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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,24,章 圆,单元复习,2025/3/13 周四,1,本章知识结构图,圆的基本性质,圆,圆的对称性,弧、弦圆心角之间的关系,同弧上的圆周角与圆心角的关系,与圆有关的位置关系,正多边形和圆,有关圆的计算,点和圆的位置关系,切线,直线和圆的位置关系,三角形的外接圆,三角形内切圆,等分圆,弧长,扇形的面积,圆锥的侧面积和全面积,2025/3/13 周四,2,1.,圆的定义,:,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆2.,有关概念,:,(1),弦、直径,(,圆中最长的弦,),(2),弧、优弧、劣弧、等弧,(3),弦心距,O,一、圆的基本概念,2025/3/13 周四,3,1.,圆的对称性,:,(1),圆是,轴对称,图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,.,圆有无数条对称轴,.,(2),圆是,中心对称,图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性,.,二、圆的基本性质,2025/3/13 周四,4,2.,同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系,:,(1),在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等,.,(2),在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等,.,(3),在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相等,所对的圆心角相等,.,A,B,D,C,O,COD=AOB,AB,CD,=,AB=CD,2025/3/13 周四,5,3.,垂径定理,:,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧,.,A,D,B,P,C,CD,是圆,O,的直径,CDAB,AP=BP,AC,BC,=,AD,BD,=,五个中知道任意两个，其它三个都成立！（注意推论中弦不能是直径）,2025/3/13 周四,6,对于一个圆中的弦长,a,、圆心到弦的距离,d,、圆半径,r,、弓形高,h,，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：,d+hr,垂径定理的应用,2025/3/13 周四,7,1,、如图,已知,O,的半径,OA,长为,5,弦,AB,的长,8,OCAB,于,C,则,OC,的长为,_.,O,A,B,C,3,AC=BC,弦心距,半径,半弦长,典型例题,2,、如图，,P,为,O,的弦,BA,延长线上一点，,PA,AB,2,，,PO,5,，求,O,的半径。,M,A,P,B,O,A,2025/3/13 周四,8,3,、如图，,P,为,O,的弦,BA,延长线上一点，,PA,AB,2,，,PO,5,，求,O,的半径。,关于弦的问题，常常需要,过圆心作弦的垂线段,，这是一条非常重要的,辅助线,。,圆心到弦的距离、半径、弦长,构成,直角三角形,，便将问题转化为直角三角形的问题。,M,A,P,B,O,A,2025/3/13 周四,9,4.,圆周角,:,定义,:,顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角,.,性质,:(1),在同一个圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,.,BAC=BOC,1,2,2025/3/13 周四,10,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等,.,相等的圆周角所对的弧相等,.,性质,(2),：,ADB,与,AEB,、,ACB,是同弧所对的圆周角,ADB=AEB=ACB,归纳：,在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等,.,2025/3/13 周四,11,性质,3:,半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于,90,0,(,直角,).,性质,4:90,0,的圆周角所对的弦是圆的直径,.,AB,是,O,的直径,ACB=90,0,定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一,个外角都等于它的内对角。,2025/3/13 周四,12,2.,如图，,AB,是,O,的直径,BD,是,O,的弦，延长,BD,到点,C,使,DC,=,BD,连接,AC,交,O,与点,F.,（,1,）,AB,与,AC,的大小有什么关,系,?,为什么,?,（,2,）按角的大小分类,请你判断,ABC,属于哪一类三角形，,并说明理由,.(05,宜昌,),1.,在,O,中，弦,AB,所对的圆心角,AOB=100,，则弦,AB,所对的圆周角为,_.,（,05,年上海）,50,0,或,130,0,典型例题,2025/3/13 周四,13,位置关系,数量关系,设,O,的半径为,r,，点,P,到圆心的距离,OP=,d,，,则有：,点,P,在,O,内,点,P,在,O,上,点,P,在,O,外,d,r,d,=,r,d,r,r,p,d,p,r,d,P,r,d,O,O,O,三、与圆有关的位置关系,1.,点和圆的位置关系,2025/3/13 周四,14,（,2,）直线,l,和,O,相切,（,1,）直线,l,和,O,相离,（,3,）直线,l,和,O,相交,dr,d=r,dr,d,o,r,l,d,o,r,l,o,d,r,l,两个交点,没有交点,一个交点,2.,直线和圆的位置关系,:,（,4,）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径,的直线是圆的切线。,辅助线：有交点，连圆心，证垂直半径,辅助线：无交点，作垂直，证等于半径,.,2025/3/13 周四,15,3,、切线的性质,:,(1),圆的切线垂直于经过切点的半径,.,(2),经过圆心垂直于切线的直线必经过切点,.,(3),经过切点垂直于切线的直线必经过圆心,.,O,A,l,OA l,直线,l,是,O,的切线,切点为,A,2025/3/13 周四,16,4,、切线长定理：,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。