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函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
经典例题透析
类型一、函数概念
　　1.下列各组函数是否表示同一个函数？
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　(4)
　　思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.
　　解：(1)，对应关系不同，因此是不同的函数；
　　　　(2)的定义域不同，因此是不同的函数；
　　　　(3)的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数；
　　　　(4)定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数.

注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
　2.求下列函数的定义域(用区间表示).
　　(1)；　　 (2)；　　　(3).
　　思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.
　　解：(1)的定义域为x2-2≠0，　　
　　　　　 ；
　　　　(2)；
　　　　(3).
　　总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.

2．值域 : （先考虑其定义域）
　　实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
　　观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；
　　配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
　　判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
　　换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.
　　求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.

　　4. 求值域(用区间表示)：
　　　　　　(1)y=x2-2x+4；.
　　思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.
　　解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域为[3，+∞)；
　　　　(2)；
　　　　(3)；
　　　　(4)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).

3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .
(2) 画法
描点法：
图象变换法
常用变换方法有三种
平移变换
伸缩变换
对称变换

4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．

5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

　5. 下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?
　　(1)A=R，B=R，对应法则f：取倒数；
　　(2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆；
　　(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f：作圆的内接三角形．
　　思路点拨：根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．
　　解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A中任意”；若把A改为
　　　　　 A={x|x≠0}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射；
　　　　(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与
　　　　　 之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；
　　　　(3)不是映射，集合A中的任意一个元素(圆)，在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无
　　　　　 数个)与之对应，不满足“B中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正
　　　　　 三角形便可成为映射．
　　总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手．

6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
　9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.
　　思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.
　　解：f(0)=2×02+1=1
　　　　f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.

　　举一反三：
　　【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.
　　解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：

　　　　∴如图，可得f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；
　　　　f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.

补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
　学习成果测评
基础达标
一、选择题
　　1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )
　　⑴，；
　　⑵，；
　　⑶，；
　　⑷，；
　　⑸，．
　　A．⑴、⑵ 　　B．⑵、⑶ 　　C．⑷ 　　D．⑶、⑸

　　2．函数y=的定义域是(　 )
　　A．-1≤x≤1　　　 B．x≤-1或x≥1 　　　 C．0≤x≤1 　　　D．{-1，1}

　　3．函数的值域是( )
　　A．(-∞，)∪(，+∞)　　　　B．(-∞，)∪(，+∞)
　　C．R 　　 　　　　　　　　　　　D．(-∞，)∪(，+∞)

　　4．下列从集合A到集合B的对应中：
　　①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；
　　②
　　③
　　④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x2+1；
　　⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|
　　其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是( )
　　A． 1 　　　B． 2 　　　C． 3 　　　D． 4

　　5．已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是( )
　　A． A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象　　 　B． B中元素可以有两个原象
　　C． A中的任何元素有且只能有唯一的象　　　　　　　　D． A与B必须是非空的数集

　　6．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( )
　　A．(，1)　　　 B．(1，3) 　　　C．(2，6)　　　 D．(-1，-3)

　　7．已知集合P={x|0≤x≤4}， Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是( )
　　A．y= 　　　B．y= 　　　C．y=x 　　　D．y=x2

　　8．下列图象能够成为某个函数图象的是( )

　　9．函数的图象与直线的公共点数目是( )
　　A．　　　 B．　　　 C．或　　　 D．或

　　10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( )
　　A．　　　 B． 　　　C． 　　　D．

　　11．已知，若，则的值是( )
　　A． 　　　B．或 　　　C．，或 　　　D．

　　12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( )
　　A．沿轴向右平移个单位 　　B．沿轴向右平移个单位
　　C．沿轴向左平移个单位 　　D．沿轴向左平移个单位
　　1．设函数则实数的取值范围是_______________．
　　2．函数的定义域_______________．
　　3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．
　　4．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是_______________．
　　5．函数的定义域是_____________________．

　　6．函数的最小值是_________________．
三、解答题
　　1．求函数的定义域．

　　2．求函数的值域．

　　3．根据下列条件，求函数的解析式：
　　(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；
　　(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；
　　(3)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；
　　(4)已知；
　　(5)已知f(x)的定义域为R，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x).
答案与解析：
基础达标
一、选择题
　　1．C．(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应法则不同；(4)定义域相同，且对应法则相同；
　　　　　(5)定义域不同．
　　2．D．由题意1-x2≥0且x2-1≥0， -1≤x≤1且x≤-1或 x≥1，∴x=±1，选D．
　　3．B．法一：由y=，∴x= ∴y≠， 应选B．
　　　　　法二：
　　4．C．提示：①④⑤不是，均不满足“A中任意”的限制条件．
　　5．D．提示：映射可以是任何两个非空集合间的对应，而函数是要求非空数集之间．
　　6．A．设(4，6)在f下的原象是(x，y)，则，解之得x=， y=1，应选A．
　　7．C．∵0≤x≤4， ∴0≤x≤=2，应选C．
　　8．C．
　　9．C．有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于仅有一个函数值．
　　10．D．按照对应法则，
　　 　　　而，∴．
　　11．D．该分段函数的三段各自的值域为，而
　　 　　　∴∴ ．
　12．D．平移前的“”，平移后的“”，用“”代替了“”，
　　　　　 即，左移．

