带固定效应半变系数面板数据EV模型的约束估计.pdf

第44卷第10 期2023年10 月宁夏师范学院学报Journal of Ningxia Normal UniversityVol.44 No.10Oct.2023带固定效应半变系数面板数据EV模型的约束估计赵瑞，何帮强（安徽工程大学数理与金融学院，安徽芜湖2 410 0 0）摘要：研究了带固定效应的含变量误差半变系数面板数据模型的约束估计问题.首先采用Profile最小二乘方法构建出参数部分的无约束估计量，其次建立在参数部分附加约束条件下该模型的约束估计量，最后分别证明了两个估计量在适当条件下满足渐近正态分布。关键词：半变系数面板数据模型；误差变量；约束估计；固定效应中图分类号：0 2 12.7收稿日期：2 0 2 3-0 2-2 6基金项目：国家社会科学基金一般项目（18 BTJ034)。作者简介：赵瑞（1998 一），男，安徽合肥人，硕士研究生，研究方向：数理统计。通信作者：何帮强（197 4一），男，安徽合肥人，副教授，博士，研究方向：经济统计。文献标识码：A文章编号：16 7 4-1331(2 0 2 3)10-0 0 0 5-0 8面板数据是在不同时期跟踪由给定个体组成的样本而获取的数据集.在面板数据中存在两种信息：反映在对象之间的差异中的横截面信息以及反映在对象内随时间变化的时间序列或对象内信息.面板数据模型是大量学者研究的重点.在面板数据中，可以用横截面虚拟变量来控制横截面的异质性，此虚拟变量就是个体固定效应.研究带固定效应的半参数模型面板数据模型是面板数据分析的重要内容.SUII利用Profile最小二乘法，对具有固定效应的部分线性面板数据模型进行论证.HUL2I基于多元局部线性拟合以及剖面似然方法，建立半变系数固定效应估计量及其渐近性质.XU等 3基于对变量的最近邻差分，提出一种估计半变系数固定效应面板数据模型的简单方法.带固定效应的半变系数面板数据模型一般形式如下：Y,=Xi+Zi(G,)+T,+ei,i=l,2,.,J,t=1,2,.,T,其中，Y代表响应变量，X,、Z 和G，为协变量，=（i，a，,）代表维的未知参数，（）=（i（），2（），,（）为q维未知光滑系数函数，为不可观测的固定效应，为相互独立的随机误差项.基于（Xi，Z i，G）给定的前提，E（e u X i，Z t，G）=O，Va r（e i）=。出于容易识别的目的，对附加=0 的限定，假设E(.）=0,Va r(）=0 并同意,分别和X、Z 及G有未知相关联系。无论何种收集数据的方式总会带来误差.因此将变量误差考虑进模型中，减少分析结果的偏差.变量(1)6误差模型形式如下：其中vi和ui分别是X和Z的变量误差假定（Xi，Z i t Vi，u i，G i）相互独立，且Cov(vi）=Z,，Cov(ui）=Z u 其中Z,和Zu已知，若未知可通过反复测量M和W，得到.不仅变量误差会导致分析结果出现偏差，而且实际应用时的各种约束也会影响最终结果.魏传华等 4将以下参数部分的约束条件考虑进了半变系数模型中，9=d,其中，与d分别为k已知矩阵和k1的已知向量，并且rank（）=k.Z H A NG 等 5I研究了约束条件下参数部分存在变量误差的半变系数模型.FENGL6不仅给出了约束条件下半变系数模型参数与非参数两部分偏差校正的Profile最小二乘估计，而且研究了它们的渐近性质.在以上学者的研究基础上，在参数部分有约束的前提下，采用Profile最小二乘方法研究参数与非参数部分都有变量误差的带固定效应半变系数面板数据模型.1Profile 最小二乘约束估计在Jo而T保持不变的情况.首先假设（T,）已知，那么式（1）改写为以下形式：Y-Xi-T,=Zi(Ga)+ei,i=1,2,.,J,t=1,2,T.式（4）可通过局部线性回归法估计未知光滑系数函数（;（），j=1，q)令（）代表（）的一阶导，G为G。邻域内一点，对;(G）泰勒展开可得,(G);(G。)+,(.)(G-Go)=+b(G-Go),j=1,2,q,其中,a=(al,ag),b=(bi,b,)r.对式（6）进行最小化处理，即得到（G)的估计：Z-Z(Y,-Xi-T,-Zia+b(G-Go)K.(Gn-Go),其中，K为核函数，K,（）=K,（/h)/h,h是带宽.出于计算便利的目的，令（n=iXt,n=1,2，,N)，下文皆用矩阵形式表示.