二次函数中的平行四边形存在性问题(两定两动型).doc

二次函数中的平行四边形存在性问题（两定两动型）
教学设计
旬阳县城关一中 黄 涛
目标：1、通过典型例题及其变式训练，进一步巩固二次函数中的平行四边形及特殊平行四边形存在性问题的解题思路和方法，体会数形结合和分类讨论思想的应用过程。
2、通过本节课的学习，感受一题多解的过程及方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。
重点：解决平行四边形存在性问题的一般方法及思路。
难点：根据条件求平行四边形的顶点中动点坐标的求解。
过程：
一、典型例题
如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
问题1：如何用待定系数法确定适当的解析式形式？
①抛物线上已知三点，可用一般式y=ax2+bx+c；
②因为在已知的三点中，A、B两点为抛物线与x轴交点，则可用交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
问题2：如何借助一定的方法通过画图的方式找到M、N点？
先确认已知点A、C，连接AC，根据四边形顶点的无序性利用分类讨论思想分别以AC为边和以AC为对角线两种情况进行作图讨论，作图依据平行四边形对边平行且相等的性质进行。
问题3：通过怎样的方法和手段获取点N的坐标？

可利用以下四种方法或依据得出符合条件点N的坐标。①依据对称性求点N坐标②利用三角形全等及数形结合思想求点N坐标③依据平行四边形对边平行且相等利用平移求点N坐标④依据抛物线解析式设点N坐标为（m， m2﹣2m﹣ ），利用数形结合思想借助N点与C点纵坐标相等的原则列得绝对值方程，将所有符合条件的点N及其坐标完全覆盖得解，注意取舍（这是本题最简方法）。
解：（1）解法1：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5) （a≠0），将C（0，）代入得：
a(0+1)(0-5)=
解得：a=
∴二次函数的解析式为：y= (x+1)(x-5)即y=x2﹣2x﹣
解法2：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三点在抛物线上，
∴ ，
解得 .
∴抛物线的解析式为： y=x2﹣2x﹣
(2) 解法1：存在，理由如下：
①以AC为边时，当N点位于x轴下方时，若四边形ACNM为平行四边形，则CN∥AM
∴N与C纵坐标相等
∴点N与点C关于抛物线对称轴直线x=2对称
∴N（4，）
当点N在x轴上方时，
如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D， 在△AN2D与△M2CO中，

∴△AN2D≌△M2CO（ASA），
∴N2D=OC = ，即N2点的纵坐标为.
∴ m2﹣2m﹣= ，
解得x=2+ 或x=2﹣ ，
∴N2（2+ ， ），N3（2﹣ ， ）.
②当AC为对角线时，根据CN∥AM，过C点作x轴平行线与抛物线交点和N1重合。
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣ ），（2+ ， ）或（2 ， ）.
解法2：若四边形ACNM为平行四边形，则CN∥AM，AC∥MN，N位于x轴下方时
∵A(-1，0) ,C（0，）向下平移个单位，则M到N也向下平移，
∴N点纵坐标为 ，横坐标可利用对称或解析式求解。
同理在x轴上方时，N点的纵坐标为，进而求解。
解法3：（N点位置x轴上下同步求解）设N点坐标为（m， m2﹣2m﹣）
∵C点纵坐标为 ，根据平行四边形性质可知N点纵坐标的绝对值为
∴∣ m2﹣2m﹣∣=得方程：
m2﹣2m﹣=或 m2﹣2m﹣=
解上述方程，舍去x=0后代入得点N的坐标。
【本题考点】二次函数综合题，待定系数法，抛物线对称轴与对称点的坐标关系，一元二次方程与二次函数关系，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质。数形结合及分类讨论等数学思想。
二、变式训练
变式1：在（1）的条件下，点M为
x轴上一动点，在坐标平面中是否
存在点N，使以A，C，M，N四点构
成的四边形是以AC为边的菱形？
若存在，求点N的坐
标。

方法指导：1、注意条件：①M在x轴上②M在坐标平面内③AC为边的菱形
2、依据菱形的性质根据AM=AC=，分别以AM为边或对角线进行分类讨论，画出草图。
3、依据菱形性质对边平行及四条边相等直接求得N点坐标。
4、小结符合条件的点N坐标。
解题过程略
变式2：将（1）中抛物线绕原点旋转180°，设旋转后的抛物线为L，抛物线L与x轴正半轴交于点P，与y轴交于点Q，写出抛物线L的解析式，判断四边形ACPQ的形状并说明理由。

方法指导：1、注意条件：①抛物线绕原点旋转180°（即为关于原点对称）②抛物线L与x轴正半轴交于点P③与y轴交于点Q 。
2、在a值互为相反数的基础下，根据关于原点对称点坐标规律利用点A、C坐标求出点P、Q的坐标，或先求得原抛物线顶点坐标后依据对称求得抛物线L的顶点坐标，画出草图。
3、利用A、C、P、Q坐标求得OA、OP、OC、OQ长度。证明对角线互相平分。
4、根据对角线互相平分得出所得四边形为平行四边形，再依据对角线互相垂直得出该四边形为菱形。
解题过程略
三、小结：
1、已知两个点的位置，在二次函数的图象上或在平面坐标平面内找两个动点。使这四点构成平行四边形，简称:两定两动。如果为“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论。
2、二次函数为载体的平行四边形存在性问题的基本思路适用于等腰三角形的存在性、直角三角形的存在性、等腰直角三角形的存在性、菱形的存在性、矩形的存在性、梯形和圆等的存在性存在性问题，具有普遍应用价值。