二、填空题
　　1．.
　　　 当，这是矛盾的；当.
　　2．. 提示：.
　　3．.
　　4．.
　　　 设，对称轴，当时，.
　　5．. .
　　6．. ．
三、解答题1．解：∵，∴定义域为
　　2．解：∵
　　　　　 ∴，∴值域为
　　3．解：(1).提示：利用待定系数法；
　　　　　 (2).提示：利用待定系数法；
　　　　　 (3)f(x+3)=x2+14x+49.提示：利用换元法求解，设x-3=t，则x=t+3，
　　　　　　　于是f(x-3)=x2+2x+1变为f(t)=(t+3)2+2(t+3)+1=(t+4)2，故f(x+3)=[(x+3)+4]2；
　　　　　 (4)f(x)=x2+2.提示：整体代换，设；
　　　　　 (5).提示：利用方程，用-x替换2f(x)+f(-x)=3x+1中所有的x得到一个新的式子
　　　　　　　2f(-x)+f(x)=-3x+1，于是有，联立得

二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）a.增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
b.减函数
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1
作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
　　1.证明函数上的单调性.
　　证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)， 令△x=x2-x1＞0
　　　　　 则
　　　　　 ∵x1＞0，x2＞0，∴
　　　　　 ∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0
　　　　　 ∴上递减.
　　总结升华：
　　[1]证明函数单调性要求使用定义；
　　[2]如何比较两个量的大小？(作差)
　　[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)

　　举一反三：
　　【变式1】用定义证明函数上是减函数.
　　思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.
　　证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1＜x2，则

　　　　　 ∵0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1
　　　　　 ∵0＜x1x2＜1
　　　　　 故，即f(x1)-f(x2)＞0
　　　　　 ∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2)
　　　　　 上是减函数.
　　总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.
　　2. 判断下列函数的单调区间；
　　(1)y=x2-3|x|+2； (2)
　　解：(1)由图象对称性，画出草图

　　　　∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.
　　(2)
　　　 ∴图象为

　　　 ∴f(x)在上递增.
　　3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.
　　解：
　　　　 又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.

2．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)或借助函数的图象判定 .
　　1.判断下列函数的奇偶性：
　　(1) 　　　2)
　　(3)f(x)=x2-4|x|+3 　　　　　 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| 　　　(5)
　　(6) 　　(7)
　　思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.
　　解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；
　　　　(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；
　　　　(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；
　　　　(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
　　　　(5)

　　　　　 ，∴f(x)为奇函数；
　　　　(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
　　　　(7)，∴f(x)为奇函数.
　　2. 设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)＜f(a)时，求a的取值范围.
　　解：∵f(a-1)＜f(a) ∴f(|a-1|)＜f(|a|)
　　　　而|a-1|，|a|∈[0，3]
　　　　.

3、函数的解析表达式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
凑配法
待定系数法
换元法
消参法
　　1. 求函数的解析式
　　(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；
　　(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).
　　思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.
　　解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则
　　　　　 ；
　　　　(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1
　　　　　 即：f(x)=2x2-4x+3.

　　举一反三：
　　【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；
　　　　　　 (2)已知：，求f[f(-1)].
　　解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1
　　　　　　　　∴f(x)=x2+2x-1；
　　　　　 (法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1
　　　　　　　　∴f(x)=x2+2x-1；
　　　　　 (法3)设f(x)=ax2+bx+c则
　　　　　　　　f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c
　　　　　　　　∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2
　　　　　　　　；
　　　　(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.
　4．函数最大（小）值
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。
当是奇数时，，当是偶数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
，
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质

　　(1) (2) (3)

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、a.指数函数概念
　　一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.

b.指数函数的图象和性质

a>1
0对数.
　　(3)对数式与指数式的互化：.

2.几个重要的对数恒等式
　　，，.

3.常用对数与自然对数
　　常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).