由式（4）可得因此未知函数首次估计如下：r(G)=(IO,)(ZcZc)-Zwc(Y-X-T),其中，=（I?i)dj,d,=（i-1I j-).I 代表JJ单位矩阵，i代表每个元素都为1的J1向量，宁夏师范学院学报(Mi=Xi+vi)W=Z+uit,Y-XB-IT=A+e.2023年10 月（2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(Zi0)(Zog,wc.,Zc.,)-1 Zo,Gu第10 期ZG=ZiT易得的首次估计如下式将式（7）与式（9）结合可得因此和r的无约束估计量为其中,=Y-SY,X=X-SX,=-ST,H=I-(F)-F:=I-Pr.为了解决变量误差(EV)的问题,结合文献 7 一8 的思路，r(G)=(I O,)(WicWc-)-1Wic(Y-M-T),其中，Wc为Zc中Z被W替换所得220=.T2=i=11=1所以，消除变量误差影响后的的无约束估计量如下：,=MHM-J(T-1)-_IMQ1.QM(MHY-T其中,Q=(Qin,.,Qir,.,Qir),S=(QiW,.,QirWi,.,QirWjr),Q=(I,O.),(Wa,c,Wc,-O,)W,c,.i=1,2,.,J,t=1,2,.,T.由此，可得(G)无约束估计量r(G)=(I,0,)(WwcW-Q)-Wwc(Y-M,-rrr).对于实际应用时存在的约束也需要考虑进模型，因此将式（3）中的约束条件加人式（7），可构造出下面的辅助函数：赵瑞，等：带固定效应半变系数面板数据EV模型的约束估计wc=diag(K,(Gu-G),.,K,(Gir-G),K.(Gjr-G),G1一Zilh：G1TZiTh：GhZi(Gii)：GZiTZiT(GiT).S=(Zir0)(ZerWGrZir：ZiT(GJr)=S(Y-X-IT).Y=X+T+e.F=(X-HY)-1 X-HY,Tr=(Ff)-IF(Y-Xpr),1Gi-GhK,(Gi-G).GiGGit一GhhTZGTGir：(ZiTO)(ZGTWGjTIMrQI Z,QY),(14)(15)WGJT(9)(10)(11)(12)(13)8其中，为拉格朗日乘数，令式（16）分别对、n 求偏导后等于0，可得F%g2=-2MH(Y-T)+2+2T_MQ1 2.Q(Y-TT)+241=0.aF(gn2=4g-d=0.宁夏师范学院学报F(,n)=H(-M-)JH(-M-)-J(T-1)Z.-T_l4(G).br(G)+2/(4-d),T2023年10 月(16)T(17)由式(17)可得L=r-V0个,(18)=pVl-(gp-d),其中，r是的无约束估量，V=MHM-J(T-1)2,-T二IMQ:I.QM.因此容易得出 T和未知T光滑系数函数（G）的有约束估计量为YL=(T)-IF(Y-MpL),(G)=(I,0,)(Wa:W-0)-Waac(Y-MpL-rrL)定理1若第2 节中条件(C1)一（C5)成立，则，符合渐近正态，如VN(B,-B)N(其中，二、为依分布收敛，=E(X,Xi）-E(G)(G)(G)，。的定义在第2 节证明.进一步，,为2 Z的一致估计量，其中，MHM-Z,-MQ:I?Z.QM,N(T-1).=M(Y-Mpe)+Nz.,-MQ1 2.Q(Y-Mpr)0.定理2 若第2 节中条件(C1）一（C5)成立，则L符合渐近正态，如其中，Z4=(I-Z)Zi,Zi(I-Z),Z=Zii0-.主要定理证明为了方便计算，令C=h?+log(1/h)/NhJ1/2,e=GK(G)dG,k=0,1,2,4.(19)(20)(21)TN(BL-B)N(22)第10 期为了证明以下定理，需要先假设一些条件，（C1）一（C5）都是容易得到的条件.(C1）（,（),j=1,2，,q)，满足二阶连续可导.(C2)存在9 2,使得 EII Z 20 0,E I X I 2;对 I,+MH(A+-Vp)-T_IMQ1.Q(A+e-%):=+V-1(A+A2-A),第10 期其中,V=MHM-J(T-1)ZNT一(A+A2一A3)=VNTn-1X,-(G,)-(G,)Z,I en-vi-uia(G,)-NT一VNTn=1Qr(G,)-I(G,)u,(en一vi)+r(G,)-1(G,)(unu,-Zu)(G,)+v,Len-uia(G,)-(vnv-Z)+0p(1)ZAv+0,(1).V赵瑞，等：带固定效应半变系数面板数据EV模型的约束估计T一1MQI?ZQM.