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初中数学建模初探
岳阳市君山工区广兴洲中学 郑仁辉
数学新课标教学大纲中明确提出：“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学的理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”所以说强化数学建模能力，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法，也能增强学生应用数学的意识，提高分析问题、解决实际问题的能力。 
    数学建模的具体步骤：第一，根据实际问题的特点进行数学抽象，构建恰当的数学模型。第二，对所得到的数学模型，进行逻辑推理或数学演算，求出所需的解答。第三，联系实际问题，对所得到的解答进行深入讨论，作出评价和解释，返回到原来的实际问题中去，得出实际问题的答案。 
    中学阶段常见的数学模型有方程模型、不等式模型、函数模型或几何模型、统计模型等，我们把运用数学模型解决现实问题的方法统称为应用建模。 
    下面举例说明新课标中初中数学常见的建模类型：
       一、 建立方程（或方程组）模型
        现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系，“方程（组）”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰的认识、描述和把握现实世界。诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题，常可以抽象成“方程（组）”模型，通过列方程（组）加以解决
例1、a、b两地相距18公里，甲工程队要在a、b两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在a、b两地间铺设一条输油管道。已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程对提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？
解：设甲工程队每周铺设管道x公里，则乙工程队每周铺设管道（x＋1）公里。
依题意得： 
解得x1=2，  x2=－3
经检验x1=2，x2=－3都是原方程的根。
但x2=－3不符合题意，舍去。
∴x＋1=3
答：甲工程队每周铺设管道2公里，则乙工程队每周铺设管道3公里。
例2 、1号仓库与2号仓库共存粮450吨，现从1号仓库运出存粮的60℅，从2号仓库运出存粮的40℅，结果2号仓库所余的粮食比1号仓库所余的粮食多30吨。问1号仓库与2号仓库原来各存粮多少吨？（人教版七年级下p118 ）                                   
        简析：设1号仓库原来存粮x吨，2号仓库原来存粮y吨。
          则：    x＋y＝450          ①
(1－40℅)y－(1－60℅)x＝30.            ②
联立①②解得           x＝240              y＝210
        例3、某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2．25℅降至1．98℅，平均每次降息的百分率是多少（精确到0．01℅）？ （人教版九年级上p58）
        简析：设平均每次降息的百分率为x, 则：
        第一次降息后年利率：2．25℅（1－x）。
        第二次降息后年利率：2．25℅（1－x）2 .
         列方程：2．25℅（1－x）2 ＝ 1．98℅。
       ∴      (1－x) 2＝ 0．88。
       ∴      1－x＝±0．938.    ∴   x＝0．0619＝ 6．19℅.
       注：求解增长率问题的关键是正确理解增长率的含义。一般地，如果某种量原来是a,每次以相同的增长率（或减少率）x增长（或减少），经过n次后的量便是：a (1＋x)  n(或a (1－ x)  ).n。
       二、 建立不等式（或不等式组）模型
现实生活建立中同样也广泛存在着数量之间的不等关系。诸如统筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题，可以通过给出的一些数据进行分析，将实际问题转化成相应的不等式问题，利用不等式的有关性质加以解决。
       例4、采石场爆破时，点燃导火线后工人要在爆破前转移到400米外的安全区域。导火线燃烧速度是1厘米/秒，工人转移的速度是5米/秒，导火线要大于多少？（人教版七年级下p135）。
       简析：设导火线至少要x  cm.。则列不等式： 5 x ＞400.  ∴  x＞80。
       注：通过分析题意，找出不等关系，列出不等式，建立“最大”或“最小”模型，解决“至多”或“至少”一类的决策性问题。
       例5、用每分时间可抽1．1吨水的a型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果用b型抽水机，估计20分到22分可以抽完。b型抽水机比a型抽水机每分约多抽多少吨水？（人教版七年级下p141）
       简析：设b型抽水机每分钟抽水x吨。根据题意得：
          20x≤1．1×30
          22x≥1．1×30。   ∴  1．5≤x≤1．65。
          ∴  b型抽水机比a型抽水机每分钟约多抽水0．4～0．55吨。
         例6、一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件；若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具不足3件。求小朋友的人数与玩具数。
         简析： 设小朋友的人数为x人，根据题意得：
            （3x＋4）－4(x－1)＜3,
             (3x＋4)－4(x－1)≥1.
         解得：5＜x≤7。
         则小朋友为6名时，有22件玩具；小朋友为7名时，有25件玩具。
         现实生活中也同样广泛存在着数量之间的不等关系。如投资决策、人口控制、资源保护、盈亏平衡分析、核定价格范围、水土流失等问题，常归结为不等式（或不等式组）模型来求解。
         三、建立函数模型
现实生活中普遍存在着最优化问题。如国情民意、生产生活、计划决策、市场营销、存贷款利息、用料造价问题、最佳投资问题、最小成本等实际问题，常归结为函数问题来求解。
        例7、a、 b两个商场平时以同样价格出售相同的商品，在春节期间让利酬宾，a商场所有商品8折出售；在b商场消费超过200元后，超出部分可在这家商场7折购物。试问如何选择商场来购物更经济？（人教版八年级上p129）。
        简析： 设平时出售同一种商品的价格为x（元），春节期间同一种商品价格为y（元）。
        则： a商场  ＝ 80℅x ＝ 0．8x 。
                      x  (0＜x≤200
        b 商场 ＝      0．7x + 60  ( x＞200 )。
        ∴  当购物不到600元时，选择a商场更经济；当购物是600元时，两个商场一样；当购物超过600元时，选择b商场更经济。
         例8 、从a、b两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，a、b两水库各可调出水14万吨。从a地到甲地50千米，到乙地30千米；从b地到甲地60千米，到乙地45千米。设计一个调运方案使水调运量（单位：万吨·千米）尽可能小。（人教版八年级上p133）。
         简析：设总调运量为y万吨·千米。
         a水库运往甲地的水为x吨，则运往乙地的水为 (14－x) 吨。
         b水库运往甲地的水为 (15－x) 吨，运往乙地的水为 (x－1) 吨。由总调运量与各运输量的关系可知： y＝50x＋30(14－x) ＋60(15－x) ＋45(x－1).
           ∴   y＝5x＋1275   1≤x≤14.
         当x＝1时，y＝1280(万吨·千米)。
         即 从a水库向甲地调水1万吨，向乙地调水13万吨。从b水库向甲地调水14万吨。此时，总调运量有最小值1280万吨·千米。
        例9、 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）y=90－3（x－50） 化简，得y=－3x＋240
（2）w=（x－40）（－3x＋240）
=－3x2＋360x－9600
（3）w=－3x2＋360x－9600
= －3（x－60）2＋1125
∵a=－3＜0　∴抛物线开口向下
当x=60时，w有最大值，又x＜60，w随x的增大而增大，
∴当x=55时，w的最大值为1125元，
∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元的最大利润
 四、 建 立  几 何 模 型 
Q
M P
A O 4.5米 B
小敏 灯柱 小丽
55°
几何与人类生活和实际密切相关，诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时，常需建立“几何模型，把实际问题转化为几何问题加以解决。
例10、如图点P表示广场上的一盏照明灯。
（1）请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子（用线段表示）；
（2）若小丽到灯柱MO的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离；结果精确到0.1米；参考数据：tan55 °≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574。
解：（1）如图，线段AC是小敏的影子。
Q
E D
F
M P
C A O 4.5米 B
小敏 灯柱 小丽
55°
（2）过点Q作QE⊥MO于E，过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D，则PF⊥EQ。在Rt△PDQ中，∠PQD=55°，DQ=EQ－ED=4.5－1.5=3（米）。
∵tan55°=
∴PD=3 tan55°≈4.3（米）
∵DF=QB=1.6米
∴PF=PD＋DF=4.3＋1.6=5.9（米）。
答：照明灯到地面的距离为5.9米。

