由振动方程得，y=y1+y2 y1=A1cos(wt+a1-2Лr1/λ) y2=A2cos(wt+a2-2Лr2/λ) △φ=2Л(r2-r1)/ λ 得，当振幅最大时A=A1+A2 △φ=
当△φ=+Л时，振幅最小
空间各振动是否加强主要取决于两相干波源的波程差 r2-r1
三*驻波
驻波在每一时刻都有一定的波形，该波形是驻定不传播的，驻波是分段振动。
驻波是由频率、振动方向和振幅都相同，传播方向相反的两列简谐波叠加形成。
驻波波形不移动，都以相同的频率振动，各点的振幅不同，有些振幅最大（波腹），有些始终静止不动（波节）驻波的波函数不是行波,相位和能量都不发生变化 Y=2Acos(2Лx/λ)coswt
波腹的位置：x=λk/2 k=0,-1,1,-2,2…… 波节的位置： x=λk/2+λ/4 k=0,-1,1,-2,2……
相邻两波腹之间，或相邻波节之间的距离都是λ/2，而相邻波节和波腹之间的距离为λ/4
四*半波损失
波从波疏介质入射到波密介质，则在界面处的反射波有半波损失，从波密介质射到波疏介质无半波损失。