4.对数的运算性质
　　如果，那么
　　①加法：
　　②减法：
　　③数乘：
　　④
　　⑤
　　⑥换底公式：

指数式与对数式的互化

幂值 真数

＝ N＝ b

底数
指数 对数

（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：
对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
对数函数对底数的限制：，且．
2、对数函数的性质：
函数
名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象

定义域

值域

过定点
图象过定点，即当时，.
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况

变化对图象的影响
在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.

3、反函数
1.反函数的概念
　　设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.

2.反函数的性质
　　(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.
　　(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.
　　(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.
　　(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.
3.反函数的求法
　　(1)确定反函数的定义域，即原函数的值域；
　　(2)从原函数式中反解出；
　　(3)将改写成，并注明反函数的定义域.
四、指数函数与对数函数的关系
　　指数函数与对数函数互为反函数.
　(1)

　　　 ①y=ax ②y=bx ③y=cx ④y=dx 则：0ax>dx>cx
　　(2)

　　　 ①y=logax ②y=logbx ③y=logcx ④y=logdx
　　　 则有：0)时，logax>logbx>0>logcx>logdx
　　1．已知函数．
　　(1)求函数的单调增区间；
　　(2)求其单调增区间内的反函数．
　　解：复合函数y=f[g(x)]的单调性与y=f(t)，t=g(x)的单调性的关系：同增异减．
　　　　(1)函数的定义域{x|x<0或x>2}，又t=x2-2x=(x-1)2-1．
　　　　　 ∴x(-∞，0)，t是x的减函数．而是减函数，
　　　　　 ∴函数f(x)在(-∞，0)为增函数．
　　　　(2)函数f(x)的增区间为(-∞，0)，
　　　　　 令，则．
　　　　　 ∴，．
　　　　　 ∵x<0，∴．∴．

五、幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
2.幂函数的性质
　　(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.
幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；
是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.
　　(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.
　(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在
　　　 上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.
(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中 互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则　 是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.
　　(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.

基础达标测试题
一、选择题
　　1．下列函数与有相同图象的一个函数是( )
　　A． 　　　　　　　　　　B．
　　C．　　　 D．
　　2．下列函数中是奇函数的有几个( )
　　① ② ③ ④
　　A．1　　　 B．2　　　 C．3 　　　D．4
　　3．函数与的图象关于下列那种图形对称( )
　　A．轴　　　　 B．轴 　　　C．直线 　　　D．原点中心对称
　　4．已知，则值为( )
　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D.

　　5．（2011江西文3）若，则的定义域为( )
　　A．　　　 B． 　　　C． 　　　D．
　　6．三个数的大小关系为( )
　　A. 　　　　B.
　　C．　　　　D.
　　7．若，则的表达式为( )
　　A． 　　　B．　　　 C． 　　　D．
8．对于，给出下列四个不等式
　　① ②
　　③ ④
　　其中成立的是( )
　　A．①与③　　　 B．①与④ 　　　C．②与③　　　 D．②与④
9．若,则( )
　　A． 　　　　B．
　　C． 　　　　D．
二、填空题
10．从小到大的排列顺序是________________________.
　　11．化简的值等于__________.
　　12．计算：=____________.
　　13．已知，则的值是_____________.
　　14．方程的解是_____________.
　　15．函数的定义域是______；值域是______.
　　16．判断函数的奇偶性____________.
三、解答题
　　17．已知求的值.

　　18．计算的值.

　　19．已知函数,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性、单调性.

20．比较下列各组数值的大小：
　　(1)和；(2)和；(3)

答案与解析
基础达标
一、选择题
　　1.D ，对应法则不同；
　　　　；.

　　2.D 对于，为奇函数；
　　　　对于，显然为奇函数；显然也为奇函数；
　　　　对于，，为奇函数.

　　3.D 由得，即关于原点对称.

　　4.B
　　　　.

　　5.C .

　　6.D
　　　　当范围一致时，；当范围不一致时，
　　　　注意比较的方法，先和比较，再和比较.

　　7.D 由得.
　8.D 由得②和④都是对的.
　 9.C
　　　　.
二、填空题

10．
　　　 ，
　　　 而.
　　11.16 .
　　12.-2 原式.
　　13.0 ，.
　　14.-1 .
　　15. 　；.
　　16.奇函数

三、解答题
　　17．解：

　　　　　　.
　　18．解：原式

　　19．解：且，且，即定义域为；
　　　　　　为奇函数；
　　　　　　在上为减函数.
20.解：(1)∵，∴；
　　　　　　(2)∵，∴；
　　　　　　(3)

　　　　　　　 ∴

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、函数零点的求法：
（代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数．
（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
收集数据
画散点图
选择函数模型
求函数模型
用函数模型解释实际问题
符合实际
不符合实际
（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
5.函数的模型

检验

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