                                                                                                                                                                                                                                               五、建立“统计”模型
统计知识在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有着越来越多的应用。诸如公司招聘、人口统计、各类投标选举等问题，常要将实际问题转化为“统计”模型，利用有关统计知识加以解决。
频数(人)
180

120

60
15.5 18.5 21.5 24.5 27.5 30.5 分数(分)
例11、为了了解全市今年8万名初中毕业生的体育升学考试成绩状况（满分为30分，得分均是整数），从中随机抽取了部分学生的体育生学考试成绩制成下面频数分布直方图（尚不完整），已知第一小组的频率为0.12。回答下列问题：
（1）在这个问题中，总体是 ，样本容量为
。
（2）第四小组的频率为 ，请补全频数分布直方图。
（3）被抽取的样本的中位数落在第 小组内。
（4）若成绩在24分以上的为“优秀”，请估计今年全市初中毕业生的体育升学考试成绩为“优秀”的人数。
频数(人)
180

120

60
15.5 18.5 21.5 24.5 27.5 30.5 分数(分)
解：（1）8万名初中毕业生的体育升学考试 成绩，=500。
（2）0.26，补图如图所示。
（3）三．
（4）由样本知优秀率为100％=28％
∴估计8万名初中毕业生的体育升学成绩优秀的人数为28％×80000=22400（人
六、建立“概率”模型
概率在社会生活及科学领域中用途非常广泛，诸如游戏公平问题、彩票中奖问题、预测球队胜负等问题，常可建立概率模型求解。
游戏规则:
随机抽取一张卡片,记下数字放回,洗匀后再取一张,将抽取的第一张、第二张卡片上的数字分别作为十位数字和个位数字，若组成的二位数不超过32，则小贝胜，反之则小晶胜.

2
6
3
2
例12、四张质地相同的卡片如图所示。将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上。

（1） 求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率
（2） 小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图。你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由。若认为不公平，请你修改法则，使游戏变得公平。
解：（1）P（抽到2）=
（2） 根据题意可列表

2
2
3
6
2
22
22
23
26
2
22
22
23
26
3
32
32
33
36
6
62
62
63
66
画树状图如下：
2 2 3 6
2 2 3 6
2 2 3 6
2 2 3 6
2
2
2
2
第一次抛
第二次抛

从表（或树状图）中可以看出所有可能的结果共有16种，符号条件的有10种，∴P（两位数不超过32）= =，∴游戏不公平。
调整规则如下。
方法一：将游戏规则中的32换成26～31（包括26和31）之间的任何一个数都能使游戏公平。
方法二：游戏规则改为抽到的两位数中，不超过32的得3分，抽到的两位数超过32的得5分。
方法三：游戏规则改为组成的两位数中，若个位数字是2，则小贝胜，反之小晶胜。