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中外著名大学《经典力学》教材中有关"正则变换"论述的区别与思考

张立彬 1，张毅 1，王娟萍 1，沈科济 2
（1. 开大学外国教材中心，天津，300071
南 ；2. 南开大学物理科学学院，天津，300071 ）

内容摘要：20
世纪物理学飞速发展，人们从"经典"物理步入近代物理，但经典力学的地位却丝毫没有减弱 .
本文对四本国内外著名经典力学教材进行了介绍， 对正则变换与哈密顿- 雅可比方程这一方法进行了突出讲解和 展开分析，讨论了不同教材的讲解思路和教学讨论深广度的区别及特色，从而明确了国内外教材某些知识点的 优势和侧重点.
关键词：国内外经典教材；经典力学；正则变换；哈密顿- 雅可比方程
20 世纪物理学飞速发展，人们从"经典"物理步入近代物理，但是经典力学（理论力学）
在整个物理学中的地位却丝毫没有减少。在国内外，经典力学仍然是本科生至关重要的学科， 国内许多学校都将经典力学作为学生的学位课，其要求都要高于其他学科。经典力学课程需要 学生具备一定的数学分析、微分方程、线性代数等数学基础，这样才能够理解教材中建立在缜
密物理逻辑基础上的精确数学描写。[1]
尽管经典理论在近代物理中，退出了主导地位，但是作为一门工具学科，它的重要性不言
而喻。哈密顿- 雅可比方程是经典力学的一种表述。哈密顿- 雅可比方程、牛顿力学、拉格朗日
力学、哈密顿力学，这几个表述是互相全等的。而哈密顿- 雅可比方程在辨明保守的物理量方面，
特别有用处。有时候，虽然物理问题的本身无法完全解析，哈密顿- 雅可比方程仍旧能够正确的
辨明保守的物理量。哈密顿- 雅可比方程是经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果 是一个一阶非线性偏微分方程，其解答描述了系统的行为。与哈密顿运动方程的不同之处在于
哈密顿- 雅可比方程是一个偏微分方程，每个变量对应于一个坐标，而哈密顿方程是一个一阶线
性方程组，每两个方程对应于一个坐标，哈密顿- 雅可比方程可以漂亮地解析一些重要问题，例
如开普勒问题。在近代物理中，许多物理学家用哈密顿- 雅可比方程来分析一些问题。[2]
哈密顿- 雅可比方程是唯一能够将粒子运动表达为波动的一种力学表述。因此，哈密顿- 雅可比方程满足了一个长久以来理论物理的研究目标：寻找波的传播与粒子运动的相似之处。经
典力学系统的波动方程与量子力学中的薛定谔方程很相似。 哈密顿- 雅可比方程被认为是从经典
力学进入量子力学最近的门洞。[3]

收稿日期： 修回日期：
基金项目：教育部 2012 年研究项目《比较中外著名大学"四大力学"本科课程与主流教材，探索物理学国际
化创新人才培养模式》（2012-28 ）资助.

作者简介：张立彬（1964 男，河北石家庄人，教育部南开大学外国教材中心副教授，主要从事中外高等 —），
教育教材评介与比较研究工作.
1 国内外各教材关于"正则变换"知识点的讲解思路

在哈密顿力学中，广义坐标 qn 和广义动量 pn 处于同等地位，因而不必限于点变换，完全
可以考虑更广义的变换：

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我们要求变换后的动力学方程仍然是哈密顿正则方程，满足这一要求的变换叫做正则变换。

哈密顿- 雅可比方程是一阶偏微分方程，其形式为

其中 H是哈密顿量，S称为哈密顿主函数，S q1,×××, qn ; a1,×××an ;t) , q1,×××, qn）
（ 是广义坐标，

（a1,×××an） 是积分常数，t为时间。若能找到哈密顿函数 S的形式，就可以计算出广义坐标与广
义动量随时间的演变。这样，我们就可以完全的解析物理系统随时间的演化。
1.1 朗道：《力学》第五版
该书对该内容的讨论主要在"第七章 正则方程"，主要包含以下章节：40 哈密顿方程， 41
罗斯函数， 42 泊松括号， 43 作为坐标函数的作用量，44 莫培督原理，45 正则变换， 46 刘
维尔定理， 47 哈密顿一雅可比方程， 48离变量， 49
分 绝热不变量，50 正则变量， 51 绝
热不变量守恒精确性， 52 条件周期运动[4] 。
作者首先在第 43 引入了作用量作为坐标和时间函数的概念，并证明，这个函数 S q
节中 （，
t
）对时间的偏导数与哈密顿函数的关系式为：

¶S + H (q, p,t) = 0
¶t


.


