等边三角形的判定.doc

第4课时　等边三角形的判定
01　　基础题
知识点1　等边三角形的判定
1．在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是(B)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．不能确定
2．下列说法不正确的是(D)
A．有两个角分别为60°的三角形是等边三角形
B．顶角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．底角为60°的等腰三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的三角形是等边三角形
3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC等于(B)
A．4 B．6 C．8 D．10

4．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是等边三角形．

5．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是18cm.

6．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE为等边三角形．

证明：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC.
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
∴AD＝AE.
又∵∠ADB＝120°，
∴∠ADE＝60°.
∴△ADE为等边三角形．

知识点2　含30°角的直角三角形的性质
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝30°，则BC＝(C)
A．8 B．6 C．4 D．2

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D.若CD＝1，则BD＝2．

9．(2018·阳泉平定县模拟改编)如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的高度h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°.若自动扶梯运行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为26秒．

10．如图，铁路AC与铁路AD相交于车站A，B区在∠CAD的平分线上，且距车站A为20千米，∠DAC＝60°，则B区距铁路AC的距离为10千米．

11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BC＝8 cm，求AD的长．

解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8 cm，
∴∠B＝60°，AB＝2BC＝16 cm.
又∵CD⊥AB于点D，
∴∠BDC＝90°.
∴∠DCB＝30°.
∴DB＝BC＝4 cm.
∴AD＝AB－DB＝12 cm.

02　　中档题
12．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知CD＝1，∠B＝30°，则BD的长是(B)

A．1
B．2
C.
D．2
13．(2018·晋中太古县五中段考)已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是(D)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
14．(2018·玉林)如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是(A)
A．平行 B．相交
C．垂直 D．平行、相交或垂直

15．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝(C)
A．3 B．4 C．5 D．6

16．(2018·晋中灵石县期中)如图，△ABC为等边三角形，∠BAD＝∠ACF＝∠CBE，求证：△DEF为等边三角形．

证明∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB.
又∵∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，
∴∠BAC－∠BAD＝∠ABC－∠CBE＝∠ACB－∠ACF.
∴∠CAF＝∠ABE＝∠BCE.
∴△ACF≌△CBE≌△BAD(ASA)．
∴AF＝CE＝BD，CF＝BE＝AD.
∴AD－AF＝BE－BD＝CF－CE.
∴DF＝DE＝EF.
∴△DEF为等边三角形．

03　　综合题
17．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.
(1)如图1，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.求证：
①△ABE≌△ACF
②△AEF是等边三角形；

(2)若点E在BC的延长线上，则在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论(图2备用)．
解：(1)证明：①∵AB＝BC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．∴AB＝AC.
同理，△ADC也是等边三角形，
∴∠B＝∠ACF＝60°.
又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)．
②∵△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.
∵∠BAE＋∠CAE＝60°，
∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.
∴△AEF是等边三角形．
(2)存在．
证明：在CD的延长线上取点F，在BC的延长线上取点E，使CF＝BE，连接AE，EF，AF.
与(1)①同理，可证△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.
∴∠BAE－∠CAE＝∠CAF－∠CAE.
∴∠BAC＝∠EAF＝60°.
∴△AEF是等边三角形．
(注：若在CD的延长线上取点F，使CE＝DF也可)