高二数学椭圆试题(有答案).doc

高二数学椭圆试题
一：选择题
1.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（　　）

A．
m＞2或m＜﹣1
B．
m＞﹣2
C．
﹣1＜m＜2
D．
m＞2或﹣2＜m＜﹣1

解：椭圆的焦点在x轴上
∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0
解得m＞2或m＜﹣1
又∵2+m＞0
∴m＞﹣2
∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1
故选D
2.已知椭圆，长轴在y轴上、若焦距为4，则m等于（　　）

A．
4
B．
5
C．
7
D．
8

解：将椭圆的方程转化为标准形式为，
显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，
，解得m=8
故选D
3．椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1的长轴长是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：由椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1，化成标准方程：
由于
，
∴椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1的长轴长是2a=2=．
故选B．
4．已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

解：由椭圆定义有4a=8
∴a=2，所以k+2=a2=4
∴k=2．
从而b2=k+1=3，c2=a2﹣b2=1，所以，
故选A
5．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　）

A．
（x≠0）
B．
（x≠0）

C．
（x≠0）
D．
（x≠0）

解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），
∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，
∵12＞8
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a=6，c=4
∴b2=20，
∴椭圆的方程是
故选B．
6．方程=10，化简的结果是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：根据两点间的距离公式可得：
表示点P（x，y）与点F1（2，0）的距离，表示点P（x，y）与点F2（﹣2，0）的距离，
所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10，
因为|F1F2|=2＜10，
所以由椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，并且a=5，c=2，
所以b2=21．
所以椭圆的方程为：．
故选D．
7．设θ是三角形的一个内角，且，则方程x2sinθ﹣y2cosθ=1表示的曲线是（　　）

A．
焦点在x轴上的双曲线
B．
焦点在x轴上的椭圆

C．
焦点在y轴上的双曲线
D．
焦点在y轴上的椭圆

解：因为θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=，所以，θ∈（ ，π），
且|sinθ|＞|cosθ|，所以θ∈（ ，），从而cosθ＜0，
从而x2sinθ﹣y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆．
故选 D．
8.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：设点P在x轴上方，坐标为，
∵△F1PF2为等腰直角三角形
∴|PF2|=|F1F2|，即，即
故椭圆的离心率e=
故选D
9.从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：依题意，设P（﹣c，y0）（y0＞0），
则+=1，
∴y0=，
∴P（﹣c，），
又A（a，0），B（0，b），AB∥OP，
∴kAB=kOP，即==，
∴b=c．
设该椭圆的离心率为e，则e2====，
∴椭圆的离心率e=．
故选C．
10.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（　　）

A．
2
B．
3
C．
6
D．
8

解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，
因为，，
所以==，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，
因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，
故选C．

11.如图，点F为椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

解：设线段PF的中点为M，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM是△FPF′的中位线，
∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知 PF=2a﹣PF′=2a﹣2b，
又 MF=PF=（2a﹣2ba﹣b，又OF=c，
直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，
可求得离心率 e==，故答案选 B．
12．椭圆顶点A（a，0），B（0，b），若右焦点F到直线AB的距离等于，则椭圆的离心率e=（　　）

A．

B．

C．

D．

解：由题意可得直线AB的方程为即bx+ay﹣ab=0，F（c，0）
∴F（c，0）到直线AB的距离d==，|AF|=a﹣c
则
∴a2=3b2
∴a2=3a2﹣3c2
即3c2=2a2
∴=
故选B

13．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，且|PF1||PF2|的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中c=．则椭圆的离心率的取值范围为（　）

A．
[，]
B．
[，1）
C．
[，1）
D．
[，]

解：∵|PF1|•|PF2|的最大值=a2，
∴由题意知2c2≤a2≤3c2，
∴，
∴．故椭圆m的离心率e的取值范围 ．
故选A．
14．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代入得，
根据椭圆的几何性质，|PF2|≥a﹣c，故，即a≤3c
，故，即，又e＜1，
故该椭圆离心率的取值范围是．
故选B．
二：填空题
15.已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=　3　．

解：由题意知△PF1F2的面积=，
∴b=3，
故答案为3．
16．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是　4＜k＜7　．

解：∵+=1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴k﹣1＞7﹣k＞0．
∴4＜k＜7．
故k的取值范围是4＜k＜7．
故答案为：4＜k＜7．
17.已知椭圆的焦距为2，则实数t=　2，3，6　．