¶S

而对坐标的偏导数就是广义动量。在哈密顿函数中将相应广义动量 ps 用 ¶qs 代替，于是便
得出了哈密顿- 雅可比方程。
然后该书主要讲解了哈密顿- 雅可比方程的全积分， 为在力学应用中起主要作用的哈密顿 因
-雅可比方程不是一般积分，而是全积分。然后研究哈密顿- 雅可比方程的全积分与运动方程的
关系， 求出运动方程的通解， 从而总结出利用哈密顿- 雅可比函数求解力学系统运动问题的方法。
并且，对于求解哈密顿- 雅可比方程全积分的重要方法（分离变量法）做出了大篇幅的教学，
主要包括在各个坐标系下的分离变量。
1.2罗斯 俄 A. 马尔契夫：《理论力学》第三版
该书对此内容的讨论主要在"第十一章"，主要包含以下章节：§1雅可比乘子， §2含
循环坐标的系统， §3泊松括号与第一积分 ，§4正则变换，§5运动方程积分的雅可比方程，
§6作用- 变量 ，§7摄动理论中的正则变换[5]
角 。
该书是俄罗斯的经典数学教材， 者首先利用正则变换提供了积分正则方程的雅可比方法， 作
从而导出哈密顿- 雅可比方程，然后通过雅可比方程为基础研究提供了求解动力学方程的方法，
由于不存在寻找哈密顿- 雅可比方程全积分的一般方法， 以该书给出一些寻找全积分的特殊方 所
法：（1 循环坐标系统的哈密顿-
）含 雅可比方程，（2 保守系统和广义保守系统的哈密顿-
） 雅

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可比方程，（3 ）哈密顿特征函数，（4
）分离变量。最后给出了哈密顿系统完全可积的刘维尔
定理。

1.3 梁昆淼：《力学（理论力学）》第四版
该书关于哈密顿理论的章节目录："第九章 正则变换；哈密顿- 雅克比方程"主要内容有：
（1 ）正则变换的条件；（2 ）母函数；（3 ）正则变换举例；（4 ）泊松括号的不变性；（5 ）无
限小正则变换；（6 ）哈密顿—雅克比方程：①哈密顿主函数，②哈密顿特征函数，③例题[6] 。
该书作者将正则变换分出一章，可见对其的重视程度。首先提出了正则变换，并且举出了 例子来告诉读者什么样的变换是正则变换，然后引出了母函数的概念，并且对母函数做出了相 当多的讨论，并给出了不少例题，这是其他教材所没有的，然后通过寻找将力学系统所有正则
变数变为常数的正则变换，来引出哈密顿- 雅可比方程，将哈密顿正则方程的求解问题归结为哈
密顿- 雅可比方程的求解。
然后该书将哈密顿- 雅可比方程解算动力学问题的步骤分条写出：（1 将哈密顿函数 H p,

q,）t的 中

ps 用 ¶S 代替，写出哈密顿-
）
（

¶qs
雅可比方程。（2 解出哈密顿主函数 ）

S (q1,×××, qn; a1,×××an;t) （3 ）将积分常数 a1,×××an）
（ 当做变换后的"动量" ps ，并用 S作为正则
变换母函数，变换后的正则变换全是常数。（4 求出变换公式，按变换公式回到原来的正则方 ）
程变数就解决了问题。作者将步骤按条写出，思路清晰，使读者易于理解，可读性强。
该书具有典型的中文教材的风格，在整章开头，作者通过比较哈密顿方程与拉格朗日方程，
指出了哈密顿方程较拉格朗日方程更高的理论价值，并由此引出正则变换，让读者明确理论价
值，使读者更加容易接受。
在正则变换之哈密顿- 雅可比方程的讲解中，作者对每一步公式的推理，以及物理意义的阐 述都非常的详细。书中精心挑选的例题有助于帮助读者深入理解，而且作者在书中将重点逐条
列出，条理清晰，非常适合初学者学习。
1.4 金尚年：《理论力学》第二版
该书对此内容的讨论主要在"第八章 经典力学的哈密顿理论"。内容包括：§8.1 共 正则
轭坐标，§8.2 哈密顿函数和正则方程，§8.3 问题的欧拉方程，§8.4
变分 哈密顿原理，§8.5
正则变换，§8.6 泊松括号，§8.7 哈密顿- 雅可比方程，§8.8哈密顿理论解开普勒问题[7]
用 。
该书作者将正则方程和雅可比方程作为两节讨论， 内容量相对于梁昆淼版本书目相对较少，
书中同样利用正则变换，使哈密顿函数结构简化，使 H=0后导出哈密顿-
之 雅可比方程。但是该
书的推导比较详尽，使读者易于理解。然后作者又对哈密顿主函数 S的物理意义进行了讨论，

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