,B,A,P,O,PA,、,PB,为,O,的切线,PA=PB,APO=BPO,从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线,垂直平分,切点所成的,弦,；,平分,切点所成的,弧,。,（,3,）连结圆心和圆外一点,（,2,）连结两切点,（,1,）分别连结圆心和切点,2025/3/13 周四,17,1.,在,Rt ABC,中，,C=90,BC=3cm,AC=4cm,D,为,AB,的中点，,E,为,AC,的中点，以,B,为圆心，,BC,为半径作,B,，,问,：（,1,）,A,、,C,、,D,、,E,与,B,的位置关系如何？,（,2,）,AB,、,AC,与,B,的位置关系如何？,E,D,C,A,B,典型例题,2025/3/13 周四,18,2.,在,RtABC,中,B=90,A,的平分线交,BC,于,D,以,D,为圆心,DB,长为半径作,D.,试说明,:AC,是,D,的切线,.,F,过,D,点作,DF AC,于,F,点，然后证明,DF,等于圆,D,的半径,BD,典型例题,2025/3/13 周四,19,3,、如图，,AB,在,O,的直径，点,D,在,AB,的延长线上,且,BD,=,OB,点,C,在,O,上,CAB,=30,.,(1),CD,是,O,的切线吗？说明你的理由,;,(2),AC,=_,，请给出合理的解释,.,只要连接,OC,，而后证明,OC,垂直,CD,典型例题,2025/3/13 周四,20,2025/3/13 周四,21,4,、,AB,是,O,的弦,C,是,O,外一点,BC,是,O,的切线,AB,交过,C,点的直径于点,D,OACD,试判断,BCD,的形状,并说明你的理由,.,典型例题,2025/3/13 周四,22,典型例题,5,如图，已知,ABC,的三边长分别为,AB=4cm,，,BC=5cm,，,AC=6cm,，,O,是,ABC,的内切圆，切点分别是,E,、,F,、,G,，则,AE=,，,BF=,，,CG=,。,2025/3/13 周四,23,不在同一直线上的三点确定一个圆,.,O,C,B,A,5三角形的外接圆与内切圆,:,三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点,.,O,A,B,C,三角形的内心就是三角形各角平分线的交点,.,反证法,2025/3/13 周四,24,1.,如图,是某机械厂的一种零件平面图,.,(1),请你根据所学的知识找出该零件所在圆的圆心,(,要求正确画图,不写做法,保留痕迹,).,(2),若弦,AB=80cm,AB,的中点,C,到,AB,的距离是,20cm,求该零件所在的半径长,.,典型例题,2025/3/13 周四,25,2,、小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的,直径,(,锅边所形成的圆的直径,),而小红家只有一把长,20cm,的直尺,根本不够长,怎么办呢,?,小红想了想,采取以下方,法,:,首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴,墙面量得,MA,的长,即可求出,锅盖,的直径,请你利用图乙,说,明她这样做的道理,.,典型例题,2025/3/13 周四,26,2.,半径：,正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径,.,中心：,一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,3.,中心角：,正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角,4.,边心距：,中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距,O,A,B,F,D,C,E,G,四、正多边形,各边相等,各角也相等的,多边形是正多边形,.,2025/3/13 周四,27,1.等边三角形的高为6，则它的边心距,，半径是,；,2.正方形的边心距是4，则它的半径是,，边长是,；,3.正六边形的半径是8，则它的边长是,，边心距是,，面积是,；,典型例题,2025/3/13 周四,28,1.,圆的周长和面积公式,2.,弧长的计算公式,3.,扇形的面积公式,S,=,360,n,r,2,L,=,180,n,r,=,1,2,l,r,S,或,周长,C=2,r,面积,s=,r,2,O,r,五、弧长、扇形面积,2025/3/13 周四,29,4.,圆柱的展开图,:,r,h,S,侧,=2,r h,S,全,=2,r h+2,r,2,2025/3/13 周四,30,5.,圆锥的展开图,:,r,h,2025/3/13 周四,31,1,、扇形,AOB,的半径为,12cm,AOB=120,求扇形的面积和周长,.,典型例题,2,、圆锥的母线为,5cm,，底面半径为,3cm,，则圆锥的表面积为,_,3,、已知：在,Rt,ABC,求以,AB,为轴旋转一周所得到的,几何体的全面积。,2025/3/13 周四,32,4,、如图，圆锥的底面半径为,2cm,，母线长为,8cm,，一只蚂蚁从底面圆周上一点,A,出发，沿圆锥侧面爬行一周回到,A,点，求蚂蚁爬行的最短路线长是多少？,B,A,O,A,典型例题,2025/3/13 周四,33,E,C,B,A,O,D,1.,如图,在以,O,为圆心的两个同心圆中,大圆的弦,AB,交小圆于,C,、,D,则,:,AC=BD,若大圆的弦切小圆于,C,则,O,A,C,B,AC=BC,两圆之间的环形面积,S=,AB,2,六、常见的基本图形及结论,2025/3/13 周四,34,2.,如图,以等腰,ABC,的腰,AB,为直径作,O,交底边,BC,于点,D,则,:,O,C,B,A,D,点,D,是,BC,的中点,.,2025/3/13 周四,35,O,P,B,A,D,C,3.,如图,已知,PA,、,PB,切圆,O,于点,A,B,过弧,AB,上任一点,E,作圆,O,的切线,交,PA,PB,于点,C,D,则,:,(1)PCD,的周长,=2PA,(2)COD=90,0,-APB,E,2025/3/13 周四,36,O,A,B,C,O,A,B,C,D,F,E,D,F,E,4.,如图,ABC,各边分别切圆,O,于点,D,、,E,、,F.,(1)DEF=90,0,-A,(3)S,ABC,=(a+b+c)r,(2)BOC=90,0,+A,2025/3/13 周四,37,A,B,C,O,E,F,D,5.,在,Rt ABC,中,ACB,是直角,三边分别是,a,、,b,、,c,内切圆半径是,r,则,:,内切圆半径,r=,a+b-c,2,a+b+c,ab,或,r=,2025/3/13 周四,38,6.,如图,AB,是圆,O,的直径,AD,BC,DC,均为切线,则,:,(1)DC=AD+BC,(2)DOC=90,0,2025/3/13 周四,39,课堂小结,谈谈你对圆的认识！,2025/3/13 周四,40,2025/3/13 周四,41,