初中数学竞赛标准教程及练习32：中位线.doc

初 中数学竞赛精品标准教程及练习（32）
中位线
一、内容提要
1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。
4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，
①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等
②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边
③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰
5. 有关线段中点的其他定理还有：
①直角三角形斜边中线等于斜边的一半
②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合
③对角线互相平分的四边形是平行四边形
④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等
因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
二、例题
例1. 已知：△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点。求证：PM＝PN　
证明：作ME⊥AB，NF⊥AC，垂足E，F　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵△ABM、△CAN是等腰直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AE＝EB＝ME，AF＝FC＝NF，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
根据三角形中位线性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
PE＝AC＝NF，PF＝AB＝ME　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
PE∥AC，PF∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠PEB＝∠BAC＝∠PFC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
即∠PEM＝∠PFN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△PEM≌△PFN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴PM＝PN

例2.已知△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD是角平分线，CM⊥AD于M，且N是BC的中点。求MN的长。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
分析：N是BC的中点，若M是另一边中点，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
则可运用中位线的性质求MN的长，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
根据轴称性质作出△AMC的全等三角形即可。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
辅助线是：延长CM交AB于E（证明略）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。
已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是AC、BD的中点
求证：MN∥AB∥CD，MN＝（AB－CD）

分析一：∵M是AC中点，构造一个三角形，使N为另一边中点，以便运用中位线的性质。
∴连结CN并延长交AB于E（如图1）证△BNE≌△DNC可得N是CE的中点。（证明略）
分析二：图2与图1思路一样。
分析三：直接选择△ABC，取BC中点P连结MP和NP，证明M，N，P三点在同一直线上，方法也是运用中位线的性质。
例4. 如图已知：△ABC中，AD是角平分线，BE＝CF，M、N分别是BC和EF的中点　　　　　　　　　　　　　　　　
求证：MN∥AD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明一：连结EC，取EC的中点P，连结PM、PN
MP∥AB，MP＝AB，NP∥AC，NP＝AC
∵BE＝CF，∴MP＝NP
∴∠3=∠4=
∠MPN＋∠BAC＝180（两边分平行的两个角相等或互补）
∴∠1=∠2=， ∠2=∠3
∴NP∥AC ∴MN∥AD　　　　　　
证明二：连结并延长EM到G，使MG＝ME连结CG，FG　　　
则MN∥FG，△MCG≌△MBE
∴CG＝BE＝CF　∠B＝∠BCG　　　　　　　　　　　　　　　
∴AB∥CG，∠BAC＋∠FCG＝180
∠CAD＝（180－∠FCG）
∠CFG＝（180－∠FCG）=∠CAD
　∴　MN∥AD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例5. 已知：△ABC中，AB＝AC，AD是高，CE是角平分线，EF⊥BC于F，GE⊥CE交CB的延长线于G　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求证：FD＝CG　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　证明要点是：延长GE交AC于H，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　可证E是GH的中点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
过点E作EM∥GC交HC于M，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
则M是HC的中点，EM∥GC，EM＝GC　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由矩形EFDO可得FD＝EO＝EM＝GC　　

三、练习32　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点　　　　　　　　　　　　　　
　则①四边形EFGH是＿＿＿＿＿形　　　　　　　　　　　　　　　
②当AC＝BD时，四边形EFGH是＿＿＿形　　　　　　　　　　　　　　　　　　
③当AC⊥BD时，四边形EFGH是＿＿形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
④当AC和BD＿＿＿＿＿＿＿＿时，四边形EFGH是正方形形。
2.求证：梯形两底中点连线小于两边和的一半。
3.已知AD是锐角三角形ABC的高，E，F，G分别是边BC，CA，AB的中点，证明顺次连结E，F，G，H　所成的四边形是等腰梯形。
4. 已知：经过△ABC顶点A任作一直线a,过B，C两点作直线a的垂线段　　　BB，和CC，，设M是BC的中点，
求证：MB，＝MC，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.如图已知△ABC中，AD＝BE，DM∥EN∥BC
求证BC＝DM＋EN

6.如图已知：从平行四边形ABCD的各顶点向形外任一直线a作垂线段AE，BF，CG，DH。
求证AE＋CG＝BF＋DH　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.如图已知D是AB的中点，F是DE的中点，
求证BC＝2CE

8.平行四边形ABCD中，M，N分别是BC、CD的中点，求证AC平分MN
9.已知△ABC中，D是边BC上的任一点，M，N，P，Q分别是BC，AD，AC，MN的中点，求证直线PQ平分BD。
10.等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，点O是AC和BD的交点，∠AOB＝60，P，Q，R分别是AO，BC，DO的中点，求证△PQR是等边三角形。　　　　　　　　　　　　　

11.已知：△ABC中，AD是高，AE是中线，且AD，AE三等分∠BAC，求证：△ABC是Rt△。
12.已知：在锐角三角形ABC中，高AD和中线BE相交于O，
∠BOD＝60，求证AD＝BE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

13.如图　已知：四边形ABCD中，AD＝BC，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
点E、F分别是AB、CD的中点，MN⊥EF　　　　　　　　　
求证：∠DMN＝∠CNM　　　　　　　　　　　　　　　　　

练习32参考答案：
1. ①平行四边形②菱形③矩形④相等且互相垂直
2. 取一条对角线的中点，利用三角形两边差小于第三边
3. DG＝EF＝AB
4. 过点M作a的垂线,必平分B，C，
5. △ABC的中位线也是梯形BCD，D中位线
6. 同上，有公共中位线
7. 取BC中点G，连结DG
8. 连结BD交AC于O，易证四边形MCNO是平行四边形
9. 证四边形MPNS是平行四边形
10. ∵△COD是等边三角形，CR⊥DO，RQ＝BC，……
11. 作EF⊥AC，EF＝ED＝EC，∠C＝30，……
12. 作EF⊥BC于F，AD，BE都等于2EF
13. 过AC的中点O作MN的平行线，则OE＝OF，……