自考线性代数一行列式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,题型,一、单项选择题（本大题共,10,小题，每小题,2,分，共,20,分）,二、填空题（本大题共,10,小题，每小题,2,分，共,20,分）,三、计算题（本大题共,6,小题，每小题,9,分，共,54,分）,四、证明题（本大题共,1,小题，,6,分）,第一章 行列式,1.1,行列式的定义,从最简单的二元线性方程组出发，探,求其求解公式，并设法化简此公式,.,【,例,1】,二元线性方程组,由消元法，得,当 时，该方程组有唯一解,求解公式为,二元线性方程组,请观察，此公式有何特点？,分母相同，由方程组的四个系数确定,.,分子、分母都是四个数分成两对相乘再,相减而得,.,其求解公式为,二元线性方程组,引进新的符号来表示,“,四个数分成两对相乘再相减,”,.,记号,数表,表达式 称为由该,数表所确定的,二阶行列式,，即,其中，称为,元素,.,i,为,行标,，表明元素位于第,i,行；,j,为,列标,，表明元素位于第,j,列,.,原则：横行竖列,1.1.1,二阶行列式与三阶行列式,二阶行列式的计算,主对角线,副对角线,即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积。,对角线法则,二元线性方程组,若令,(,方程组的系数行列式,),则上述二元线性方程组的解可表示为,【,例,2】,求解二元线性方程组,【,解,】,因为,所以,【,练习,1】,若 ，则,k,=,【,解,】,【,练习,2】,行列式 的值为,_.,【,解,】,2,【,练习,3】,行列式 的值为,_.,【,解,】,-16,三阶行列式,定义,设有,9,个数排成,3,行,3,列的数表,原则：横行竖列,引进记号,称为,三阶行列式,.,主对角线,副对角线,二阶行列式的对角线法则并不适用！,三阶行列式的计算,对角线法则,注意：,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,.,实线上的三个元素的乘积冠正号，,虚线上的三个元素的乘积冠负号,.,三阶行列式的规律,规律：,三阶行列式共有,6,项，即,3!,项,每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,【,例,3】,计算行列式,【,解,】,按对角线法则，有,方程左端,【,解,】,由 得,【,例,4】,求解方程,【,练习,4】,计算行列式,D=,的值,【,解,】,【,练习,5】,3,阶行列式,_,5,【,解,】,【,练习,6】,3,阶行列式,=_,16,1.1.2,n,阶行列式,n,阶行列式共有,n,!,项,每一项都是位于不同行不同列的,n,个元素的乘积,思考题：,成立,吗？,答：,符号 可以有两种理解：,若理解成绝对值，则 ；,若理解成一阶行列式，则,.,注意：,当,n,=1,时，一阶行列式,|,a,|=,a,，注意不要与绝对值的记号相混淆,.,例如：一阶行列式,.,所以必须写清楚，如一阶行列式,|,2|=2,，或者,D=|,2|=,2,。,余子式与代数余子式,结论,三阶行列式可以用二阶行列式表示,.,思考题,任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？,例如,把 称为元素 的,代数余子式,在,n,阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划后，留下来的,n,1,阶行列式叫做元素 的,余子式,，记作,.,结论,因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以,行列,式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.,【,练习,7】,行列式 中 元素的,代数余子式,_,11,【,解,】,【,练习,8】,3,阶行列式,中元素 的代数余子式 （）,A,2B,1,C,1D,2,B,【,解,】,【,练习,9】,设,3,阶行列式 的第,2,行元素分别为,对应的代数余子式分别为 ，则,_,10,【,练习,10】,已知,3,阶行列式 中元素,的代数余子式 ，求元素 的代,数余子式 的值,由 ，,得 ，,所以,【,解,】,1.2,行列式按行(列)展开,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.,本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式,.,引理,一个,n,阶行列式，如果其中第 行所有元素除,外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,即有,又,从而,下面再讨论一般情形,.,分析,当 位于第,1,行第,1,列时,行列式按行（列）展开法则,定理,1.2.1,（行列式展开定理）,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,同理可得,【,例,5】,计算行列式,【,解,】,其中,四个结论：,(1),对角行列式,(2),(3),上三角形行列式（主对角线下侧元素都为,0,）,(4),下三角形行列式（主对角线上侧元素都为,0,）,计算,3,阶行列式,【,例,6】,【,解,】,用对角线法,用按行或按列展开法,按第一列展开得到,按第二列展开得到,按第三列展开得到,用按行或按列展开法,按第一行展开得到,按第二行展开得到,按第三行展开得到,计算,4,阶行列式,【,例,7】,【,解,】,行列式的第二列只含有一个非零元素,a,22,=,1,，其他元素均为,0,，按第二列展开计算量最小，得,1.3,行列式的性质与计算,1.3.1,行列式的性质,行列式 称为行列式 的,转置行列式,.,若记 ，则,.,记,性质,1,行列式与它的转置行列式相等,即,.,行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,.,性质,2,行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 ，等于用数 乘以此行列式.,验证,我们以三阶行列式为例,.,记,根据三阶行列式的对角线法则，有,备注：第 行（列）乘以 ，记作,.,推论,行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,备注：第 行（列）提出公因子，记作,.,计算,3,阶行列式,【,例,8】,【,解,】,计算,3,阶行列式,【,例,9】,【,解,】,在行列式,D,中的每一行都提出公因数（,1,），并用行列式性质,1,，可以得到,因为行列式,D,是一个数，所以由,D=,D,可得,D=0,。