解：当t2＞5t＞0即t＞5时，a2=t2，b2=5t
此时c2=t2﹣5t=6
解可得，t=6或t=﹣1（舍）
当0＜t2＜5t即0＜t＜5时，a2=5t，b2=t2
此时c2=a2﹣b2=5t﹣t2=6
解可得，t=2或t=3
综上可得，t=2或t=3或t=6
故答案为：2，3，6
18.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=　　．

解：利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8
由正弦定理得=
故答案为
19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为
　　．

解：设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，
故，
解得，
故答案为．

20.若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）做圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是　　．

解：设切点坐标为（m，n）则
即
∵m2+n2=1
∴m
即AB的直线方程为2x+y﹣2=0
∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点
∴2c﹣2=0；b﹣2=0
解得c=1，b=2
所以a2=5
故椭圆方程为
故答案为
三：解答题
21.已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点．
（1）求|PF1|•|PF2|的最大值；
（2）若∠F1PF2=60°且△F1PF2的面积为，求b的值．

解：（1）∵P点在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=|2a=20，
∵|PF1|＞0，|PF2|＞0，∴|PF1|•|PF2|≤=100，
∴|PF1|•|PF2|有最大值100．
（2）∵a=10，|F1F2|=2c．
设|PF1|=t1，|PF2|=t2，
则根据椭圆的定义可得：t1+t2=20①，
在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，
所以根据余弦定理可得：t12+t22﹣2t1t2•cos60°=4c2②，
由①2﹣②得3t1•t2=400﹣4c2，
所以由正弦定理可得：=．
所以c=6，
∴b=8．
22.如图，F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a，b 的值．

解：（Ⅰ）∠F1AF2=60°⇔a=2c⇔e==．
（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，
在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2﹣2|BF2||F1F2|cos120°
⇔（2a﹣m）2=m2+a2+am．⇔m=．
△AF1B面积S=|BA||F1F2|sin60°
⇔=40
⇔a=10，
∴c=5，b=5．

23.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为（a＞0，b＞0），且可知左焦点为
F（﹣2，0），从而有，解得c=2，a=4，
又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为．
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，
由得3x2+3tx+t2﹣12=0，
因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）2﹣4×3（t2﹣12）≥0，解得﹣4≤t≤4，
另一方面，由直线OA与l的距离4=，从而t=±2，
由于±2∉[﹣4，4]，所以符合题意的直线l不存在．
24.设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
（1）求E的离心率；
（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程

解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，
得l的方程为y=x+c，其中．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组
化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0
则
因为直线AB斜率为1，得，故a2=2b2
所以E的离心率
（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．
由|PA|=|PB|，得kPN=﹣1，
即
得c=3，从而
故椭圆E的方程为．
25.设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若求k的值．

解：（I）根据椭圆方程为．
∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，
∴=，
∵离心率为，∴=，
解得b=，c=1，a=．
∴椭圆的方程为；
（II）直线CD：y=k（x+1），
设C（x1，y1），D（x2，y2），
由消去y得，（2+3k2）x2+6kx+3k2﹣6=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），
∴
=（x1﹣，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1）
=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，
=6+=8，解得k=．
26.设椭圆E：，O为坐标原点
Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且？若存在，写出该圆的方程，关求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．

解：（1）因为椭圆E：（a，b＞0）
过M（2，），N（，1）两点，
所以解得
所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，
使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，
且，设该圆的切线方程为y=kx+m解方程组
得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，
则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，
即8k2﹣m2+4＞0，
要使，
需使x1x2+y1y2=0，
即，
所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以又8k2﹣m2+4＞0，
所以，所以，
即或，
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为，
，
，所求的圆为，
此时圆的切线y=kx+m都满足或，
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，
存在圆心在原点的圆，
使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．
因为，
所以，=，
①当k≠0时
因为所以，
所以，
所以当且仅当时取”=”．
2当k=0时，
27.已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值；
（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．

解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（﹣2，0），
上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1
故椭圆C的方程为（4分）
（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0
设S（x1，y1），则得，从而
即，（6分）
又B（2，0）由得，
∴，（8分）
故
又k＞0，∴当且仅当，即时等号成立．
∴时，线段MN的长度取最小值（10分）

（2）另解：设S（xs，yS），依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，
由kAM=kAS，可得同理可得：又
所以，=不仿设yM＞0，yN＜0当且仅当yM=﹣yN时取等号，
即时，线段MN的长度取最小值．

（3）由（2）可知，当MN取最小值时，
此时BS的方程为，∴（11分）
要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于，
所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l'上．
设直线l'：x+y+t=0，则由，解得或．
又因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得，此时点T有两个满足条件．（14分）