再结合引理（1,2,3），可得TMQ,Z.Q,(Z(G,)+en-vi)VNTHCov(An)=E(v,en-uia(G,)2+E(vnv;-Z,)2+E(X,-Q(G,)-I(G,)Z,en vi-ui(G,)2+E(G,)-1(G,)u,(en-vi)2+E(G,)-I(G,)(unu,-Zu)a(G,)2.EL(G)-1(G)(uui-Z)(G)+ZiEeviui(G)+,Esui(G)+E(G)-1(G)Z,-1(G)(G)JE(e1-i)2:=Z2.Cov(A)=E(vi-2.)(vvi-)+Nlim结合Slutsky定理与引理3，即可得到VN(B-P)-(）六/N定理1证明完毕。定理2 的证明由式（2）与式（18）可知所以，VN（一）=（I-Z）VN（r一）十o（1)再调用Slutsky定理，则其中 Z4=(I-Z3)ZiZ2Z(I-Z).定理2 证明完毕，(AI+A2-A)LN-=-pL-(g-d)-=r-Llp-lp(r-)-=(I-Z,)(r-)+0,(N-).VN(gl-B)LN(0T-z),N80.12参考文献：1SU L J,ULLAH A.Profile likelihood estimation ofpartially linear panel data models with fixed effectsLJ.Economics Letters,2006,92(1):75-81.2HU X M,Semi-parametric inference for semi-varying co-efficient panel data model with individual effectsJ.Jour-:nal of Multivariate Analysis,2017,154:262-281.3X U Q H,C A I Z W,FA NG Y.Se m i p a r a m e t r i c i n f e r-ences for panel data models with fixed effects via nea-rest neighbor difference transformation J.Econo-metric Reviews,2021,40(10).919-943.4魏传华，吴喜之.部分线性变系数模型的ProfileLa-grange乘子检验J.系统科学与数学，2 0 0 8（4)：416-424.5ZHANG W W,LI G R,XUE L G.Profile inferenceon partially 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Associa-tion,2005,100(471):781-796.2023年10 月Restricted estimation for semi-varying coefficient panel data EV models with fixed effectsZHAO Rui,HE Bangqiang(School of Mathematics and Finance,Anhui Pol ytechnic University,Wuhu Anhui 241000)Abstract This paper studies the restriction estimation problem of the semi-varying coefficient panel data model witherror-in-variables(EV)with fixed effects.Firstly,the unrestricted estimator of the parameter part is constructed by theProfile least squares method.Then the restricted estimator of the model is established under the additional restriction of theparameter part.Finally,it is proved that the two estimators satisfy the asymptotic normal distribution under appropriateconditions.Key words Semi-varying coefficient panel data model;Error-in-variable;Restricted estimation;Fixed effect责任编辑董白英