,性质,3,互换行列式的两行（列）,行列式变号,.,验证,于是,推论,如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有 ，所以,.,备注：交换第 行（列）和第 行（列），记作,.,验证,我们以,4,阶行列式为例,.,性质,4,行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,计算,3,阶行列式,【,例,10】,【,解,】,因为行列式中第一行与第三行成比例，所以,THANK YOU,SUCCESS,2025/3/13 周四,63,可编辑,性质,5,若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,例如,：,则,验证,我们以三阶行列式为例,.,性质,6,把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列,(,行,),对应的元素上去，行列式不变,则,验证,我们以三阶行列式为例,.,记,备注：以数 乘第 行（列）加到第 行（列）上，记作,.,定理,1.3.1,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,推论,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,综上所述，有,同理可得,推论,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,分析,我们以,3,阶行列式为例,.,把第,1,行的元素换成第,2,行的对应元素，则,1.3.2,行列式的计算,计算行列式常用方法,：,（,1,）,利用运算把行列式化为上三角形（或下三角形）行列式，从而算得行列式的值,（,2,）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值。通常是利用运算,在某一行或某一列产生很多个,0,元素，再按包含,0,最多的行或列展开，以减少计算量。,【,例,11】,1.3.2,行列式的计算,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为,上三角形行列式，从而算得行列式的值,【,解,】,例,12,计算 阶行列式,【,解,】,将第 列都加到第一列得,【,例,13】,设,证明,【,证明,】,对 作运算 ，把 化为下三角形行列式,设为,对 作运算 ，把 化为下三角形行列式,设为,对,D,的前,k,行作运算 ，再对后,n,列作运算 ，,把,D,化为下三角形行列式,故,计算,4,阶行列式,【,例,14】,【,解,】,【,例,15】,【,例,16】,计算行列式,【,解,】,例,17,设,的 元的余子式和,代数余子式依次记作 和 ，求,分析,利用,及,【,解,】,【,证明,】,用数学归纳法,【,例,18】,证明范德蒙德,(Vandermonde),行列式,所以,n,=2,时,(1),式成立,.,假设,(1),对于,n,1,阶范德蒙行列式成立，从第,n,行开始，后行,减去前行的 倍：,按照第,1,列展开，并提出每列的公因子 ，就有,n,1,阶范德蒙德行列式,【,练习,11】,若 则行列式,=_,0,【,解,】,根据,性质,4,行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,【,练习,12】,计算,3,阶行列式 ,【,解,】,【,练习,13】,【,解,】,D,【,练习,14】,C,【,解,】,【,练习,15】,已知,3,阶行列式,则,_,2,【,解,】,【,练习,16】,设行列式,=2,，,则行列式,=,（）,A.12B.24 C.36 D.48,A,【,练习,17】,设行列式,=3,，,则行列式,=,（）A.-18B.-12 C.12 D.18,D,【,练习,18】,设行列式,=6,，,则,=,（）,A,12 B,18 C,18 D,12,C,【,练习,19】,设,A,为,3,阶方阵，,且 ，则 （）,A,4B,1,C,1D,4,D,【,解,】,【,练习,20】,行列式,中第,4,行各元素的代数余子式之和为,_.,0,【,解,】,【,练习,21】,计算行列式,D=,【,解,】,【,练习,22】,设行列式,其第,3,行各元素的代数余子式之和为,_.,0,【,解,】,(,行列式中行与列具有同等的地位,凡是对行成立的性质对列也同样成立,).,计算行列式常用方法：,(1),利用定义,;(2),利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,小结,行列式的,6,个性质,1.4,克拉默法则,二元线性方程组,若令,(,方程组的系数行列式,),则上述二元线性方程组的解可表示为,一、克拉默法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组,(1),有解并且解是唯一的，解可以表示成,定理中包含着三个结论：,方程组有解；,（解的存在性）,解是唯一的；,（解的唯一性）,解可以由公式,(2),给出,.,这三个结论是有联系的,.,应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，将在第三章的一般情形中一并讨论,.,关于克拉默法则的等价命题,定理,4,如果线性方程组,(1),的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的,.,定理,4,如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零,.,设,【,例,19】,解线性方程组,【,解,】,线性方程组,常数项全为零的线性方程组称为,齐次线性方程组,，否则称为,非齐次线性方程组,.,齐次线性方程组总是有解的，因为,(0,0,0),就是一个解，称为,零解,.,因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解,.,我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解,.,齐次线性方程组的相关定理,定理,5,如果齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次,线性方程组只有零解，没有非零解,.,定理,5,如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零,.,备注,这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件,.,在第三章还将证明这个条件也是充分的,.,即：,齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零,THANK YOU,SUCCESS,2025/3/13 周四,124,可编辑,