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等效重力加速度及其应用

许多物理问题都涉及到重力加速度g，g被我们频繁地使用，以致我们对一些与g有关的结论相当熟悉。例如，如果给定条件：（1）物体除受到重力外，不受到其他场力；（2）物体处于真空（或空气）中，而不是处于别的媒质中；（3）物体处于惯性系中，而不是处于加速系中。那么，学生可以不加思索地说出，静止放在固定斜面上的物体对斜面的压力为N=mgcosθ（θ为斜面倾角，m为物体质量），摆长为L的单摆做简谐振动的周期为

等等。但是，如果我们改变问题的条件，例如斜面是放在加速运动的吊车里，单摆摆球带有电荷q，摆球所在的空间还存在着均匀电场E，则学生可能要耗费很大的精力才能解决，有的学生则可能无法获得正确的答案。面对复杂的物理问题，等效方法往往可以帮我们很大的忙。等效重力加速度概念的引出，目的就在于试图将一些复杂、陌生的物理问题转化成简单、熟悉的物理问题。以使得一些已知的结论可以套用。
本文试用不同场合下引出等效重力加速度的方法，并应用等效重力加速度的概念解决一些较为复杂的问题。
一、加速系中的等效重力加速度
研究物体在加速系中的运动，比之研究物体在惯性系中的运动要麻烦得多。而且，如果观察者置身于加速系中，则对他来说，牛顿第二定律失效。但是，我们可以引出等效重力加速度g′（即图中g′），它的大小与方向由下式确定：
g′=g+（-a）
式中a是加速系相对于惯性系（通常取地面）的加速度。借助于等效重力加速度g′，我们就可将加速系转化为惯性系。如
例1 如图1（a），吊车以加速度a竖直向上运动，车内放有一倾角为θ、长为L的斜面。一物体（可视为质点）与斜面间的摩擦系数为μ。则此物体从斜面顶端滑到底端所需要的时间多大？（图中箭头表示重力加速度的方向）

本题用常规方法求解较难。为此，我们将图1（a）情形等效变换成图1（b）情形。即用g′代替g，将吊车由加速上升变为静止。则
g′=g+a
据牛顿第二定律，有
mg′sinθ-mg′cosθμ=ma′
∴a′=g′（sinθ-μcosθ）

例2 如图2（a），一容器内盛有水，当容器向左以加速度a运动时，水面会出现倾斜，试求水面倾角的大小。

本题一般解法是从液面处取一微小液块进行研究，但这样做比较繁琐。这里我们将图2（a）情形等效变换成图2（b）情形。即用g′代替g，将容器由加速运动变为静止。则
g′=g+(-a)
因为静止液体的液面应与“重力”方向垂直，故有图3的几何关系。由图可见

例3 如图4（a），两端封闭的U形管内装有一部分水银，U形管静止时，两管水银面高度差为h。当v形管以加速度a=g／2向下运动时，两端水银面高度差将如何变化？

如图4（b），将U形管变换成静止，用g′代替g，
g′=g-a=g／2。
即v形管以加速度a=g／2向下运动的情形，相当于v形管不动而重力加速度减为g′=g／2的情形。先假设此情况下液面高度差不变。
因为原先有
pA+ρgh=pB，
而当g减为g′=g／2时，
pA+ρg′h＜pB，
所以，两液面高度差h将增大。
例4 如图5（a），在向左以加速度a=g／3运动的列车车厢内悬有一单摆。单摆摆长为l，则此单摆做微振动的周期多大？
用等效重力加速度g′代替g，将车厢变换成静止，如图5（b）。

g′=g+(-a)

所以，单摆振动周期为

二、复合场中的等效重力加速度
在均匀电场与重力场共存的空间，带电体除受重力作用外，还受到恒定的电场力。因为两个场都是定常场，我们可将两个场叠加起来，称为等效重力场，其强度用等效重力加速度g′表示，即

利用等效重力加速度概念，可使一些复合场问题的解决变得十分容易。如：
例5 如图6（a），均匀电场场强为E，方向竖直向下。现将一摆长为L，摆球带电量为-q的单摆悬于其内。则它的微振动周期多大？（已知Eq＞mg）

因为Eq＞mg，所以单摆摆动情况如图6（a）。我们将图6（a）等效变换成图6（b），即空间只存在一个等效重力场，方向竖直向上，等效重力加速度为

（b）是一样的。故可知单摆的振动周期为

例6 如图7（a），一光滑绝缘半球面放在匀强电场中，场强为E，方向水平向右。现将一正电荷q放在A点时恰能平衡，A点和球心O的连线与竖直线的夹角为30°，则

（1）若将电荷沿球面向上移，使它与球心连线的偏角增大到φ，然后自由释放。则φ应为多大，才能使小球滑到最低点时的速度为零？
（2）若将小球移至半球面边缘自由释放，则它滑到哪一点时速度为零？
我们用等效重力场代替复合场，则等效重力加速度g′方向与竖直线夹角为30°。在等效重力场中，A点是轨道的最低点。所以
（1）据对称性，φ角应取60°，即电荷在D点自由释放后到达B点时速度为零。
（2）同理，电荷从半球面边缘E点自由释放后，将到达C点时速度为零。C点和E点对称于直线OA。
三、媒质中的等效重力加速度
物体在媒质中与在真空中不同，因为它还受到媒质的作用力。于是问题也就变得复杂或困难些了。但是，如果媒质的作用力为恒力，那么，我们也可引出等效重力加速度概念，使有媒质的问题等效地变换成无媒质的问题。
例7 如图8（a），由密度为ρ的实心金属小球做成的单摆，在空气中的振动周期为T0。若把小球完全浸入水中而成为水下单摆，则它的振动周期将变为多大？

在空气中，除绳子拉力外，摆球只受到重力。但在水中，除绳子拉力外，摆球还受到重力和水的浮力，这两个力的合力为

由此可见，单摆放入水中与仍在空气中而重力加速度减为

而单摆未放入水中时周期为T0，即

例8 如图9（a）。不等臂天平两端挂着铁块而处于平衡。当将两铁块都浸没到水中后，杠杆是否仍能平衡？

因为两铁块放入水中后，除受绳子拉力外，都受到重力和水的浮力，这两个力的合力为

所以，对两铁块来说，它们都放入水中，与都不放入水中而重力加速度减为

因为杠杆的平衡状态并不会因重力加速度的变化而受破坏（只要重力加速度g＞0，且对两物来说g值相等，即可。），所以杠杆仍能保持平衡。
从上述诸例可见，引出等效重力加速度概念可使我们对一些物理问题的求解过程大大简化。更重要的是，等效作为一种重要的思维方法可以迁移到其他问题的解决中去。因此，在教学中有必要对学生进行这方面的训练。
(浙江省玉环县教委教研室 郑青岳)